Konstrukce komplexní nulové tetrady - Construction of a complex null tetrad

Výpočty v Newman – Penrose (NP) formalismus z obecná relativita obvykle začínají konstrukce komplexní nulové tetrady ${ displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ , kde ${ displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a} }}$ je pár nemovitý nulové vektory a ${ displaystyle {m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ je pár komplex nulové vektory. Tyto tetrady vektory respektujte následující normalizační a metrické podmínky za předpokladu podpisu časoprostoru ${ displaystyle (-, +, +, +):}$

${ displaystyle l_ {a} l ^ {a} = n_ {a} n ^ {a} = m_ {a} m ^ {a} = { bar {m}} _ {a} { bar {m} } ^ {a} = 0 ,;}$
${ displaystyle l_ {a} m ^ {a} = l_ {a} { bar {m}} ^ {a} = n_ {a} m ^ {a} = n_ {a} { bar {m}} ^ {a} = 0 ,;}$
${ displaystyle l_ {a} n ^ {a} = l ^ {a} n_ {a} = - 1 ,, ; ; m_ {a} { bar {m}} ^ {a} = m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 ,;}$
${ displaystyle g_ {ab} = - l_ {a} n_ {b} -n_ {a} l_ {b} + m_ {a} { bar {m}} _ {b} + { bar {m}} _ {a} m_ {b} ,, ; ; g ^ {ab} = - l ^ {a} n ^ {b} -n ^ {a} l ^ {b} + m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} + { bar {m}} ^ {a} m ^ {b} ,.}$

Pouze po tetradě ${ displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ dostane postavil lze jeden pohyb vpřed k výpočtu směrové deriváty, spinové koeficienty, komutátory, Weyl-NP skaláry ${ displaystyle Psi _ {i}}$ , Skaláry Ricci-NP ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ a Maxwell-NP skaláry ${ displaystyle phi _ {i}}$ a další veličiny v NP formalismu. Existují tři nejčastěji používané metody pro konstrukci komplexní nulové tetrady:

Všechny čtyři tetradové vektory jsou nonholonomic kombinace ortonormální holonomické tetrady;^[1]
${ displaystyle l ^ {a}}$ (nebo ${ displaystyle n ^ {a}}$ ) jsou zarovnány s odchozím (nebo příchozím) tečným vektorovým polem nula radiální geodetika, zatímco ${ displaystyle m ^ {a}}$ a ${ displaystyle { bar {m}} ^ {a}}$ jsou konstruovány pomocí nonholonomic metody;^[2]
Tetrad, který je přizpůsoben struktuře časoprostoru z pohledu 3 + 1, přičemž se předpokládá jeho obecná forma a tetradské funkce v ní musí být vyřešeny.

V níže uvedeném kontextu se ukáže, jak tyto tři metody fungují.

Poznámka: Kromě konvence ${ displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1 ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 } }$ použitý v tomto článku, druhý používaný je ${ displaystyle {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1 ,, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = - 1 } }$ .

Nonholonomic tetrad

Primární metoda konstrukce složité nulové tetrady je pomocí kombinací ortonormálních bází.^[1] Pro časoprostor ${ displaystyle g_ {ab}}$ s ortonormální tetradou ${ displaystyle { omega _ {0} ,, omega _ {1} ,, omega _ {2} ,, omega _ {3} }}$ ,

${ displaystyle g_ {ab} = - omega _ {0} omega _ {0} + omega _ {1} omega _ {1} + omega _ {2} omega _ {2} + omega _ {3} omega _ {3} ,,}$

covektory ${ displaystyle {l_ {a} ,, n_ {a} ,, m_ {a} ,, { bar {m}} _ {a} }}$ z nonholonomic komplexní null tetrad lze zkonstruovat pomocí

${ displaystyle l_ {a} dx ^ {a} = { frac { omega _ {0} + omega _ {1}} { sqrt {2}}} ,, quad n_ {a} dx ^ {a} = { frac { omega _ {0} - omega _ {1}} { sqrt {2}}} ,,}$
${ displaystyle m_ {a} dx ^ {a} = { frac { omega _ {2} + i omega _ {3}} { sqrt {2}}} ,, quad { bar {m }} _ {a} dx ^ {a} = { frac { omega _ {2} -i omega _ {3}} { sqrt {2}}} ,,}$

a tetradové vektory ${ displaystyle {l ^ {a} ,, n ^ {a} ,, m ^ {a} ,, { bar {m}} ^ {a} }}$ lze získat zvýšením indexů ${ displaystyle {l_ {a} ,, n_ {a} ,, m_ {a} ,, { bar {m}} _ {a} }}$ prostřednictvím inverzní metriky ${ displaystyle g ^ {ab}}$ .

Poznámka: Nonholonomic konstrukce je ve skutečnosti v souladu s místními světelný kužel struktura.^[1]

Příklad: Nonholonomic tetrad

Vzhledem k metrice časoprostoru formuláře (v podpisu (-, +, +, +))

{ displaystyle g_ {ab} = - g_ {tt} dt ^ {2} + g_ {rr} dr ^ {2} + g _ { theta theta} d theta ^ {2} + g _ { phi phi } d phi ^ {2} ,,}

nonholonomic orthonormal covectors proto jsou

{ displaystyle omega _ {t} = { sqrt {g_ {tt}}} dt ,, ; ; omega _ {r} = { sqrt {g_ {rr}}} dr ,, ; ; omega _ { theta} = { sqrt {g _ { theta theta}}} d theta ,, ; ; omega _ { phi} = { sqrt {g _ { phi phi}}} d phi ,,}

a nonholonomic null covectors jsou proto

{ displaystyle l_ {a} dx ^ {a} = { frac {1} { sqrt {2}}} ({ sqrt {g_ {tt}}} dt + { sqrt {g_ {rr}}} dr ) ,,}

{ displaystyle n_ {a} dx ^ {a} = { frac {1} { sqrt {2}}} ({ sqrt {g_ {tt}}} dt - { sqrt {g_ {rr}}} dr) ,,}

{ displaystyle m_ {a} dx ^ {a} = { frac {1} { sqrt {2}}} ({ sqrt {g _ { theta theta}}} d theta + i { sqrt { g _ { phi phi}}} d phi) ,,}

{ displaystyle { bar {m}} _ {a} dx ^ {a} = { frac {1} { sqrt {2}}} ({ sqrt {g _ { theta theta}}} d theta -i { sqrt {g _ { phi phi}}} d phi) ,.}

l^A (č^A) zarovnáno s nulovou radiální geodetikou

v Minkowského časoprostor, nonholonomically konstruovány nulové vektory ${ displaystyle {l ^ {a} ,, n ^ {a} }}$ respektují odchozí a příchozí nulová radiální paprsky. Jako rozšíření této myšlenky v obecných zakřivených časoprostorech ${ displaystyle {l ^ {a} ,, n ^ {a} }}$ stále lze zarovnat s tečným vektorovým polem nulového radiálu shoda.^[2] Tento typ přizpůsobení však funguje pouze pro ${ displaystyle {t, r, theta, phi }}$ , ${ displaystyle {u, r, theta, phi }}$ nebo ${ displaystyle {v, r, theta, phi }}$ souřadnice, kde radiální chování lze dobře popsat pomocí ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ označují odchozí (zpožděné) a příchozí (pokročilé) nulovou souřadnici.

Příklad: Nulová tetrad pro metriku Schwarzschild v souřadnicích Eddington-Finkelstein

Čte se Schwarzschildova metrika v souřadnicích Eddington-Finkelstein

${ displaystyle ds ^ {2} = - Fdv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} ! theta , d phi ^ {2 }) ,, ; ; { text {with}} F ,: = , { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ,,}$

takže Lagrangian pro nulové radiální geodetika Schwarzschildova časoprostoru je

${ displaystyle L = -F { dot {v}} ^ {2} +2 { dot {v}} { dot {r}} ,,}$

který má příchozí řešení ${ displaystyle { dot {v}} = 0}$ a odchozí řešení ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {v}}}$ . Nyní lze zkonstruovat komplexní nulovou tetrad, která je přizpůsobena přicházející nulové radiální geodetice:

${ displaystyle l ^ {a} = (1, { frac {F} {2}}, 0,0) ,, quad n ^ {a} = (0, -1,0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

a duální bazické covektory proto jsou

${ displaystyle l_ {a} = (- { frac {F} {2}}, 1,0,0) ,, quad n_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, i sin theta) ,.}$

Zde jsme využili podmínku křížové normalizace ${ displaystyle l ^ {a} n_ {a} = n ^ {a} l_ {a} = - 1}$ stejně jako požadavek, že ${ displaystyle g_ {ab} + l_ {a} n_ {b} + n_ {a} l_ {b}}$ by měla překlenout indukovanou metriku ${ displaystyle h_ {AB}}$ pro průřezy {v = konstanta, r = konstanta}, kde ${ displaystyle dv}$ a ${ displaystyle dr}$ nejsou vzájemně kolmé. Také zbývající dva tetradové (ko) vektory jsou konstruovány nonholonomically. S definovanou tetradou je nyní možné zjistit příslušné spinové koeficienty, Weyl-Np skaláry a Ricci-NP skaláry, které

${ Displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad gamma = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M} {2r ^ {2}}} ,; }$

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M } {r ^ {3}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,.}$

Příklad: Nulová tetrada pro extrémní metriku Reissner – Nordström v souřadnicích Eddington-Finkelstein

Přečte se metrika Reissner – Nordström v příchozích souřadnicích Eddington-Finkelstein

{ displaystyle ds ^ {2} = - Gdv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} ! theta , d phi ^ {2} ,, ; ; { text {with}} G ,: = , { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ { 2} ,,}

takže Lagrangian je

{ displaystyle 2L = -G { dot {v}} ^ {2} +2 { dot {v}} { dot {r}} + r ^ {2} ({ dot { theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} ! Theta , { dot { phi}} ^ {2} ,.}

Pro nulovou radiální geodetiku s ${ displaystyle {L = 0 ,, { dot { theta}} = 0 ,, { dot { phi}} = 0 }}$ existují dvě řešení

{ displaystyle { dot {v}} = 0}

(příchozí) a

{ displaystyle { dot {r}} = 2F { dot {v}}}

(odchozí),

a proto lze tetradu pro příchozího pozorovatele nastavit jako

{ displaystyle l ^ {a} částečné _ {a} , = , { Big (} 1 ,, { frac {F} {2}} ,, 0 ,, 0 { Big) } ,, quad n ^ {a} částečný _ {a} , = , { Big (} 0 ,, - 1 ,, 0 ,, 0 { Big)} ,,}

{ displaystyle l_ {a} dx ^ {a} , = , { Big (} - { frac {F} {2}} ,, 1 ,, 0,0 { Big)} , , quad n_ {a} dx ^ {a} , = , { Big (} -1 ,, 0 ,, 0 ,, 0 { Big)} ,,}

{ displaystyle m ^ {a} částečný _ {a} , = , { frac {1} { sqrt {2}}} , { Big (} 0 ,, 0 ,, { frac {1} {r}} ,, { frac {i} {r sin theta}} { Big)} ,, quad m_ {a} dx ^ {a} , = , { frac {1} { sqrt {2}}} , { Big (} 0 ,, 0 ,, r ,, i sin theta { Big)} ,.}

S definovanou tetradou jsme nyní schopni vypočítat spinové koeficienty, Weyl-NP skaláry a Ricci-NP skaláry, které

${ Displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad gamma = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {(rM) ^ {2}} {2r ^ {3}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M (rM)} {2r ^ {3 }}} ,;}$

${ displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {( Mr-M)} {r ^ {4}}} ,,}$

${ displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,, quad Phi _ {11} = - { frac {M ^ {2}} {2r ^ {4}}} ,.}$

Tetrady přizpůsobené struktuře časoprostoru

U některých typických hraničních oblastí, jako je nula nekonečno, časové nekonečno, vesmírný nekonečno, Černá díra obzory a kosmologické horizonty k dosažení co nejstručnější jsou obvykle použity nulové tetrady přizpůsobené strukturám časoprostoru Newman – Penrose popisy.

Newman-Unti tetrad pro nulové nekonečno

Pro nulové nekonečno, klasický Newman-Unti (NU) tetrad^[3]^[4]^[5] je zaměstnán ke studiu asymptotické chování na null nekonečno,

${ displaystyle l ^ {a} částečné _ {a} = částečné _ {r}: = D ,,}$
${ displaystyle n ^ {a} částečné _ {a} = částečné _ {u} + U částečné _ {r} + X částečné _ { varsigma} + { bar {X}} částečné _ { bar { varsigma}}: = Delta ,,}$
${ displaystyle m ^ {a} částečný _ {a} = omega částečný _ {r} + xi ^ {3} částečný _ { varsigma} + xi ^ {4} částečný _ { bar { varsigma}}: = delta ,,}$
${ displaystyle { bar {m}} ^ {a} částečné _ {a} = { bar { omega}} částečné _ {r} + { bar { xi}} ^ {3} částečné _ { bar { varsigma}} + { bar { xi}} ^ {4} částečný _ { varsigma}: = { bar { delta}} ,,}$

kde ${ displaystyle {U, X, omega, xi ^ {3}, xi ^ {4} }}$ jsou tetradové funkce, které se mají vyřešit. U NU tetrad jsou listy foliace parametrizovány pomocí odchozí (pokročilá) nulová souřadnice ${ displaystyle u}$ s ${ displaystyle l_ {a} = du}$ , a ${ displaystyle r}$ je normalizovaný afinní spolu koordinovat ${ displaystyle l ^ {a}}$ ${ displaystyle (Dr = l ^ {a} částečný _ {a} r = 1)}$ ; příchozí nulový vektor ${ displaystyle n ^ {a}}$ funguje jako nulový generátor v nulovém nekonečnu s ${ displaystyle Delta u = n ^ {a} částečné _ {a} u = 1}$ . Souřadnice ${ displaystyle {u, r, varsigma, { bar { varsigma}} }}$ obsahují dvě skutečné afinní souřadnice ${ displaystyle {u, r }}$ a dva komplexní stereografické souřadnice ${ displaystyle { varsigma: = e ^ {i phi} cot { frac { theta} {2}}, { bar { varsigma}} = e ^ {- i phi} cot { frac { theta} {2}} }}$ , kde ${ displaystyle { theta, phi }}$ jsou obvyklé sférické souřadnice na průřezu ${ displaystyle { hat { Delta}} _ {u} = S_ {u} ^ {2}}$ (jak je uvedeno v odkazu,^[5] komplexní stereografické spíše než nemovitý izotermický souřadnice se používají pouze pro usnadnění úplného řešení rovnic NP).

Také pro tetrad NU jsou podmínky základního rozchodu

${ displaystyle kappa = pi = varepsilon = 0 ,, quad rho = { bar { rho}} ,, quad tau = { bar { alpha}} + beta , .}$

Upravená tetrada pro exteriéry a blízko horizontu izolovaných horizontů

Pro komplexnější pohled na černé díry v kvazilokálních definicích jsou upraveny tetrady, které lze plynule přenášet z vnějšku do blízký horizont a jsou požadovány obzory. Například pro izolované obzory popisující černé díry v rovnováze s jejich exteriéry, takový tetrad a související souřadnice mohou být konstruovány tímto způsobem.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] Vyberte první skutečný nulový covector ${ displaystyle n_ {a}}$ jako gradient foliačních listů

${ displaystyle n_ {a} , = - dv ,,}$
kde ${ displaystyle v}$ je příchozí (retardovaný) Typ Eddington – Finkelstein nulová souřadnice, která označuje průřezy foliace a funguje jako afinní parametr s ohledem na odchozí pole nulového vektoru ${ displaystyle l ^ {a} částečné _ {a}}$ , tj.

${ displaystyle Dv = 1 ,, quad Delta v = delta v = { bar { delta}} v = 0 ,.}$
Představte druhou souřadnici ${ displaystyle r}$ jako afinní parametr podél příchozího nulového vektorového pole ${ displaystyle n ^ {a}}$ , který se řídí normalizací

${ displaystyle n ^ {a} částečný _ {a} r , = , - 1 ; Leftrightarrow ; n ^ {a} částečný _ {a} , = , - částečný _ {r } ,.}$

Nyní, první skutečný nulový tetradový vektor ${ displaystyle n ^ {a}}$ je opraveno. Určit zbývající tetradové vektory ${ displaystyle {l ^ {a}, m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ a jejich vektory, kromě základních podmínek křížové normalizace je také požadováno, aby: (i) odchozí nulové normální pole ${ displaystyle l ^ {a}}$ funguje jako nulové generátory; ii) nulový rám (covektory) ${ displaystyle {l_ {a}, n_ {a}, m_ {a}, { bar {m}} _ {a} }}$ jsou paralelně šířeny podél ${ displaystyle n ^ {a} částečné _ {a}}$ ; (iii) ${ displaystyle {m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ pokrývá průřezy {t = konstanta, r = konstanta}, které jsou označeny nemovitý izotermické souřadnice ${ displaystyle {y, z }}$ .

Tetrady splňující výše uvedená omezení lze vyjádřit v obecné podobě

${ displaystyle l ^ {a} částečné _ {a} = částečné _ {v} + U částečné _ {r} + X ^ {3} částečné _ {y} + X ^ {4} částečné _ {z} ,: = , D ,,}$
${ displaystyle n ^ {a} částečné _ {a} = - částečné _ {r} ,: = , Delta ,,}$
${ displaystyle m ^ {a} částečné _ {a} = Omega částečné _ {r} + xi ^ {3} částečné _ {y} + xi ^ {4} částečné _ {z} ,: = , delta ,,}$
${ displaystyle { bar {m}} ^ {a} částečné _ {a} = { bar { Omega}} částečné _ {r} + { bar { xi}} ^ {3} částečné _ {y} + { bar { xi}} ^ {4} částečné _ {z} ,: = , { bar { delta}} ,.}$

Podmínky měřidla v této tetradě jsou

${ displaystyle nu = tau = gamma = 0 ,, quad mu = { bar { mu}} ,, quad pi = alpha + { bar { beta}} , ,}$

Poznámka: Na rozdíl od Souřadnice typu Schwarzschild, zde r = 0 představuje horizont, zatímco r> 0 (r <0) odpovídá zevnějšku (vnitřku) izolovaného horizontu. Lidé často Taylor rozšířit skalár ${ displaystyle Q}$ funkce vzhledem k horizontu r = 0,

${ displaystyle Q = součet _ {i = 0} Q ^ {(i)} r ^ {i} = Q ^ {(0)} + Q ^ {(1)} r + cdots + Q ^ {(n )} r ^ {n} + ldots}$

kde ${ displaystyle Q ^ {(0)}}$ odkazuje na jeho horizontální hodnotu. Samotné souřadnice použité v adaptované tetradě výše jsou ve skutečnosti Gaussovské nulové souřadnice zaměstnán při studiu geometrie blízkého horizontu a mechaniky černých děr.

Viz také

Newman – Penroseův formalismus

Reference

^ ^A ^b ^C David McMahon. Relativity Demystified - Průvodce pro samouky. Kapitola 9: Null Tetrads and the Petrov Classification. New York: McGraw-Hill, 2006.
^ ^A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Oddíl ξ20, oddíl ξ21, oddíl ξ41, oddíl ξ56, oddíl ξ63 (b). Chicago: University of Chikago Press, 1983.
^ Ezra T Newman, Theodore W J Unti. Chování asymptoticky plochých prázdných míst. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(5): 891-901.
^ Ezra T Newman, Roger Penrose. Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Oddíl IV. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.
^ ^A ^b E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes, Příloha B. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2), strana 1-34. New York and London: Plenum Press, 1980.
^ Xiaoning Wu, Sijie Gao. Efekt tunelování blízko slabě izolovaného horizontu. Fyzická revize D, 2007, 75(4): 044027. arXiv: gr-qc / 0702033v1
^ Xiaoning Wu, Chao-Guang Huang, Jia-Rui Sun. Na gravitační anomálii a Hawkingově záření blízko slabě izolovaného horizontu. Fyzická revize D, 2008, 77(12): 124023. arXiv: 0801.1347v1 (gr-qc)
^ Yu-Huei Wu, Chih-Hung Wang. Gravitační záření generických izolovaných horizontů. arXiv: 0807.2649v1 (gr-qc)
^ Xiao-Ning Wu, Yu Tian. Extrémní izolovaný horizont / korespondence CFT. Fyzická revize D, 2009, 80(2): 024014. arXiv: 0904.1554 (hep-th)
^ Yu-Huei Wu, Chih-Hung Wang. Gravitační záření generických izolovaných horizontů a nerotujících dynamických horizontů z asymptotických expanzí. Fyzická revize D, 2009, 80(6): 063002. arXiv: 0906.1551v1 (gr-qc)
^ Badri Krishnan. Časoprostor v sousedství obecné izolované černé díry. arXiv: 1204.4345v1 (gr-qc)

[demystified-1] A ^b ^C David McMahon. Relativity Demystified - Průvodce pro samouky. Kapitola 9: Null Tetrads and the Petrov Classification. New York: McGraw-Hill, 2006.

[chandra-2] A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Oddíl ξ20, oddíl ξ21, oddíl ξ41, oddíl ξ56, oddíl ξ63 (b). Chicago: University of Chikago Press, 1983.

[3] Ezra T Newman, Theodore W J Unti. Chování asymptoticky plochých prázdných míst. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(5): 891-901.

[4] Ezra T Newman, Roger Penrose. Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů. Oddíl IV. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.

[AppendixB-5] A ^b E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes, Příloha B. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2), strana 1-34. New York and London: Plenum Press, 1980.

[6] Xiaoning Wu, Sijie Gao. Efekt tunelování blízko slabě izolovaného horizontu. Fyzická revize D, 2007, 75(4): 044027. arXiv: gr-qc / 0702033v1

[7] Xiaoning Wu, Chao-Guang Huang, Jia-Rui Sun. Na gravitační anomálii a Hawkingově záření blízko slabě izolovaného horizontu. Fyzická revize D, 2008, 77(12): 124023. arXiv: 0801.1347v1 (gr-qc)

[8] Yu-Huei Wu, Chih-Hung Wang. Gravitační záření generických izolovaných horizontů. arXiv: 0807.2649v1 (gr-qc)

[9] Xiao-Ning Wu, Yu Tian. Extrémní izolovaný horizont / korespondence CFT. Fyzická revize D, 2009, 80(2): 024014. arXiv: 0904.1554 (hep-th)

[10] Yu-Huei Wu, Chih-Hung Wang. Gravitační záření generických izolovaných horizontů a nerotujících dynamických horizontů z asymptotických expanzí. Fyzická revize D, 2009, 80(6): 063002. arXiv: 0906.1551v1 (gr-qc)

[11] Badri Krishnan. Časoprostor v sousedství obecné izolované černé díry. arXiv: 1204.4345v1 (gr-qc)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]