Sada symetrie - Symmetry set - Wikipedia

An elipsa (červená), jeho evoluce (modrá) a její symetrická sada (zelená a žlutá). the mediální osa je pouze zelená část sady symetrie. Je zobrazen jeden dvoj tangenta kruh.

v geometrie, sada symetrie je metoda pro reprezentaci lokálních symetrií křivky a lze ji použít jako metodu pro reprezentaci tvar objektů vyhledáním topologická kostra. The mediální osa, podmnožinou sady symetrie je sada křivek, které zhruba probíhají uprostřed objektu.

Ve 2 rozměrech

Nechat ${ displaystyle I subseteq mathbb {R}}$ být otevřeným intervalem a ${ displaystyle gamma: I to mathbb {R} ^ {2}}$ být parametrizací křivky hladké roviny.

Sada symetrie ${ displaystyle gamma (I) podmnožina mathbb {R} ^ {2}}$ je definováno jako uzavření množiny středů kruhů tečných ke křivce v nejméně dvou odlišných bodech (bitangens kruhy).

Sada symetrie bude mít koncové body odpovídající vrcholy křivky. Takové body budou ležet hrot z evoluce. V takových bodech bude mít křivka 4bodový kontakt s kruhem.

v n rozměry

Pro hladké potrubí dimenze ${ displaystyle m}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (jasně potřebujeme ${ displaystyle m$). Sada symetrie potrubí je uzavření středů hypersfér tečných k potrubí na nejméně dvou odlišných místech.

Jako bifurkační sada

Nechat ${ displaystyle U subseteq mathbb {R} ^ {m}}$ být otevřenou jednoduše připojenou doménou a ${ displaystyle (u_ {1} ldots, u_ {m}): = { podtržení {u}} v U}$. Nechat ${ displaystyle { underline {X}}: U to mathbb {R} ^ {n}}$ být parametrizací hladkého kusu potrubí. Můžeme definovat a ${ displaystyle n}$ řada parametrů funkcí na křivce, jmenovitě

${ displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} krát U to mathbb {R} , quad { mbox {kde}} quad F ({ podtržení {x}}, { podtržení {u}}) = ({ podtržení {x}} - { podtržení {X}}) cdot ({ podtržení {x}} - { podtržení {X}}) .}$

Tato rodina se nazývá rodina funkcí na druhou na dálku. Je to proto, že pro pevné ${ displaystyle { underline {x}} _ {0} in mathbb {R} ^ {n}}$ hodnota ${ displaystyle F ({ underline {x}} _ {0}, { underline {u}})}$ je čtverec vzdálenosti od ${ displaystyle { underline {x}} _ {0}}$ na ${ displaystyle { podtržení {X}}}$ na ${ displaystyle { underline {X}} (u_ {1} ldots, u_ {m}).}$

Sada symetrie je pak bifurkační sadou rodiny funkcí na druhou. Tj. je to soubor ${ displaystyle { underline {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ takhle ${ displaystyle F ({ underline {x}}, -)}$ má pro některé opakovanou singularitu ${ displaystyle { podtržení {u}} v U.}$

Opakovanou singularitou myslíme, že Jacobova matice je singulární. Protože máme rodinu funkcí, je to ekvivalentní s ${ displaystyle { mathcal {r}} F = { podtržení {0}}}$.

Sada symetrie je pak sada ${ displaystyle { underline {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ takové, které existují ${ displaystyle ({ underline {u}} _ {1}, { underline {u}} _ {2}) v U krát U}$ s ${ displaystyle { podtržení {u}} _ {1} neq { podtržení {u}} _ {2}}$, a

${ displaystyle { mathcal {r}} F ({ underline {x}}, { underline {u}} _ {1}) = { mathcal {r}} F ({ underline {x}}, { underline {u}} _ {2}) = { podtržení {0}}}$

společně s mezními body této sady.

Reference

• J. W. Bruce, P. J. Giblin a C. G. Gibson, Symmetry Sets. Proc. Royal Soc. z Edinburghu 101A (1985), 163-186.
• J. W. Bruce a P. J. Giblin, Curves and Singularities, Cambridge University Press (1993).