Ricciho skaláry (Newman – Penroseův formalismus) - Ricci scalars (Newman–Penrose formalism)

V Newman – Penrose (NP) formalismus z obecná relativita, nezávislé složky Ricciho tenzory čtyřrozměrného vesmírný čas jsou zakódovány do sedmi (nebo deseti) Ricciho skaláry které se skládají ze tří skutečných skaláry ${ displaystyle { Phi _ {00}, Phi _ {11}, Phi _ {22} }}$ , tři (nebo šest) komplexních skalárů ${ displaystyle { Phi _ {01} = { overline { Phi}} _ {10} ,, Phi _ {02} = { overline { Phi}} _ {20} ,, Phi _ {12} = { overline { Phi}} _ {21} }}$ a NP zakřivení skalární ${ displaystyle Lambda}$ . Fyzicky jsou Ricci-NP skaláry spojeny s distribucí energie a hybnosti časoprostoru v důsledku Einsteinova rovnice pole.

Definice

Vzhledem ke složité nulové tetradě ${ displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ as úmluvou ${ displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1 ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 } }$ , Ricci-NP skaláry jsou definovány^[1]^[2]^[3] (kde overline znamená komplexní konjugát )

${ displaystyle Phi _ {00}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} ,, quad Phi _ {11}: = { frac {1} {4}} R_ {ab} (, l ^ {a} n ^ {b} + m ^ {a} { bar {m}} ^ {b}) ,, quad Phi _ {22}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} n ^ {a} n ^ {b} ,, quad Lambda: = { frac {R} {24}} ,;}$

${ displaystyle Phi _ {01}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} m ^ {b} ,, quad ; Phi _ {10}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} { bar {m}} ^ {b} = { overline { Phi}} _ {01} ,,}$
${ displaystyle Phi _ {02}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} m ^ {b} ,, quad Phi _ {20}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} { bar {m}} ^ {a} { bar {m}} ^ {b} = { overline { Phi}} _ {02} ,, }$
${ displaystyle Phi _ {12}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} n ^ {b} ,, quad ; Phi _ {21}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} { bar {m}} ^ {a} n ^ {b} = { overline { Phi}} _ {12} ,.}$

Poznámka I: V těchto definicích ${ displaystyle R_ {ab}}$ lze nahradit jeho bez stop část ${ displaystyle Q_ {ab} = R_ {ab} - { frac {1} {4}} g_ {ab} R}$ ^[2] nebo Einsteinův tenzor ${ displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} - { frac {1} {2}} g_ {ab} R}$ kvůli normalizačním (tj. vnitřním produktovým) vztahům, které

{ displaystyle l_ {a} l ^ {a} = n_ {a} n ^ {a} = m_ {a} m ^ {a} = { bar {m}} _ {a} { bar {m} } ^ {a} = 0 ,,}

{ displaystyle l_ {a} m ^ {a} = l_ {a} { bar {m}} ^ {a} = n_ {a} m ^ {a} = n_ {a} { bar {m}} ^ {a} = 0 ,.}

Poznámka II: Speciálně pro elektrovakuum, my máme ${ displaystyle Lambda = 0}$ , tím pádem

${ displaystyle 24 Lambda , = 0 = , R_ {ab} g ^ {ab} , = , R_ {ab} { Big (} -2l ^ {a} n ^ {b} + 2 m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} { Big)} ; Rightarrow ; R_ {ab} l ^ {a} n ^ {b} , = , R_ {ab} m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} ,,}$

a proto ${ displaystyle Phi _ {11}}$ je snížena na

${ displaystyle Phi _ {11}: = { frac {1} {4}} R_ {ab} (, l ^ {a} n ^ {b} + m ^ {a} { bar {m} } ^ {b}) = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} n ^ {b} = { frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a } { bar {m}} ^ {b} ,.}$

Poznámka III: Pokud někdo přijme úmluvu ${ displaystyle {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1 ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = - 1 } }$ , definice ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ měl by mít opačné hodnoty;^[4]^[5]^[6]^[7] to znamená, ${ displaystyle Phi _ {ij} mapsto - Phi _ {ij}}$ po přechodu podpisu.

Alternativní derivace

Podle výše uvedených definic je třeba zjistit Ricciho tenzory před výpočtem skalárů Ricci-NP pomocí kontrakcí s odpovídajícími tetradovými vektory. Tato metoda však plně neodráží ducha formalismu Newman-Penrose a alternativně lze spočítat spinové koeficienty a pak odvodit skaláry Ricci-NP ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ prostřednictvím relevantní Rovnice NP pole že^[2]^[7]

{ displaystyle Phi _ {00} = D rho - { bar { delta}} kappa - ( rho ^ {2} + sigma { bar { sigma}}) - ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) rho + { bar { kappa}} tau + kappa (3 alpha + { bar { beta}} - pi) ,,}

{ displaystyle Phi _ {10} = D alfa - { bar { delta}} varepsilon - ( rho + { bar { varepsilon}} - 2 varepsilon) alfa - beta { bar { sigma}} + { bar { beta}} varepsilon + kappa lambda + { bar { kappa}} gamma - ( varepsilon + rho) pi ,,}

{ displaystyle Phi _ {02} = delta tau - Delta sigma - ( mu sigma + { bar { lambda}} rho) - ( tau + beta - { bar { alpha}}) tau + (3 gamma - { bar { gamma}}) sigma + kappa { bar { nu}} ,,}

{ displaystyle Phi _ {20} = D lambda - { bar { delta}} pi - ( rho lambda + { bar { sigma}} mu) - pi ^ {2} - ( alpha - { bar { beta}}) pi + nu { bar { kappa}} + (3 varepsilon - { bar { varepsilon}}) lambda ,,}

{ displaystyle Phi _ {12} = delta gamma - Delta beta - ( tau - { bar { alpha}} - beta) gamma - mu tau + sigma nu + varepsilon { bar { nu}} + ( gamma - { bar { gamma}} - mu) beta - alpha { bar { lambda}} ,,}

{ displaystyle Phi _ {22} = delta nu - Delta mu - ( mu ^ {2} + lambda { bar { lambda}}) - ( gamma + { bar { gamma }}) mu + { bar { nu}} pi - ( tau -3 beta - { bar { alpha}}) nu ,,}

{ displaystyle 2 Phi _ {11} = D gamma - Delta varepsilon + delta alpha - { bar { delta}} beta - ( tau + { bar { pi}}) alpha - alpha { bar { alpha}} - ({ bar { tau}} + pi) beta - beta { bar { beta}} + 2 alpha beta + ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) gamma - ( rho - { bar { rho}}) gamma + ( gamma + { bar { gamma}}) varepsilon - ( mu - { lišta { mu}}) varepsilon - tau pi + nu kappa - ( mu rho - lambda sigma) ,,}

zatímco NP zakřivení skalární ${ displaystyle Lambda}$ lze přímo a snadno vypočítat pomocí ${ displaystyle Lambda = { frac {R} {24}}}$ s ${ displaystyle R}$ být obyčejný skalární zakřivení metriky časoprostoru ${ displaystyle g_ {ab} = - l_ {a} n_ {b} -n_ {a} l_ {b} + m_ {a} { bar {m}} _ {b} + { bar {m}} _ {a} m_ {b}}$ .

Elektromagnetické Ricci-NP skaláry

Podle definic skalárů Ricci-NP ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ výše a skutečnost, že ${ displaystyle R_ {ab}}$ lze nahradit ${ displaystyle G_ {ab}}$ v definicích, ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ souvisí s distribucí energie a hybnosti díky Einsteinovým polním rovnicím ${ displaystyle G_ {ab} = 8 pi T_ {ab}}$ . V nejjednodušší situaci, tj. Vakuový časoprostor při absenci hmotných polí s ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$ , budeme mít ${ displaystyle Phi _ {ij} = 0}$ . Kromě toho pro elektromagnetické pole, kromě výše uvedených definic, ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ lze určit konkrétněji pomocí^[1]

${ displaystyle Phi _ {ij} = , 2 , phi _ {i} , { overline { phi}} _ {j} ,, quad (i, j in {0, 1,2 }) ,,}$

kde ${ displaystyle phi _ {i}}$ označit tři komplexní Maxwell-NP skaláry^[1] které kódují šest nezávislých komponent Faraday-Maxwellovy 2 formy ${ displaystyle F_ {ab}}$ (tj tenzor intenzity elektromagnetického pole )

${ displaystyle phi _ {0}: = - F_ {ab} l ^ {a} m ^ {b} ,, quad phi _ {1}: = - { frac {1} {2}} F_ {ab} { big (} l ^ {a} n ^ {a} -m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} { big)} ,, quad phi _ { 2}: = F_ {ab} n ^ {a} { bar {m}} ^ {b} ,.}$

Poznámka: Rovnice ${ displaystyle Phi _ {ij} = 2 , phi _ {i} , { overline { phi}} _ {j}}$ pro elektromagnetické pole však nemusí nutně platit pro jiné druhy hmotných polí. Například v případě polí Yang – Mills bude ${ displaystyle Phi _ {ij} = , { text {Tr}} , ( digamma _ {i} , { bar { digamma}} _ {j})}$ kde ${ displaystyle digamma _ {i} (i in {0,1,2 })}$ jsou skaláři Yang – Mills-NP.^[8]

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 2.
^ ^A ^b ^C Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Dodatek E.
^ Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Izolované horizonty: Hamiltonovská evoluce a první zákon. Fyzická revize D, 2000, 62(10): 104025. Dodatek B. gr-qc / 0005083
^ Ezra T Newman, Roger Penrose. Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.
^ Ezra T Newman, Roger Penrose. Errata: Přístup ke gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998.
^ Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Chicago: University of Chikago Press, 1983.
^ ^A ^b Peter O'Donnell. Úvod do 2spinorů v obecné relativitě. Singapur: World Scientific, 2003.
^ E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes, Dodatek A.2. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: Sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2), strana 27. New York and London: Plenum Press, 1980.

[refNP1-1] A ^b ^C Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 2.

[refNP2-2] A ^b ^C Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Dodatek E.

[refNP3-3] Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Izolované horizonty: Hamiltonovská evoluce a první zákon. Fyzická revize D, 2000, 62(10): 104025. Dodatek B. gr-qc / 0005083

[4] Ezra T Newman, Roger Penrose. Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.

[5] Ezra T Newman, Roger Penrose. Errata: Přístup ke gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998.

[NP3-6] Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Chicago: University of Chikago Press, 1983.

[ODonnell-7] A ^b Peter O'Donnell. Úvod do 2spinorů v obecné relativitě. Singapur: World Scientific, 2003.

[8] E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes, Dodatek A.2. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: Sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2), strana 27. New York and London: Plenum Press, 1980.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]