Vaidya metrika - Vaidya metric

v obecná relativita, Vaidya metrika popisuje neprázdný vnější časoprostor sféricky symetrické a nerotující hvězdy, která emituje nebo absorbuje nulové prachy. Je pojmenována po indickém fyzikovi Prahalad Chunnilal Vaidya a představuje nejjednodušší nestatické zobecnění neradiačního záření Schwarzschildovo řešení na Einsteinova rovnice pole, a proto se také nazývá „vyzařující (zářící) Schwarzschildova metrika“.

Od metrik Schwarzschild po Vaidya

Schwarzschildova metrika jako statické a sféricky symetrické řešení Einsteinovy rovnice čte

${ displaystyle (1) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} dt ^ {2} + { Big (} 1- { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Odebrat jedinečnost souřadnic této metriky na ${ displaystyle r = 2M}$ , dalo by se přepnout na Souřadnice Eddington – Finkelstein. Tedy zavést nulovou souřadnici "retardovaný (/ odchozí)" ${ displaystyle u}$ podle

${ displaystyle (2) quad t = u + r + 2M ln { Big (} { frac {r} {2M}} - 1 { Big)} qquad Rightarrow quad dt = du + { Velký (} 1 - { frac {2M} {r}} { Velký)} ^ {- 1} dr ;,}$

a Eq (1) lze transformovat do „retardované (/ odchozí) Schwarzschildovy metriky“

${ displaystyle (3) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;;}$

nebo bychom místo toho mohli použít nulovou souřadnici "pokročilý (/ příchozí)" ${ displaystyle v}$ podle

${ displaystyle (4) quad t = vr-2M ln { Big (} { frac {r} {2M}} - 1 { Big)} qquad Rightarrow quad dt = dv - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ;,}$

takže Eq (1) se stane „pokročilou (/ příchozí) Schwarzschildovou metrikou“

${ displaystyle (5) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Eq (3) a Eq (5), jako statické a sféricky symetrické řešení, platí jak pro obyčejné nebeské objekty s konečnými poloměry, tak pro singulární objekty, jako jsou černé díry. Ukázalo se, že je stále fyzicky rozumné, pokud člověk rozšíří parametr hmotnosti ${ displaystyle M}$ v Eqs (3) a Eq (5) z konstanty na funkce odpovídající nulové souřadnice, ${ displaystyle M (u)}$ a ${ displaystyle M (v)}$ respektive tedy

${ displaystyle (6) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (u)} {r}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;,}$

${ displaystyle (7) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (v)} {r}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Rozšířené metriky Eq (6) a Eq (7) jsou respektive „retardované (/ odchozí)“ a „pokročilé (/ odchozí)“ metriky Vaidya.^[1]^[2] Někdy je také užitečné přepracovat metriky Vaidya Eqs (6) (7) do formuláře

${ displaystyle (8) quad ds ^ {2} = { frac {2M (u)} {r}} du ^ {2} + ds ^ {2} ({ text {flat}}) = { frac {2M (v)} {r}} dv ^ {2} + ds ^ {2} ({ text {flat}}) ,,}$

kde ${ displaystyle ds ^ {2} ({ text {flat}}) = - du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) = - dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ) = - dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2})}}$ představuje metriku plochý časoprostor.

Odchozí Vaidya s čistým vysílacím polem

Pokud jde o „retardovaný (/ odchozí)“ Vaidya metrický Eq (6),^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] the Ricciho tenzor má pouze jednu nenulovou složku

${ displaystyle (9) quad R_ {uu} = - 2 { frac {M (u) _ {, , u}} {r ^ {2}}} ,,}$

zatímco Ricciho zakřivení skalární zmizí, ${ displaystyle R = g ^ {ab} R_ {ab} = 0}$ protože ${ displaystyle g ^ {uu} = 0}$ . Podle Einsteinovy rovnice bez stop ${ displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} = 8 pi T_ {ab}}$ , tenzor napětí a energie ${ displaystyle T_ {ab}}$ splňuje

${ displaystyle (10) quad T_ {ab} = - { frac {M (u) _ {, , u}} {4 pi r ^ {2}}} l_ {a} l_ {b} ;, qquad l_ {a} dx ^ {a} = - du ;,}$

kde ${ displaystyle l_ {a} = - částečné _ {a} u}$ a ${ displaystyle l ^ {a} = g ^ {ab} l_ {b}}$ jsou nulové (ko) vektory (viz rámeček A níže). Tím pádem, ${ displaystyle T_ {ab}}$ je „čisté pole záření“,^[1]^[2] který má hustotu energie ${ displaystyle - { frac {M (u) _ {, , u}} {4 pi r ^ {2}}}}$ . Podle nuly energetické podmínky

${ displaystyle (11) quad T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} geq 0 ;,}$

my máme ${ displaystyle M (u) _ {, , u} <0}$ a tak centrální tělo vyzařuje záření.

Sledování výpočtů pomocí Newman – Penrose (NP) formalismus v rámečku A je odcházející ekvidopočet Vaidya Eq (6) Petrov typu D a nenulové komponenty Weyl-NP a Ricci-NP skaláry jsou

${ displaystyle (12) quad Psi _ {2} = - { frac {M (u)} {r ^ {3}}} qquad Phi _ {22} = - { frac {M (u ) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}} ;.}$

Je pozoruhodné, že pole Vaidya je spíše čistým radiačním polem než elektromagnetické pole. Vyzařované částice nebo toky energetické hmoty mají nulu odpočinková hmota a proto se obecně nazývají „nulové prachy“, obvykle jako fotony a neutrina, ale nemohou to být elektromagnetické vlny, protože Maxwellovy-NP rovnice nejsou uspokojeny. Mimochodem, odchozí a příchozí nulová míra expanze pro prvek čáry Eq (6) jsou příslušně

${ displaystyle (13) quad theta _ {( ell)} = - ( rho + { bar { rho}}) = { frac {2} {r}} ,, quad theta _ {(n)} = mu + { bar { mu}} = { frac {-r + 2M (u)} {r ^ {2}}} ;.}$

Rámeček A: Analýzy metriky Vaidya v „odchozí“ nulové tetradě

Předpokládat ${ displaystyle F: = 1 - { frac {2M (u)} {r}}}$ , pak Lagrangeova pro nulovou radiální geodetika ${ displaystyle (L = 0, { dot { theta}} = 0, { dot { phi}} = 0)}$ "retardovaného (/ odchozího)" Vaidya časoprostoru Eq (6) je

${ displaystyle L = 0 = -F { dot {u}} ^ {2} +2 { dot {u}} { dot {r}} ,,}$

kde tečka znamená derivaci vzhledem k nějakému parametru ${ displaystyle lambda}$ . Tento Lagrangian má dvě řešení,

${ displaystyle { dot {u}} = 0 quad { text {a}} quad { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}} ; .}$

Podle definice ${ displaystyle u}$ v Eq (2) by se dalo zjistit, že když ${ displaystyle t}$ zvětšuje se plošný poloměr ${ displaystyle r}$ by se také zvýšil pro řešení ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ , zatímco ${ displaystyle r}$ by se pro řešení snížil ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}}}$ . Tím pádem, ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ by mělo být uznáno jako odchozí řešení, zatímco ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}}}$ slouží jako vstupní řešení. Nyní můžeme postavit komplexní null tetrad který je přizpůsoben odchozí nulové radiální geodetice a využívá Newman – Penroseův formalismus pro provedení úplné analýzy odchozího časoprostoru Vaidya. Takový odchozí upravený tetrad lze nastavit jako

${ displaystyle l ^ {a} = (0,1,0,0) ,, quad n ^ {a} = (1, - { frac {F} {2}}, 0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

a duální bazické covektory proto jsou

${ displaystyle l_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad n_ {a} = (- { frac {F} {2}}, - 1,0,0) , , quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

V této nulové tetradě jsou spinové koeficienty

${ Displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad varepsilon = 0}$
${ displaystyle rho = - { frac {1} {r}} ,, quad mu = { frac {-r + 2M (u)} {2r ^ {2}}} quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad gamma = { frac {M (u)} {2r ^ {2 }}} ,.}$

The Weyl-NP a Ricci-NP skaláry jsou dány

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M (u)} {r ^ {3}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Lambda = 0 ,, quad Phi _ {22} = - { frac {M (u) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}} ,,}$

Vzhledem k tomu, že jediný nezinkující Weyl-NP je skalární ${ displaystyle Psi _ {2}}$ , „retardovaný (/ odchozí)“ časoprostor Vaidya je z Petrov typu D. Existuje také radiační pole jako ${ displaystyle Phi _ {22} neq 0}$ .

Rámeček B: Analýzy Schwarzschildovy metriky v „odchozí“ nulové tetradě

Pro „retardovanou (/ odchozí)“ Schwarzschildovu metriku Eq (3), let ${ displaystyle G: = 1 - { frac {2M} {r}}}$ , a pak Lagrangeova pro nulovou radiální geodetika bude mít odchozí řešení ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ a přicházející řešení ${ displaystyle { dot {r}} = - { frac {G} {2}} { dot {u}}}$ . Podobně jako v rámečku A, nyní nastavte upravenou odchozí tetradu pomocí

${ displaystyle l ^ {a} = (0,1,0,0) ,, quad n ^ {a} = (1, - { frac {G} {2}}, 0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

${ displaystyle l_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad n_ {a} = (- { frac {G} {2}}, - 1,0,0) , , quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

takže rotační koeficienty jsou

${ displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad varepsilon = 0}$
${ displaystyle rho = - { frac {1} {r}} ,, quad mu = { frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad gamma = { frac {M} {2r ^ {2}}} ,, }$

a Weyl-NP a Ricci-NP skaláry jsou dány

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M } {r ^ {3}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,.}$

„Retardovaný (/ odchozí)“ Schwarzschildův časoprostor je Petrov typu D s ${ displaystyle Psi _ {2}}$ být jediným skalárem Weyl-NP, který se neozývá

Přicházející Vaidya s čistým absorpčním polem

Pokud jde o „pokročilý / příchozí“ metrický ekvivalen Vaidya (7),^[1]^[2]^[6] Ricciho tenzory mají opět jednu nenulovou složku

${ displaystyle (14) quad R_ {vv} = 2 { frac {M (v) _ {, , v}} {r ^ {2}}} ,,}$

a proto ${ displaystyle R = 0}$ a tenzor napětí a energie je

${ displaystyle (15) quad T_ {ab} = { frac {M (v) _ {, , v}} {4 pi r ^ {2}}} , n_ {a} n_ {b} ;, qquad n_ {a} dx ^ {a} = - dv ;.}$

Jedná se o čisté radiační pole s hustotou energie ${ displaystyle { frac {M (v) _ {, , v}} {4 pi r ^ {2}}}}$ , a opět to vyplývá z nulové energetické podmínky Eq (11) ${ displaystyle M (v) _ {, , v}> 0}$ , takže centrální objekt pohlcuje nulové prachy. Jak je vypočítáno v rámečku C, nenulové komponenty Weyl-NP a Ricci-NP metriky „Advanced / Ingoing“ Vaidya metric Eq (7) jsou

${ displaystyle (16) quad Psi _ {2} = - { frac {M (v)} {r ^ {3}}} qquad Phi _ {00} = { frac {M (v) _ { ,, , v}} {r ^ {2}}} ;.}$

Rovněž jsou odchozí a příchozí nulové míry expanze pro liniový prvek Eq (7)

${ displaystyle (17) quad theta _ {( ell)} = - ( rho + { bar { rho}}) = { frac {r-2M (v)} {r ^ {2} }} ,, quad theta _ {(n)} = mu + { bar { mu}} = - { frac {2} {r}} ;.}$

Pokročilé / příchozí řešení Vaidya Eq (7) je zvláště užitečné ve fyzice černých děr, protože je jedním z mála stávajících přesných dynamických řešení. Například se často používá k prozkoumání rozdílů mezi různými definicemi dynamických hranic černé díry, jako jsou klasické horizont událostí a quasilocal trapping horizon; a jak ukazuje Eq (17), evoluční hyperplocha ${ displaystyle r = 2M (v)}$ je vždy okrajově vnější zachycený horizont ( ${ displaystyle theta _ {( ell)} = 0 ;, theta _ {(n)} <0}$ ).

Rámeček C: Analýzy metriky Vaidya v „příchozím“ nulovém tetradu

Předpokládat ${ displaystyle { tilde {F}}: = 1 - { frac {2M (v)} {r}}}$ , pak Lagrangeova pro nulovou radiální geodetika "pokročilého (/ příchozího)" Vaidya časoprostoru Eq (7) je

${ displaystyle L = - { tilde {F}} { dot {v}} ^ {2} +2 { dot {v}} { dot {r}} ,,}$

který má vstupní řešení ${ displaystyle { dot {v}} = 0}$ a odchozí řešení ${ displaystyle { dot {r}} = { frac { tilde {F}} {2}} { dot {v}}}$ v souladu s definicí ${ displaystyle v}$ v Eq (4). Nyní můžeme postavit komplexní null tetrad který je přizpůsoben přicházející nulové radiální geodetice a využívá Newman – Penroseův formalismus pro provedení úplné analýzy časoprostoru Vaidya. Takovou příchozí upravenou tetrad lze nastavit jako

${ displaystyle l ^ {a} = (1, { frac { tilde {F}} {2}}, 0,0) ,, quad n ^ {a} = (0, -1,0, 0) ,, quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,, }$

a duální bazické covektory proto jsou

${ displaystyle l_ {a} = (- { frac { tilde {F}} {2}}, 1,0,0) ,, quad n_ {a} = (- 1,0,0,0 ) ,, quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

V této nulové tetradě jsou spinové koeficienty

${ Displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad gamma = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {-r + 2M (v)} {2r ^ {2}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M (v)} {2r ^ {2 }}} ,.}$

The Weyl-NP a Ricci-NP skaláry jsou dány

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M (v)} {r ^ {3}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,, quad Phi _ {00} = { frac {M (v) _ { ,, , v}} {r ^ {2}}} ;.}$

Vzhledem k tomu, že jediný neozinkující Weyl-NP skalární je ${ displaystyle Psi _ {2}}$ , „pokročilý (/ příchozí)“ časoprostor Vaidya je z Petrov typu D a existuje zakódované radiační pole ${ displaystyle Phi _ {00}}$ .

Rámeček D: Analýzy Schwarzschildovy metriky v „příchozí“ nulové tetradě

Pro "pokročilý (/ příchozí)" Schwarzschildův metrický Eq (5), přesto nechte ${ displaystyle G: = 1 - { frac {2M} {r}}}$ , a pak Lagrangeova pro nulovou radiálu geodetika bude mít příchozí řešení ${ displaystyle { dot {v}} = 0}$ a odchozí řešení ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {G} {2}} { dot {v}}}$ . Podobně jako v poli C, nyní nastavte upravenou příchozí tetradu pomocí

${ displaystyle l ^ {a} = (1, { frac {G} {2}}, 0,0) ,, quad n ^ {a} = (0, -1,0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

${ displaystyle l_ {a} = (- { frac {G} {2}}, 1,0,0) ,, quad n_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

takže rotační koeficienty jsou

${ Displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad gamma = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M} {2r ^ {2}}} ,, }$

a Weyl-NP a Ricci-NP skaláry jsou dány

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M } {r ^ {3}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,.}$

„Pokročilý (/ příchozí)“ Schwarzschildův časoprostor je Petrov typu D s ${ displaystyle Psi _ {2}}$ je jediným skalárem Weyl-NP, který se neliší.

Srovnání s metrikou Schwarzschilda

Jako přirozené a nejjednodušší rozšíření Schwazschildovy metriky má metrika Vaidya s ní stále mnoho společného:

Obě metriky jsou z Petrov typu D s ${ displaystyle Psi _ {2}}$ jako jediný nezinkující Weyl-NP skalární (vypočítané v kolonkách A a B).

Existují však tři jasné rozdíly mezi Schwarzschild a metrika Vaidya:

Nejprve parametr hmotnost ${ displaystyle M}$ pro Schwarzschild je konstanta, zatímco pro Vaidya ${ displaystyle M (u)}$ je u-závislá funkce.
Schwarzschild je řešením vakuové Einsteinovy rovnice ${ displaystyle R_ {ab} = 0}$ , zatímco Vaidya je řešením Einsteinovy rovnice bez stop ${ displaystyle R_ {ab} = 8 pi T_ {ab}}$ s netriviálním čistým energetickým polem záření. Výsledkem je, že všechny skaláry Ricci-NP pro Schwarzschilda mizí, zatímco my ano ${ displaystyle Phi _ {00} = { frac {M (u) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}}}$ pro Vaidya.
Schwarzschild má 4 nezávislé Zabíjení vektorových polí, včetně časové, a je tedy statickou metrikou, zatímco Vaidya má pouze 3 nezávislá vektorová pole zabíjení týkající se sférické symetrie, a proto je nestatická. V důsledku toho patří Schwarzschildova metrika Weylova třída řešení zatímco metrika Vaidya ne.

Rozšíření metriky Vaidya

Kinnersleyova metrika

Zatímco metrika Vaidya je rozšířením Schwarzschildovy metriky o čisté pole záření, Kinnersleyova metrika^[7] představuje další rozšíření metriky Vaidya; popisuje masivní objekt, který se zrychluje při zpětném rázu, protože anizotropně emituje nehmotné záření. Kinnersleyova metrika je zvláštním případem Metrika Kerr-Schild a v kartézských souřadnicích časoprostoru ${ displaystyle x ^ { mu}}$ má následující podobu:

${ displaystyle (18) quad g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} - { frac {2m { bigl (} u (x) { bigr)}} {r (x ) ^ {3}}} sigma _ { mu} (x) sigma _ { nu} (x) !}$

${ Displaystyle (19) quad r (x) = sigma _ { mu} (x) , , lambda ^ { mu} (u (x)) !}$

${ displaystyle (20) quad sigma ^ { mu} (x) = X ^ { mu} (u (x)) - x ^ { mu}, quad eta _ { mu nu} sigma ^ { mu} (x) sigma ^ { nu} (x) = 0 !}$

kde po dobu trvání této sekce se všechny indexy zvednou a sníží pomocí metriky „plochého prostoru“ ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ ,hmotnost" ${ displaystyle m (u)}$ je libovolná funkce správný čas ${ displaystyle u}$ podél mše světová linie měřeno pomocí „ploché“ metriky, ${ displaystyle du ^ {2} = eta _ { mu nu} , dX ^ { mu} dX ^ { mu},}$ a ${ displaystyle X ^ { mu} (u)}$ popisuje libovolnou světovou linii hmoty, ${ displaystyle lambda ^ { mu} (u) = dX ^ { mu} (u) / du}$ je pak čtyřrychlostní mše, ${ displaystyle sigma _ { mu} (x)}$ je "ploché metrické" pole nulových vektorů implicitně definované Eqn. (20) a ${ displaystyle u (x)}$ implicitně rozšiřuje parametr správného času na skalární pole v celém časoprostoru tím, že jej sleduje jako konstantní na odcházejícím světelném kuželu „ploché“ metriky, která se vynoří z události ${ displaystyle X ^ { mu} (u),}$ a uspokojuje identitu ${ displaystyle lambda ^ { mu} (u (x)) , částečný _ { mu} u (x) = 1.}$ Broušení Einsteinova tenzoru pro metriku ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ a integrace odchozího tok energie-hybnost „v nekonečnu,“ zjistíme, že metrika ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ popisuje hmotu se závislostí na správném čase čtyři momenty ${ displaystyle P ^ { mu} = m (u) , lambda ^ { mu} (u)}$ který vydává síťový << odkaz: 0 >> při správné rychlosti ${ displaystyle -dP ^ { mu} / du;}$ při pohledu z okamžitého klidového rámce hmoty má tok záření úhlové rozložení ${ Displaystyle A (u) + B (u) , cos ( theta (u)),}$ kde ${ displaystyle A (u)}$ a ${ displaystyle B (u)}$ jsou komplikované skalární funkce ${ displaystyle m (u), lambda ^ { mu} (u), sigma _ { mu} (u),}$ a jejich deriváty a ${ displaystyle theta (u)}$ je okamžitý úhel odpočinku mezi 3-zrychlením a odcházejícím nulovým vektorem. Kinnersleyovu metriku lze proto považovat za popis gravitačního pole zrychlujícího se fotonová raketa s velmi špatně kolimovaným výfukem.

Ve zvláštním případě, kdy ${ displaystyle lambda ^ { mu}}$ je nezávislá na správném čase, metrika Kinnersley se redukuje na metodu Vaidya.

Metrika Vaidya-Bonner

Protože vyzařovaná nebo absorbovaná hmota může být elektricky nenulová, lze odchozí a příchozí metriky Vaidya Eqs (6) (7) přirozeně rozšířit tak, aby zahrnovaly různé elektrické náboje,

${ displaystyle (18) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (u)} {r}} + { frac {Q (u)} {r ^ {2 }}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ; ,}$

${ displaystyle (19) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (v)} {r}} + { frac {Q (v)} {r ^ {2 }}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ; .}$

Rovnice (18) (19) se nazývají metriky Vaidya-Bonner a zjevně je lze také považovat za rozšíření Reissner – Nordströmova metrika, na rozdíl od korespondence mezi metrikami Vaidya a Schwarzschild.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Sekce 4.3.5 a Sekce 5.1.8.
^ ^A ^b ^C ^d Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Oddíl 9.5.
^ Thanu Padmanabhan. Gravitace: Základy a hranice. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Sekce 7.3.
^ Pankaj S Joshi. Globální aspekty gravitace a kosmologie. Oxford: Oxford University Press, 1996. Oddíl 3.5.
^ Pankaj S Joshi. Gravitační kolaps a časoprostorové zvláštnosti. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Sekce 2.7.6.
^ Valeri Pavlovič Frolov, Igor Dmitrievič Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Oddíl 5.7.
^ Kinnersley, W. (říjen 1969). Msgstr "Pole libovolně se zrychlující bodové hmoty". Phys. Rev. 186 (5): 1335. Bibcode:1969PhRv..186,1335K. doi:10.1103 / PhysRev.186.1335.

[Vaidya-1-1] A ^b ^C ^d Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Sekce 4.3.5 a Sekce 5.1.8.

[Vaidya-2-2] A ^b ^C ^d Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Oddíl 9.5.

[Vaidya-3-3] Thanu Padmanabhan. Gravitace: Základy a hranice. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Sekce 7.3.

[Vaidya-4-4] Pankaj S Joshi. Globální aspekty gravitace a kosmologie. Oxford: Oxford University Press, 1996. Oddíl 3.5.

[Vaidya-5-5] Pankaj S Joshi. Gravitační kolaps a časoprostorové zvláštnosti. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Sekce 2.7.6.

[Vaidya-6-6] Valeri Pavlovič Frolov, Igor Dmitrievič Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Oddíl 5.7.

[7] Kinnersley, W. (říjen 1969). Msgstr "Pole libovolně se zrychlující bodové hmoty". Phys. Rev. 186 (5): 1335. Bibcode:1969PhRv..186,1335K. doi:10.1103 / PhysRev.186.1335.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]