Weyl metriky - Weyl metrics

v obecná relativita, Weyl metriky (pojmenováno podle německo-amerického matematika Hermann Weyl )^[1] jsou třídou statický a osově souměrné řešení Einsteinova rovnice pole. Tři členové renomovaných Kerr – Newman rodinné řešení, jmenovitě Schwarzschild, žádné extrémní Reissner – Nordström a extrémní metriky Reissner – Nordström lze identifikovat jako metriky Weylova typu.

Standardní metriky Weyl

Weylova třída řešení má obecnou formu^[2]^[3]

${ displaystyle (1) quad ds ^ {2} = - e ^ {2 psi ( rho, z)} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma ( rho, z) -2 psi ( rho, z)} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + e ^ {- 2 psi ( rho, z)} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,,}$

kde ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ a ${ displaystyle gamma ( rho, z)}$ jsou dva metrické potenciály závislé na Weylovy kanonické souřadnice ${ displaystyle { rho ,, z }}$ . Souřadnicový systém ${ displaystyle {t, rho, z, phi }}$ slouží nejlépe pro symetrie Weylova časoprostoru (se dvěma Zabíjení vektorových polí bytost ${ displaystyle xi ^ {t} = částečné _ {t}}$ a ${ displaystyle xi ^ { phi} = částečný _ { phi}}$ ) a často se chová jako válcové souřadnice,^[2] ale je neúplný při popisu a Černá díra tak jako ${ displaystyle { rho ,, z }}$ pokrýt pouze horizont a jeho exteriéry.

Z tohoto důvodu určit statické osově symetrické řešení odpovídající konkrétnímu tenzor napětí a energie ${ displaystyle T_ {ab}}$ , stačí nahradit Weylův metrický Eq (1) do Einsteinovy rovnice (s c = G = 1):

${ displaystyle (2) quad R_ {ab} - { frac {1} {2}} Rg_ {ab} = 8 pi T_ {ab} ,,}$

a vypracujte obě funkce ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ a ${ displaystyle gamma ( rho, z)}$ .

Rovnice se sníženým polem pro Weylova řešení Electrovac

Jedním z nejlépe prozkoumaných a nejužitečnějších řešení Weyl je případ elektrovacu ${ displaystyle T_ {ab}}$ pochází z existence (Weylova typu) elektromagnetického pole (bez toku hmoty a proudu). Jak víme, vzhledem k elektromagnetickému čtyřpotenciálu ${ displaystyle A_ {a}}$ , antisymetrické elektromagnetické pole ${ displaystyle F_ {ab}}$ a tenzor stresu a energie bez stop ${ displaystyle T_ {ab}}$ ${ displaystyle (T = g ^ {ab} T_ {ab} = 0)}$ bude příslušně určeno

${ displaystyle (3) quad F_ {ab} = A_ {b ,; , a} -A_ {a ,; , b} = A_ {b ,, , a} -A_ {a ,, , b}}$
${ displaystyle (4) quad T_ {ab} = { frac {1} {4 pi}} , { Big (} , F_ {ac} F_ {b} ^ {; c} - { frac {1} {4}} g_ {ab} F_ {cd} F ^ {cd} { Big)} ,,}$

který respektuje Maxvarovy rovnice bez kovariantů bez zdroje:

${ displaystyle (5.a) quad { big (} F ^ {ab} { big)} _ {; , b} = 0 ,, quad F _ {[ab ,; , c] } = 0 ,.}$

Eq (5.a) lze zjednodušit na:

${ displaystyle (5.b) quad { big (} { sqrt {-g}} , F ^ {ab} { big)} _ {, , b} = 0 ,, quad F_ {[ab ,, , c]} = 0}$

ve výpočtech jako ${ displaystyle Gamma _ {bc} ^ {a} = Gamma _ {cb} ^ {a}}$ . Také od té doby ${ displaystyle R = -8 pi T = 0}$ pro elektrovakuum se Eq (2) sníží na

${ displaystyle (6) quad R_ {ab} = 8 pi T_ {ab} ,.}$

Nyní předpokládejme, že je osově symetrický elektrostatický potenciál Weylova typu ${ displaystyle A_ {a} = Phi ( rho, z) [dt] _ {a}}$ (součást ${ displaystyle Phi}$ je ve skutečnosti elektromagnetický skalární potenciál ) a společně s Weylským metrickým ekv. (1), ekv. (3) (4) (5) (6) naznačují, že

${ displaystyle (7.a) quad nabla ^ {2} psi = , ( nabla psi) ^ {2} + gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz}}$
${ displaystyle (7.b) quad nabla ^ {2} psi = , e ^ {- 2 psi} ( nabla Phi) ^ {2}}$
${ displaystyle (7.c) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , rho} = , psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} -e ^ {- 2 psi} { big (} Phi _ {, , rho} ^ {2} - Phi _ {, , z} ^ {2} { big)}}$
${ displaystyle (7.d) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , z} = , 2 psi _ {, , rho} psi _ { , , z} -2e ^ {- 2 psi} Phi _ {, , rho} Phi _ {, , z}}$
${ displaystyle (7.e) quad nabla ^ {2} Phi = , 2 nabla psi nabla Phi ,,}$

kde ${ displaystyle R = 0}$ výtěžek Eq (7.a), ${ displaystyle R_ {tt} = 8 pi T_ {tt}}$ nebo ${ displaystyle R _ { varphi varphi} = 8 pi T _ { varphi varphi}}$ výtěžek Eq (7.b), ${ displaystyle R _ { rho rho} = 8 pi T _ { rho rho}}$ nebo ${ displaystyle R_ {zz} = 8 pi T_ {zz}}$ výtěžek Eq (7.c), ${ displaystyle R _ { rho z} = 8 pi T _ { rho z}}$ výtěžek Eq (7.d) a Eq (5.b) výtěžek Eq (7.e). Tady ${ displaystyle nabla ^ {2} = částečný _ { rho rho} + { frac {1} { rho}} , částečný _ { rho} + částečný _ {zz}}$ a ${ displaystyle nabla = částečný _ { rho} , { hat {e}} _ { rho} + částečný _ {z} , { hat {e}} _ {z}}$ jsou příslušně Laplace a spád operátory. Navíc, pokud předpokládáme ${ displaystyle psi = psi ( Phi)}$ ve smyslu souhry hmoty a geometrie a předpokládejme asymptotickou plochost zjistíme, že Eqs (7.a-e) implikuje charakteristický vztah, který

${ displaystyle (7.f) quad e ^ { psi} = , Phi ^ {2} -2C Phi +1 ,.}$

Konkrétně v nejjednodušším vakuovém pouzdře s ${ displaystyle Phi = 0}$ a ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$ , Eqs (7.a-7.e) se sníží na^[4]

${ displaystyle (8.a) quad gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz} = - ( nabla psi) ^ {2}}$
${ displaystyle (8.b) quad nabla ^ {2} psi = 0}$
${ displaystyle (8.c) quad gamma _ {, , rho} = rho , { Big (} psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} { Big)}}$
${ displaystyle (8.d) quad gamma _ {, , z} = 2 , rho , psi _ {, , rho} psi _ {, , z} ,.}$

Nejprve můžeme získat ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ řešením Eq (8.b) a poté integrovat Eq (8.c) a Eq (8.d) pro ${ displaystyle gamma ( rho, z)}$ . Prakticky Eq (8.a) vyplývající z ${ displaystyle R = 0}$ funguje pouze jako vztah konzistence nebo stav integrability.

Na rozdíl od nelineárních Poissonova rovnice Eq (7.b), Eq (8.b) je lineární Laplaceova rovnice; to znamená, superpozice daných vakuových roztoků na Eq (8.b) je stále řešením. Tato skutečnost má široké uplatnění, například pro analytické účely narušit Schwarzschildovu černou díru.

Rámeček A: Poznámky k rovnici elektrického pole

Pro psaní Eqs (7.a-7.e) a Eqs (8.a-8.d) jsme použili osově symetrické Laplaceovy a gradientní operátory kompaktním způsobem, což je velmi užitečné při odvození charakteristického vztahu Eq (7 .F). V literatuře jsou Eqs (7.a-7.e) a Eqs (8.a-8.d) často psány také v následujících formách:

${ displaystyle (A.1.a) quad psi _ {, , rho rho} + { frac {1} { rho}} psi _ {, , rho} + psi _ {, , zz} = , ( psi _ {, , rho}) ^ {2} + ( psi _ {, , z}) ^ {2} + gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz}}$
${ displaystyle (A.1.b) quad psi _ {, , rho rho} + { frac {1} { rho}} psi _ {, , rho} + psi _ {, , zz} = e ^ {- 2 psi} { big (} Phi _ {, , rho} ^ {2} + Phi _ {, , z} ^ {2} { velký)}}$
${ displaystyle (A.1.c) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , rho} = , psi _ {, , rho} ^ { 2} - psi _ {, , z} ^ {2} -e ^ {- 2 psi} { big (} Phi _ {, , rho} ^ {2} - Phi _ {, , z} ^ {2} { big)}}$
${ displaystyle (A.1.d) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , z} = , 2 psi _ {, , rho} psi _ {, , z} -2e ^ {- 2 psi} Phi _ {, , rho} Phi _ {, , z}}$
${ displaystyle (A.1.e) quad Phi _ {, , rho rho} + { frac {1} { rho}} Phi _ {, , rho} + Phi _ {, , zz} = , 2 psi _ {, , rho} Phi _ {, , rho} +2 psi _ {, , z} Phi _ {, , z} }$

a

${ displaystyle (A.2.a) quad ( psi _ {, , rho}) ^ {2} + ( psi _ {, , z}) ^ {2} = - gamma _ { , , rho rho} - gamma _ {, , zz}}$
${ displaystyle (A.2.b) quad psi _ {, , rho rho} + { frac {1} { rho}} psi _ {, , rho} + psi _ {, , zz} = 0}$
${ displaystyle (A.2.c) quad gamma _ {, , rho} = rho , { Big (} psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} { Big)}}$
${ Displaystyle (A.2.d) quad gamma _ {, , z} = 2 , rho , psi _ {, , rho} psi _ {, , z} , .}$

Rámeček B: Odvození Weylova elektrovacu

{ displaystyle psi sim Phi}

charakteristický vztah

Vzhledem k souhře mezi geometrií časoprostoru a distribucemi energie a hmoty je přirozené předpokládat, že v Eqs (7.a-7.e) je metrická funkce ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ souvisí s elektrostatickým skalárním potenciálem ${ displaystyle Phi ( rho, z)}$ prostřednictvím funkce ${ displaystyle psi = psi ( Phi)}$ (což znamená, že geometrie závisí na energii) a z toho vyplývá

${ displaystyle (B.1) quad psi _ {, , i} = psi _ {, , Phi} cdot Phi _ {, , i} quad, quad nabla psi = psi _ {, , Phi} cdot nabla Phi quad, quad nabla ^ {2} psi = psi _ {, , Phi} cdot nabla ^ {2} Phi + psi _ {, , Phi Phi} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$

Eq (B.1) okamžitě změní Eq (7.b) a Eq (7.e) na

${ displaystyle (B.2) quad Psi _ {, , Phi} cdot nabla ^ {2} Phi , = , { big (} e ^ {- 2 psi} - psi _ {, , Phi Phi} { big)} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$
${ displaystyle (B.3) quad nabla ^ {2} Phi , = , 2 psi _ {, , Phi} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$

které vedou k

${ displaystyle (B.4) quad psi _ {, , Phi Phi} +2 , { big (} psi _ {, , Phi} { big)} ^ {2} -e ^ {- 2 psi} = 0.}$

Nyní vyměňte proměnnou ${ displaystyle psi}$ podle ${ displaystyle zeta: = e ^ {2 psi}}$ a Eq (B.4) je zjednodušeno na

${ displaystyle (B.5) quad zeta _ {, , Phi Phi} -2 = 0.}$

Přímá kvadratura výtěžků Eq (B.5) ${ displaystyle zeta = e ^ {2 psi} = Phi ^ {2} + { tilde {C}} Phi + B}$ , s ${ displaystyle {B, { tilde {C}} }}$ jsou integrální konstanty. K obnovení asymptotické plochosti v prostorovém nekonečnu potřebujeme ${ displaystyle lim _ { rho, z až infty} Phi = 0}$ a ${ displaystyle lim _ { rho, z až infty} e ^ {2 psi} = 1}$ , tak by to mělo být ${ displaystyle B = 1}$ . Také přepište konstantu ${ displaystyle { tilde {C}}}$ tak jako ${ displaystyle -2C}$ pro matematické pohodlí v následných výpočtech a jeden konečně získá charakteristický vztah implikovaný Eqs (7.a-7.e), který

${ displaystyle (7.f) quad e ^ {2 psi} = Phi ^ {2} -2C Phi +1 ,.}$

Tento vztah je důležitý pro linearizaci Eqs (7.a-7.f) a superpozice elektrovac Weylových řešení.

Newtonovský analog metrického potenciálu Ψ (ρ, z)

Ve Weylově metrickém ekv. (1) ${ displaystyle e ^ { pm 2 psi} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( pm 2 psi) ^ {n}} {n!}}}$ ; tedy v aproximaci pro limit slabého pole ${ displaystyle psi až 0}$ , jeden má

${ displaystyle (9) quad g_ {tt} = - (1 + 2 psi) - { mathcal {O}} ( psi ^ {2}) ,, quad g _ { phi phi} = 1-2 psi + { mathcal {O}} ( psi ^ {2}) ,,}$

a proto

${ displaystyle (10) quad ds ^ {2} přibližně - { Big (} 1 + 2 psi ( rho, z) { Big)} dt ^ {2} + { Big (} 1-2 psi ( rho, z) { Big)} { Big [} e ^ {2 gamma} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big]} ,.}$

To je docela analogické se známou přibližnou metrikou pro statické a slabé gravitační pole generované nebeskými tělesy o nízké hmotnosti, jako je Slunce a Země,^[5]

${ displaystyle (11) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 + 2 Phi _ {N} ( rho, z) { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1-2 Phi _ {N} ( rho, z) { Big)} , { Big [} d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big]} ,.}$

kde ${ displaystyle Phi _ {N} ( rho, z)}$ je obvyklé Newtonian potenciál uspokojení Poissonovy rovnice ${ displaystyle nabla _ {L} ^ {2} Phi _ {N} = 4 pi varrho _ {N}}$ , stejně jako Eq (3.a) nebo Eq (4.a) pro Weylův metrický potenciál ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ . Podobnosti mezi ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ a ${ displaystyle Phi _ {N} ( rho, z)}$ inspirovat lidi, aby zjistili Newtonovský analog z ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ při studiu Weylovy třídy řešení; to znamená reprodukovat ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ nerelativisticky určitým typem newtonovských zdrojů. Newtonovský analog ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ se velmi hodí při specifikaci konkrétních řešení typu Weyl a při rozšiřování stávajících řešení typu Weyl.^[2]

Schwarzschildovo řešení

Generování Weylových potenciálů Schwarzschildova metrika jako řešení vakuových rovnic Eq (8) jsou dány vztahem^[2]^[3]^[4]

${ displaystyle (12) quad psi _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {LM} {L + M}} ,, quad gamma _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} -M ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} ,,}$

kde

${ displaystyle (13) quad L = { frac {1} {2}} { big (} l _ {+} + l _ {-} { big)} ,, quad l _ {+} = { sqrt { rho ^ {2} + (z + M) ^ {2}}} ,, quad l _ {-} = { sqrt { rho ^ {2} + (zM) ^ {2}} } ,.}$

Z pohledu newtonovského analogu ${ displaystyle psi _ {SS}}$ se rovná gravitačnímu potenciálu produkovanému hmotnou tyčí ${ displaystyle M}$ a délka ${ displaystyle 2M}$ umístěny symetricky na ${ displaystyle z}$ -osa; to znamená čárovou hmotou jednotné hustoty ${ displaystyle sigma = 1/2}$ vložený interval ${ displaystyle z v [-M, M]}$ . (Poznámka: Na základě tohoto analogu byla vyvinuta důležitá rozšíření Schwarzschildovy metriky, jak je popsáno v ref.^[2])

Dáno ${ displaystyle psi _ {SS}}$ a ${ displaystyle gamma _ {SS}}$ , Weylova metrická rovnice ( ref {Weylova metrika v kanonických souřadnicích) se stane

${ displaystyle (14) quad ds ^ {2} = - { frac {LM} {L + M}} dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {l_ { +} l _ {-}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + { frac {L + M} {LM}} , rho ^ {2} d phi ^ {2 } ,,}$

a po nahrazení následujících vzájemně konzistentních vztahů

${ Displaystyle (15) quad L + M = r ,, quad l _ {+} - l _ {-} = 2M cos theta ,, quad z = (rM) cos theta ,, }$
${ displaystyle ; ; quad rho = { sqrt {r ^ {2} -2Mr}} , sin theta ,, quad l _ {+} l _ {-} = (rM) ^ { 2} -M ^ {2} cos ^ {2} theta ,,}$

lze získat obvyklou formu Schwarzschildovy metriky ${ displaystyle {t, r, theta, phi }}$ souřadnice,

${ displaystyle (16) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ { 2} theta , d phi ^ {2} ,.}$

Metrický Eq (14) nelze přímo transformovat na Eq (16) provedením standardní válcovo-sférické transformace ${ Displaystyle (t, rho, z, phi) = (t, r sin theta, r cos theta, phi)}$ , protože ${ displaystyle {t, r, theta, phi }}$ je kompletní ${ displaystyle (t, rho, z, phi)}$ je neúplný. Proto voláme ${ displaystyle {t, rho, z, phi }}$ v Eq (1) jako Weylovy kanonické souřadnice spíše než válcové souřadnice, i když mají mnoho společného; například Laplacian ${ displaystyle nabla ^ {2}: = částečný _ { rho rho} + { frac {1} { rho}} částečný _ { rho} + částečný _ {zz}}$ v Eq (7) je přesně dvourozměrný geometrický Laplacian ve válcových souřadnicích.

Žádné extrémní řešení Reissner – Nordström

Weylovy potenciály generující neobyčejné Reissner – Nordström řešení ( ${ displaystyle M> | Q |}$ ), protože řešení Eqs (7} jsou dána^[2]^[3]^[4]

${ displaystyle (17) quad psi _ {RN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2}) } {(L + M) ^ {2}}} ,, quad gamma _ {RN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})} {l _ {+} l _ {-}}} ,,}$

kde

${ displaystyle (18) quad L = { frac {1} {2}} { big (} l _ {+} + l _ {-} { big)} ,, quad l _ {+} = { sqrt { rho ^ {2} + (z + { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}}) ^ {2}}} ,, quad l _ {-} = { sqrt { rho ^ {2} + (z - { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}}) ^ {2}}} ,.}$

Tak, vzhledem k tomu ${ displaystyle psi _ {RN}}$ a ${ displaystyle gamma _ {RN}}$ , Weylova metrika se stává

${ displaystyle (19) quad ds ^ {2} = - { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})}} ((L + M) ^ {2}} } dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + { frac {(L + M) ^ {2}} {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})}} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,, }$

a za použití následujících transformací

${ displaystyle (20) quad L + M = r ,, quad l _ {+} - l _ {-} = 2 { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}} , cos theta ,, quad z = (rM) cos theta ,,}$
${ displaystyle ; ; quad rho = { sqrt {r ^ {2} -2Mr + Q ^ {2}}} , sin theta ,, quad l _ {+} l _ {-} = (rM) ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2}) cos ^ {2} theta ,,}$

lze získat běžnou formu neextrémní metriky Reissner – Nordström obvyklým způsobem ${ displaystyle {t, r, theta, phi }}$ souřadnice,

${ displaystyle (21) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}} } { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2 } ,.}$

Extrémní řešení Reissner – Nordström

Potenciály generující extrémní Řešení Reissner – Nordström ( ${ displaystyle M = | Q |}$ ), protože řešení Eqs (7} jsou dána^[4] (Poznámka: Zacházíme s extrémní řešení samostatně, protože je mnohem více než zvrhlý stav neexistujícího protějšku.)

${ displaystyle (22) quad psi _ {ERN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2}} {(L + M) ^ {2}}} ,, quad gamma _ {ERN} = 0 ,, quad { text {with}} quad L = { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}} ,.}$

Extrémní metrika Reissner – Nordström tedy čte

${ displaystyle (23) quad ds ^ {2} = - { frac {L ^ {2}} {(L + M) ^ {2}}} dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {L ^ {2}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2}) ,,}$

a nahrazením

${ Displaystyle (24) quad L + M = r ,, quad z = L cos theta ,, quad rho = L sin theta ,,}$

získáme extrémní metodu Reissner – Nordström obvyklou ${ displaystyle {t, r, theta, phi }}$ souřadnice,

${ displaystyle (25) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {2} dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {- 2} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ,.}$

Matematicky lze extrémní Reissner – Nordström získat převzetím limitu ${ displaystyle Q až M}$ odpovídající neexistující extrémní rovnice a mezitím musíme použít Pravidlo L'Hospital někdy.

Poznámky: Weylova metrika Eq (1) s mizejícím potenciálem ${ displaystyle gamma ( rho, z)}$ (jako extrémní metrika Reissner – Nordström) představují speciální podtřídu, která má pouze jeden metrický potenciál ${ displaystyle psi ( rho, z)}$ být identifikován. Rozšířením této podtřídy zrušením omezení osové symetrie získáme další užitečnou třídu řešení (stále používajících Weylovy souřadnice), jmenovitě konformní metriky,^[6]^[7]

${ displaystyle (26) quad ds ^ {2} , = - e ^ {2 lambda ( rho, z, phi)} dt ^ {2} + e ^ {- 2 lambda ( rho, z, phi)} { Big (} d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big)} ,,}$

kde používáme ${ displaystyle lambda}$ v Eq (22) jako jediná metrická funkce místo ${ displaystyle psi}$ v Eq (1) zdůraznit, že se liší axiální symetrií ( ${ displaystyle phi}$ -závislost).

Weylovy vakuové roztoky ve sférických souřadnicích

Weylova metrika může být také vyjádřena v sférické souřadnice že

${ displaystyle (27) quad ds ^ {2} , = - e ^ {2 psi (r, theta)} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma (r, theta) -2 psi (r, theta)} (dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2}) + e ^ {- 2 psi (r, theta)} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,,}$

který se rovná Eq (1) prostřednictvím transformace souřadnic ${ Displaystyle (t, rho, z, phi) mapsto (t, r sin theta, r cos theta, phi)}$ (Poznámka: Jak ukazuje Eqs (15) (21) (24), tato transformace není vždy použitelná.) V případě vakua Eq (8.b) pro ${ displaystyle psi (r, theta)}$ se stává

${ displaystyle (28) quad r ^ {2} psi _ {, , rr} + 2r , psi _ {, , r} + psi _ {, , theta theta} + dětská postýlka theta cdot psi _ {, , theta} , = , 0 ,.}$

The asymptoticky plochá řešení Eq (28) je^[2]

${ displaystyle (29) quad psi (r, theta) , = - součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} { frac {P_ {n} ( cos theta )} {r ^ {n + 1}}} ,,}$

kde ${ displaystyle P_ {n} ( cos theta)}$ zastupovat Legendární polynomy, a ${ displaystyle a_ {n}}$ jsou vícepólový koeficienty. Další metrický potenciál ${ displaystyle gamma (r, theta)}$ darováno^[2]

${ displaystyle (30) quad gamma (r, theta) , = - součet _ {l = 0} ^ { infty} součet _ {m = 0} ^ { infty} a_ {l} dopoledne}}$ ${ displaystyle { frac {(l + 1) (m + 1)} {l + m + 2}}}$ ${ displaystyle { frac {P_ {l} P_ {m} -P_ {l + 1} P_ {m + 1}} {r ^ {l + m + 2}}} ,.}$

Viz také

Reference

^ Weyl, H., „Zur Gravitationstheorie,“ Ann. der Physik 54 (1917), 117–145.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 10.
^ ^A ^b ^C Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Přesné řešení Einsteinových polních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Kapitola 20.
^ ^A ^b ^C ^d R Gautreau, R B Hoffman, A Armenti. Statické systémy s více částicemi v obecné relativitě. IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7(1): 71-98.
^ James B Hartle. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison Wesley, 2003. Eq (6,20) transformovaný do lorentzianských válcových souřadnic
^ Guillermo A Gonzalez, Antonio C Gutierrez-Pineres, Paolo A Ospina. Konečně osově symetrické nabité prachové disky v konformních prostorových časech. Fyzická revize D, 2008, 78(6): 064058. arXiv: 0806.4285v1
^ Antonio C Gutierrez-Pineres, Guillermo A Gonzalez, Hernando Quevedo. Konformní kotoučové halo v gravitaci Einstein-Maxwell. Fyzická revize D, 2013, 87(4): 044010. [1]

[1] Weyl, H., „Zur Gravitationstheorie,“ Ann. der Physik 54 (1917), 117–145.

[Weyl1-2] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 10.

[Weyl2-3] A ^b ^C Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Přesné řešení Einsteinových polních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Kapitola 20.

[Weyl4-4] A ^b ^C ^d R Gautreau, R B Hoffman, A Armenti. Statické systémy s více částicemi v obecné relativitě. IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7(1): 71-98.

[5] James B Hartle. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison Wesley, 2003. Eq (6,20) transformovaný do lorentzianských válcových souřadnic

[6] Guillermo A Gonzalez, Antonio C Gutierrez-Pineres, Paolo A Ospina. Konečně osově symetrické nabité prachové disky v konformních prostorových časech. Fyzická revize D, 2008, 78(6): 064058. arXiv: 0806.4285v1

[7] Antonio C Gutierrez-Pineres, Guillermo A Gonzalez, Hernando Quevedo. Konformní kotoučové halo v gravitaci Einstein-Maxwell. Fyzická revize D, 2013, 87(4): 044010. [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]