Univerzální C * -algebra - Universal C*-algebra

v matematika, a univerzální C * -algebra je C * -algebra popsáno z hlediska generátorů a vztahů. Na rozdíl od prsteny nebo algebry, kde lze uvažovat kvocienty podle volné kroužky pro konstrukci univerzálních objektů musí být C * -algebry realizovatelné jako algebry ohraničených operátorů na Hilbertově prostoru Stavba Gelfand-Naimark-Segal a vztahy musí předepisovat jednotnou vazbu na normu každého generátoru. To znamená, že v závislosti na generátorech a vztazích nemusí univerzální algebra C * existovat. Zejména volné C * -algebry neexistují.

C * - Algebraické vztahy

Existuje několik problémů s definováním vztahů pro C * -algebry. Jedním z nich je, jak již bylo zmíněno, vzhledem k neexistenci volných C * -algebr, ne každá sada vztahů definuje C * -algebru. Dalším problémem je, že by člověk často chtěl zahrnout vztahy objednávky, vzorce zahrnující spojitý funkční počet a spektrální data jako vztahy. Z tohoto důvodu používáme relativně kruhový způsob definování vztahů C * -algebra. Základní motivací následujících definic je, že budeme definovat vztahy jako kategorie jejich reprezentací.

Vzhledem k sadě X, nulový vztah C * na X je kategorie ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {X}}$ s objekty skládajícími se z párů (j, A), kde A je C * -algebra a j je funkce z X na A as morfismy z (j, A) do (k, B) sestávající z * -homomorfismů φ z A na B splňující φ ∘ j = k. A C * vztah na X je celá podkategorie z ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {X}}$ uspokojující:

jedinečná funkce X to {0} je objekt;
daný injekční * -homomorfismus φ z A na B a funkce F z X na A, pokud φ ∘ F je tedy objekt F je objekt;
daný * -homomorfismus φ z A na B a funkce F z X na A, pokud F je objekt, pak φ ∘ F je objekt;
-li F_i je objekt pro i= 1,2, ..., n, tedy ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i}: X to prod _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}$ je také objekt. Kromě toho, pokud F_i je objekt pro i v sadě neprázdných indexů Já znamená produkt ${ displaystyle prod _ {i in I} f_ {i}: X to prod A_ {i}}$ je také objekt, pak je C * -relace kompaktní.

Vzhledem k C * vztahu R na setu X. pak funkce ι z X do C * -algebry U se nazývá a univerzální zastoupení pro R -li

dostal C * -algebru A a * -homomorfismus φ z U na A, φ ∘ ι je předmětem R;
dostal C * -algebru A a objekt (F, A) v R, existuje jedinečný * -homomorfismus φ z U na A takhle F = φ ∘ ι. Všimněte si, že ι a U jsou jedinečné až po izomorfismus a U se nazývá univerzální C * -algebra pro R..

Vztah C * R má univerzální zastoupení právě tehdy R je kompaktní.

Dostal * -polynomial p na setu X, můžeme definovat celou podkategorii ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {X}}$ s objekty (j, A) takové, že p ∘ j = 0. Pro větší pohodlí můžeme zavolat p vztah a můžeme obnovit klasický koncept vztahů. Bohužel ne každý * -polynomial bude definovat kompaktní C * vztah.^[1]

Alternativní přístup

Alternativně lze použít konkrétnější charakterizaci univerzálních C * -algeber, které se více podobají konstrukci v abstraktní algebře. To však bohužel omezuje možné typy vztahů. Vzhledem k sadě G, a vztah na G je sada R skládající se z párů (p, η) kde p je * -polynomial na X a η je nezáporné reálné číslo. A zastoupení z (G, R) na Hilbertově prostoru H je funkce ρ z X do algebry ohraničených operátorů na H takhle ${ Displaystyle lVert p circ rho (X) rVert leq eta}$ pro všechny (p, η) v R. Dvojice (G, R) je nazýván přípustný pokud existuje reprezentace a přímý součet reprezentací je také reprezentací. Pak

{ displaystyle lVert z rVert _ {u} = sup { lVert rho (z) rVert colon rho { text {je reprezentace}} (G, R) }}

je konečný a definuje a seminář splňující podmínku C * -norm na bezplatná algebra na X. Dokončení kvocientu volné algebry ideálem ${ displaystyle {z tlustého střeva lVert z rVert _ {u} = 0 }}$ se nazývá univerzální C * -algebra z (G,R).^[2]

Příklady

The nekomutativní torus lze definovat jako univerzální C * -algebru generovanou dvěma unitary s komutačním vztahem.
The Cuntzovy algebry, graf C * -algebry a k-graf C * -algebry jsou univerzální C * -algebry generované dílčí izometrie.
Univerzální C * -algebra generovaná jednotným prvkem u má prezentaci ${ displaystyle langle u mid u ^ {*} u = uu ^ {*} = 1 rangle}$ . Díky spojitému funkčnímu počtu je tato C * -algebra algebra spojitých funkcí na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Jakákoli C * -algebra generovaná unitárním prvkem je izomorfní s kvocientem této univerzální C * -algebry.^[2]

Reference

^ Loring, Terry A. (1. září 2010). „C * -Algebra Relations“. Mathematica Scandinavica. 107 (1): 43–72. ISSN 1903-1807. Citováno 27. března 2017.
^ ^A ^b Blackadar, Bruce (1. prosince 1985). "Shape theory for $ C ^ * $ - algebras". Mathematica Scandinavica. 56 (0): 249–275. ISSN 1903-1807. Citováno 27. března 2017.

Loring, T. (1997), Zvedání řešení problémových problémů v C * -Algebras, Monografie Fields Institute, 8, Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-0602-5

[Loring10-1] Loring, Terry A. (1. září 2010). „C * -Algebra Relations“. Mathematica Scandinavica. 107 (1): 43–72. ISSN 1903-1807. Citováno 27. března 2017.

[Blackadar85-2] A ^b Blackadar, Bruce (1. prosince 1985). "Shape theory for $ C ^ * $ - algebras". Mathematica Scandinavica. 56 (0): 249–275. ISSN 1903-1807. Citováno 27. března 2017.

[1]

[2]