Věta Vitali – Hahn – Saks - Vitali–Hahn–Saks theorem

v matematika, Věta Vitali – Hahn – Saks, představil Vitali  (1907 ), Hahn  (1922 ), a Saks  (1933 ), dokazuje, že za určitých podmínek posloupnost opatření konvergence bodově to dělá jednotně a limit je také měřítkem.

Výrok věty

Li ${ displaystyle (S, { mathcal {B}}, m)}$ je změřte prostor s ${ displaystyle m (S) < infty}$a sekvence ${ displaystyle lambda _ {n}}$ složitých opatření. Za předpokladu, že každý ${ displaystyle lambda _ {n}}$ je absolutně kontinuální s ohledem na ${ displaystyle m}$, a to pro všechny ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ existují konečné limity ${ displaystyle lim _ {n to infty} lambda _ {n} (B) = lambda (B)}$. Pak absolutní kontinuita ${ displaystyle lambda _ {n}}$ s ohledem na ${ displaystyle m}$ je jednotný v ${ displaystyle n}$, to znamená, ${ displaystyle lim _ {B} m (B) = 0}$ to naznačuje ${ displaystyle lim _ {B} lambda _ {n} (B) = 0}$ jednotně v ${ displaystyle n}$. Taky ${ displaystyle lambda}$ je spočetně aditivní ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Předkola

Vzhledem k míře prostoru ${ displaystyle (S, { mathcal {B}}, m)}$, na které lze postavit vzdálenost ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {0}}$, množina měřitelných množin ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ s ${ displaystyle m (B) < infty}$. To se provádí definováním

${ displaystyle d (B_ {1}, B_ {2}) = m (B_ {1} Delta B_ {2})}$, kde ${ displaystyle B_ {1} Delta B_ {2} = (B_ {1} setminus B_ {2}) pohár (B_ {2} setminus B_ {1})}$ je symetrický rozdíl sad ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} in { mathcal {B}} _ {0}}$.

Tím vznikne metrický prostor ${ displaystyle { tilde {{ mathcal {B}} _ {0}}}}$ identifikováním dvou sad ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} in { mathcal {B}} _ {0}}$ když ${ displaystyle m (B_ {1} Delta B_ {2}) = 0}$. Tedy bod ${ displaystyle { overline {B}} in { tilde {{ mathcal {B}} _ {0}}}}$ se zástupcem ${ displaystyle B v { mathcal {B}} _ {0}}$ je množina všech ${ displaystyle B_ {1} in { mathcal {B}} _ {0}}$ takhle ${ displaystyle m (B Delta B_ {1}) = 0}$.

Tvrzení: ${ displaystyle { tilde {{ mathcal {B}} _ {0}}}}$ s metrikou definovanou výše je a kompletní metrický prostor.

Důkaz: Nechat

${ displaystyle chi _ {B} (x) = { začátek {případů} 1, & x v B 0, & x notin B end {případů}}}$

Pak

${ displaystyle d (B_ {1}, B_ {2}) = int _ {S} | chi _ {B_ {1}} (s) - chi _ {B_ {2}} (x) | dm }$

To znamená, že metrický prostor ${ displaystyle { tilde {{ mathcal {B}} _ {0}}}}$ lze identifikovat s podmnožinou souboru Banachův prostor ${ displaystyle L ^ {1} (S, { mathcal {B}}, m)}$.

Nechat ${ displaystyle B_ {n} in { mathcal {B}} _ {0}}$, s

${ displaystyle lim _ {n, k to infty} d (B_ {n}, B_ {k}) = lim _ {n, k to infty} int _ {S} | chi _ {B_ {n}} (x) - chi _ {B_ {k}} (x) | dm = 0}$

Pak si můžeme vybrat dílčí sekvenci ${ displaystyle chi _ {B_ {n '}}}$ takhle ${ displaystyle lim _ {n ' to infty} chi _ {B_ {n'}} (x) = chi (s)}$ existuje téměř všude a ${ displaystyle lim _ {n ' to infty} int _ {S} | chi (x) - chi _ {B_ {n'} (x)} | dm = 0}$. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle chi = chi _ {B _ { infty}}}$ pro některé ${ displaystyle B _ { infty} v { mathcal {B}} _ {0}}$ a tudíž ${ displaystyle lim _ {n to infty} d (B _ { infty}, B_ {n}) = 0}$. Proto, ${ displaystyle { tilde {{ mathcal {B}} _ {0}}}}$ je kompletní.

Důkaz věty Vitali-Hahn-Saks

Každý ${ displaystyle lambda _ {n}}$ definuje funkci ${ displaystyle { overline { lambda}} _ {n} ({ overline {B}})}$ na ${ displaystyle { tilde { mathcal {B}}}}$ tím, že ${ displaystyle { overline { lambda}} _ {n} ({ overline {B}}) = lambda _ {n} (B)}$. Tato funkce je dobře definovaná, je nezávislá na zástupci ${ displaystyle B}$ třídy ${ displaystyle { overline {B}}}$ kvůli absolutní kontinuitě ${ displaystyle lambda _ {n}}$ s ohledem na ${ displaystyle m}$. navíc ${ displaystyle { overline { lambda}} _ {n}}$ je spojitý.

Pro každého ${ displaystyle epsilon> 0}$ sada

${ displaystyle F_ {k, epsilon} = {{ overline {B}} in { tilde { mathcal {B}}}: sup _ {n geq 1} | { overline { lambda}} _ {k} ({ overline {B}}) - { overline { lambda}} _ {k + n} ({ overline {B}}) | leq epsilon }}$

je uzavřen ${ displaystyle { tilde { mathcal {B}}}}$a hypotézou ${ displaystyle lim _ {n to infty} lambda _ {n} (B) = lambda (B)}$ máme to

${ displaystyle { tilde { mathcal {B}}} = bigcup _ {k = 1} ^ { infty} F_ {k, epsilon}}$

Podle Věta o kategorii Baire aspoň jeden ${ displaystyle F_ {k_ {0}, epsilon}}$ musí obsahovat neprázdnou otevřenou sadu ${ displaystyle { tilde { mathcal {B}}}}$. To znamená, že existuje ${ displaystyle { overline {B_ {0}}} v { tilde { mathcal {B}}}}$ a a ${ displaystyle delta> 0}$ takhle

${ displaystyle d (B, B_ {0}) < delta}$ naznačuje ${ displaystyle sup _ {n geq 1} | { overline { lambda}} _ {k_ {0}} ({ overline {B}}) - { overline { lambda}} _ {k_ { 0} + n} ({ overline {B}}) | leq epsilon}$

Na druhou stranu jakékoli ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ s ${ displaystyle m (B) leq delta}$ lze reprezentovat jako ${ displaystyle B = B_ {1} setminus B_ {2}}$ s ${ displaystyle d (B_ {1}, B_ {0}) leq delta}$ a ${ displaystyle d (B_ {2}, B_ {0}) leq delta}$. Toho lze dosáhnout, například pomocí ${ displaystyle B_ {1} = B pohár B_ {0}}$ a ${ displaystyle B_ {2} = B_ {0} setminus (B cap B_ {0})}$. Pokud tedy ${ displaystyle m (B) leq delta}$ a ${ displaystyle k geq k_ {0}}$ pak

${ displaystyle { begin {aligned} | lambda _ {k} (B) | & leq | lambda _ {k_ {0}} (B) | + | lambda _ {k_ {0}} (B ) - lambda _ {k} (B) | & leq | lambda _ {k_ {0}} (B) | + | lambda _ {k_ {0}} (B_ {1}) - lambda _ {k} (B_ {1}) | + | lambda _ {k_ {0}} (B_ {2}) - lambda _ {k} (B_ {2}) | & leq | lambda _ {k_ {0}} (B) | +2 epsilon end {zarovnáno}}}$

Proto absolutní kontinuitou ${ displaystyle lambda _ {k_ {0}}}$ s ohledem na ${ displaystyle m}$, a od té doby ${ displaystyle epsilon}$ je libovolné, to chápeme ${ displaystyle m (B) až 0}$ naznačuje ${ displaystyle lambda _ {n} (B) až 0}$ jednotně v ${ displaystyle n}$. Zejména, ${ displaystyle m (B) až 0}$ naznačuje ${ displaystyle lambda (B) až 0}$.

Z aditivnosti limitu z toho vyplývá ${ displaystyle lambda}$ je konečně aditivní. Pak od té doby ${ displaystyle lim _ {m (B) až 0} lambda (B) = 0}$ z toho vyplývá, že ${ displaystyle lambda}$ je ve skutečnosti spočítatelná přísada.

Reference

• Hahn, H. (1922), „Über Folgen linearer Operationen“, Monatsh. Matematika. (v němčině), 32: 3–88, doi:10.1007 / bf01696876
• Saks, Stanislaw (1933), „Dodatek k poznámce k některým funkcím“, Transakce Americké matematické společnosti, 35 (4): 965–970, doi:10.2307/1989603, JSTOR  1989603
• Vitali, G. (1907), „Sull 'integrazione per serie“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (v italštině), 23: 137–155, doi:10.1007 / BF03013514
• Yosida, K. (1971), Funkční analýza, Springer, str. 70–71, ISBN  0-387-05506-1