Cuntzova algebra - Cuntz algebra - Wikipedia

V matematice je Cuntzova algebra ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ , pojmenoval podle Joachim Cuntz, je univerzální C * -algebra generováno uživatelem ${ displaystyle n}$ izometrie nekonečný dimenzionální Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ uspokojení určitých vztahů.^[1] Tyto algebry byly představeny jako první konkrétní příklady a oddělitelný nekonečná jednoduchá C * -algebra, což znamená jako Hilbertův prostor, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ je izometrický k sekvenční prostor

${ displaystyle l ^ {2} ( mathbb {N})}$

a nemá žádné netriviální uzavřené ideály. Tyto algebry jsou základem pro studium jednoduchých nekonečných C * -algeber, protože jakákoli taková algebra obsahuje n, subalgebra, která má ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ jako kvocient.

Definice

Nechat n ≥ 2 a ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ být oddělitelný Hilbertův prostor. Zvažte C * -algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ generované množinou

{ displaystyle {S_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}

z izometrie (tj. ${ displaystyle S_ {i} ^ {*} S_ {i} = 1}$ ) působící na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ uspokojující

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {i} S_ {i} ^ {*} = já.}

Tato univerzální C * -algebra se nazývá Cuntzova algebra, označeno ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ .

A jednoduchý C * -algebra se říká, že je čistě nekonečný pokud každý dědičná C * subalgebra z toho je nekonečný. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ je oddělitelná, jednoduchá, čistě nekonečná C * -algebra. Jakákoli jednoduchá nekonečná C * -algebra obsahuje subalgebru, která má ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ jako kvocient.

Vlastnosti

Klasifikace

Cuntzovy algebry jsou párově neizomorfní, tj. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ nejsou pro izomorfní n ≠ m. The K.₀ skupina ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ je ${ displaystyle mathbb {Z} / n}$ , cyklická skupina řádu n - 1. Od té doby K.₀ je funktor, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ nejsou izomorfní.

Vztah mezi konkrétními C * -algebrami a univerzální C * -algebrou

Teorém. Konkrétní C * -algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je izomorfní vůči univerzální C * -algebře ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ generováno uživatelem n generátory s₁... s_n předmětem vztahů s_i* s_i = 1 pro všechny i a ∑ s_is_i* = 1.

Důkaz věty závisí na následující skutečnosti: libovolná C * -algebra generovaná n izometrie s₁... s_n s ortogonálními rozsahy obsahuje kopii souboru UHF algebra ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ typ n^∞. A to ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je překlenuto slovy formuláře

{ displaystyle s_ {i_ {1}} cdots s_ {i_ {k}} s_ {j_ {1}} ^ {*} cdots s_ {j_ {k}} ^ {*}, k geq 0.}

* -Subalgebra ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ , bytost přibližně konečně-dimenzionální, má jedinečnou C * -norm. Subalgebra ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ hraje roli prostoru Fourierovy koeficienty pro prvky algebry. Klíčovým technickým lemmatem, díky Cuntzovi, je to, že prvek v algebře je nulový právě tehdy, když zmizí všechny jeho Fourierovy koeficienty. Pomocí toho lze ukázat, že kvocientová mapa z ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je injektivní, což dokazuje teorém.

UHF algebra ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ má neunitální subalgebru ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ který je kanonicky izomorfní s ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ sám: V M._n fáze definování přímého systému ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ , zvažte projekci hodnosti 1 E₁₁, matice, která je 1 v levém horním rohu a nula jinde. Propagujte tuto projekci přímým systémem. Na M_n^k fáze přímého systému má člověk hodnost n^{k - 1} projekce. V přímý limit, to dává projekci P v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Roh

{ displaystyle P { mathcal {F}} P = { mathcal {F '}}}

je izomorfní s ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . * -Endomorfismus Φ, který mapuje ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ je implementována izometrií s₁, tj. Φ (·) = s₁(·)s₁*. ${ displaystyle ; { mathcal {O}} _ {n}}$ je ve skutečnosti zkřížený produkt z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ s endomorfismem Φ.

Zobecnění

Cuntzovy algebry byly zobecněny mnoha způsoby. Pozoruhodné mezi kterými jsou Cuntz – Kriegerovy algebry, graf C * -algebry a k-graf C * -algebry.

Aplikovaná matematika

v zpracování signálu, a subpásmový filtr s přesnou rekonstrukcí vedou k reprezentacím Cuntzovy algebry. Stejný filtr také pochází z multirezoluční analýza stavba v vlnka teorie.^[2]

Viz také

Reference

^ Cuntz, Joachim (1977). „Jednoduché $ C ^ * $ - algebry generované izometrií“. Komunikace v matematické fyzice. 57 (2): 173–185. ISSN 0010-3616.
^ Jørgensen, Palle E. T .; Treadway, Briane. Analýza a pravděpodobnost: vlnky, signály, fraktály. Postgraduální texty z matematiky. 234. Springer-Verlag. ISBN 0-387-29519-4.

[1] Cuntz, Joachim (1977). „Jednoduché $ C ^ * $ - algebry generované izometrií“. Komunikace v matematické fyzice. 57 (2): 173–185. ISSN 0010-3616.

[2] Jørgensen, Palle E. T .; Treadway, Briane. Analýza a pravděpodobnost: vlnky, signály, fraktály. Postgraduální texty z matematiky. 234. Springer-Verlag. ISBN 0-387-29519-4.

[1]

[2]