Základ (univerzální algebra) - Basis (universal algebra)

v univerzální algebra, a základ je struktura uvnitř některých (univerzální) algebry, které se nazývají algebry zdarma. Nezávislým způsobem generuje všechny algebraické prvky ze svých vlastních prvků algebraickými operacemi. Představuje také endomorfismy algebry určitými indexacemi prvků algebry, které mohou odpovídat obvyklému matice když je volná algebra a vektorový prostor.

Definice

A základ (nebo referenční rámec) (univerzální) algebry je a funkce ${displaystyle b}$ který bere některé algebrické prvky jako hodnoty ${displaystyle b (i)}$ a splňuje jednu z následujících dvou rovnocenných podmínek. Tady je soubor všech ${displaystyle b (i)}$ se nazývá základní sada, zatímco několik autorů tomu říká „základ“.^[1]^[2] Sada ${displaystyle I}$ jejích argumentů ${displaystyle i}$ se nazývá sada dimenzí. Libovolná funkce se všemi jejími argumenty v celku ${displaystyle I}$ , který bere prvky algebry jako hodnoty (i mimo základní sadu), bude označen ${displaystyle m}$ . Pak, ${displaystyle b}$ bude ${displaystyle m}$ .

Vnější stav

Tato podmínka definuje báze množinou ${displaystyle L}$ z ${displaystyle I}$ -základní elementární funkce algebry, což jsou určité funkce ${displaystyle ell}$ které berou všechny ${displaystyle m}$ jako argument pro získání nějakého prvku algebry jako hodnoty ${displaystyle ell (m).}$ Ve skutečnosti se skládají ze všech projekce ${displaystyle p_ {i}}$ s ${displaystyle i}$ v ${displaystyle I,}$ které jsou takové funkce, že ${displaystyle p_ {i} (m) = m (i)}$ pro každého ${displaystyle m}$ , a všech funkcí, které z nich vycházejí opakovaným „vícenásobným složením“ s operacemi algebry.

(Když má operace algebry jako argument jeden prvek algebry, hodnota takové složené funkce je ta, kterou operace přebírá z hodnoty jednoho dříve vypočítaného ${displaystyle I}$ -ary funkce jako v složení. Pokud tomu tak není, takové kompozice vyžadují tolik (nebo žádný pro nullary operaci) ${displaystyle I}$ -ary funkce jsou vyhodnoceny před operací algebry: jeden pro každý možný prvek algebry v daném argumentu. V případě ${displaystyle I}$ a počty prvků v argumentech neboli „arity“ operací jsou konečné, to je konečná vícenásobná skladba .)

Pak podle vnější stav základ ${displaystyle b}$ musí generovat algebra (jmenovitě když ${displaystyle ell}$ se pohybuje v celém rozsahu ${displaystyle L}$ , ${displaystyle ell (b)}$ získá každý prvek algebry) a musí být nezávislý (jmenovitě kdykoli dva ${displaystyle I}$ - základní elementární funkce se shodují v ${displaystyle b}$ , budou dělat všude: ${displaystyle ell '(b) = ell' '(b)}$ naznačuje ${displaystyle ell '= ell' '}$ ).^[3] Je to stejné jako vyžadovat, aby existovalo a singl funkce ${displaystyle chi}$ který bere každý prvek algebry jako argument k získání ${displaystyle I}$ - základní elementární funkce jako hodnota a splňuje ${displaystyle chi ({ell (b)}) = ell}$ pro všechny ${displaystyle ell}$ v ${displaystyle L}$ .

Vnitřní stav

Tato další podmínka bude definovat báze množinou E z endomorfismy algebry, což jsou homomorfismy z algebry do sebe, skrze její analytická reprezentace ${displaystyle varrho}$ podle základu. Ta druhá je funkce, která bere každý endomorfismus E jako argument pro získání funkce m jako hodnota: ${displaystyle varrho (e) = m}$ , kde tohle m je "vzorek" hodnot hodnoty E na b, jmenovitě ${displaystyle m (i) = [varrho (e)] _ {i} = e (b (i))}$ pro všechny i v dimenzionální sadě.

Pak podle vnitřní stav b je základem, když ${displaystyle varrho}$ je bijekce z E na množinu všech m, jmenovitě pro každého m existuje jeden a jediný endomorfismus E takhle ${displaystyle m = varrho (e)}$ . Je to stejné jako vyžadovat, aby existovalo funkce rozšíření, jmenovitě funkce ${displaystyle eta}$ který bere každý (vzorek) m jako argument k jeho rozšíření na endomorfismus ${displaystyle eta (m)}$ takhle ${displaystyle varrho (eta (m)) = m}$ .^[4]

Souvislost mezi těmito dvěma podmínkami je dána identitou ${displaystyle [chi (a)] _ {m} = [eta (m)] _ {a}}$ , který platí pro všechny m a všechny prvky algebry A.^[5] Několik dalších podmínek, které charakterizují základy pro univerzální algebry, je vynecháno.

Jak ukáže další příklad, současné báze jsou zobecněním základny vektorových prostorů. Název „referenční rámec“ pak může dobře nahradit „základ“. Přesto, na rozdíl od případu vektorového prostoru, univerzální algebra může postrádat základy, a pokud je má, jejich sady dimenzí mohou mít různé konečné kladné kardinality.^[6]

Příklady

Vektorový prostor algebry

V univerzální algebře odpovídající vektorovému prostoru s konečnou dimenzí jsou v podstatě základy objednané základny tohoto vektorového prostoru. Přesto to přijde po několika detailech.

Když je například vektorový prostor konečně-dimenzionální ${displaystyle I = {0,1, ldots, n-1}}$ s ${displaystyle n> 0}$ , funkce ${displaystyle ell}$ v sadě L z vnější stav přesně ty, které poskytují vlastnosti rozpětí a lineární nezávislosti s lineárními kombinacemi ${displaystyle ell (b) = c_ {0} b_ {0} + c_ {1} b_ {1} + ldots c_ {n-1} b_ {n-1}}$ a přítomná vlastnost generátoru se stane překlenovací. Naopak, lineární nezávislost je pouhou instancí současné nezávislosti, která se jí v takových vektorových prostorech stává rovnocennou. (Také několik dalších zobecnění lineární nezávislosti pro univerzální algebry neznamená nezávislost současnosti.)

Funkce m pro vnitřní stav odpovídají čtvercovým polím prvků pole (jmenovitě obvyklým čtvercovým maticím vektorového prostoru), které slouží k vytváření endomorfismů vektorových prostorů (jmenovitě lineární mapy do sebe). Poté vnitřní stav vyžaduje vlastnost bijekce od endomorfismů také po pole. Ve skutečnosti každý sloupec takového pole představuje vektor ${displaystyle m (i)}$ jako jeho n-tuple of souřadnice s ohledem na základ b. Například když jsou vektory n-tuple čísel z podkladového pole a b je Kroneckerova základna, m je takové pole viděn sloupci, ${displaystyle varrho}$ je ukázkou takové lineární mapy na referenčních vektorech a ${displaystyle eta}$ rozšiřuje tento vzorek na tuto mapu, jak je uvedeno níže.

${displaystyle {} qquad left ({egin {array} {rrc} 0 & -1 & 2 -2 & 3 & 1 1 & 0 & 2end {array}} ight) quad {egin {array} {c} {stackrel {eta} {longmapsto}} {stackrel {varrho} {longleftarrow !! {} ^ {{} _ {! {} _ {mathsf {l}}}}}} konec {pole}} zbývající čtyřkolka {{egin {pole} {rcrccr} x '_ {0 } & = && - x_ {1} & + & 2x_ {2} x '_ {1} & = & - 2x_ {0} & + 3x_ {1} & + & x_ {2} x' _ {2} & = & x_ {0} && + & 2x_ {2} konec {pole}} v noci.}$

Pokud vektorový prostor není konečně-dimenzionální, jsou zapotřebí další rozdíly. Ve skutečnosti však funkce ${displaystyle ell}$ formálně mají nekonečno vektorů v každém argumentu, lineární kombinace, které vyhodnocují, nikdy nevyžadují nekonečně mnoho dodatků ${displaystyle c_ {i} m (i)}$ a každý ${displaystyle ell}$ určuje konečnou podmnožinu J z ${displaystyle I}$ který obsahuje vše potřebné i. Pak každá hodnota ${displaystyle ell (m)}$ rovná se ${displaystyle ell '(m')}$ , kde ${displaystyle m '}$ je omezení m na J a ${displaystyle ell '}$ je J- základní elementární funkce odpovídající ${displaystyle ell}$ . Když ${displaystyle ell '}$ nahradit ${displaystyle ell}$ , jak lineární nezávislost, tak rozpětí vlastností pro nekonečné množiny základů vyplývají ze současnosti vnější stav a naopak.

Proto, pokud jde o vektorové prostory pozitivní dimenze, jediný rozdíl mezi současnými základnami pro univerzální algebry a objednané základny vektorových prostorů je, že zde není žádná objednávka ${displaystyle I}$ je požadováno. Přesto je to povoleno, pokud to slouží nějakému účelu.

Když je prostor nulový, jeho uspořádaný základ je prázdný. Pak je prázdná funkce, je to současný základ. Přestože tento prostor obsahuje pouze nulový vektor a jeho jediným endomorfismem je identita, jakákoli funkce b z jakékoli sady ${displaystyle I}$ (i neprázdný) do tohoto singletonového prostoru funguje jako současný základ. To není tak zvláštní z hlediska univerzální algebry, kde singletonové algebry, které se nazývají „triviální“, mají spoustu dalších zdánlivě zvláštních vlastností.

Slovo monoid

Nechat ${displaystyle I = {{mathsf {a, b, c,}} ldots}}$ být „abeceda“, konkrétně (obvykle konečná) sada objektů zvaná „písmena“. Nechat Ž označte odpovídající sadu slova nebo „řetězce“, které budou označeny jako v struny, a to buď psaním jejich písmen v pořadí, nebo ${displaystyle epsilon}$ v případě prázdného slova (formální jazyk notace).^[7] V souladu s tím juxtapozice ${displaystyle vw}$ bude označovat zřetězení dvou slov proti a w, jmenovitě slovo, které začíná proti a následuje w.

Zřetězení je binární operace Ž že spolu s prázdným slovem ${displaystyle epsilon}$ definuje a volný monoid, monoid slov na ${displaystyle I}$ , což je jedna z nejjednodušších univerzálních algeber. Poté vnitřní stav okamžitě prokáže, že jednou z jeho základen je funkce b který tvoří jednopísmenné slovo ${displaystyle {i}}$ každého písmene ${displaystyle {mathsf {i}}}$ , ${displaystyle b ({mathsf {i}}) = i}$ .

(V závislosti na set-teoretické implementaci sekvencí, b nemusí být funkcí identity, a to ${displaystyle i}$ nemusí být ${displaystyle {mathsf {i}}}$ , spíše jako objekt ${displaystyle {(emptyset, {mathsf {i}})}}$ , jmenovitě singletonová funkce nebo dvojice jako ${displaystyle (emptyset, {mathsf {i}})}$ nebo ${displaystyle ({mathsf {i}}, emptyset)}$ .^[7])

Ve skutečnosti, v teorii Systémy D0L (Rozemberg & Salomaa 1980) takový ${displaystyle m = varrho (e)}$ jsou tabulky "produkce", které tyto systémy používají k definování současných substitucí každého ${displaystyle i}$ jediným slovem ${displaystyle w = m ({mathsf {i}})}$ jakýmkoli slovem u v Ž: pokud ${displaystyle u = {i} _ {0} {i} _ {1} cdots {i} _ {k}}$ , pak ${displaystyle e (u) = m ({mathsf {i}} _ {0}) m ({mathsf {i}} _ {1}) cdots m ({mathsf {i}} _ {k})}$ . Pak, b uspokojuje vnitřní stav, protože funkce ${displaystyle varrho}$ je známá bijekce, která identifikuje každé slovo endomorfismus s jakoukoli takovou tabulkou. (Opakované aplikace takového endomorfismu počínaje daným „semenným“ slovem jsou schopny modelovat mnoho růstových procesů, kde slova a zřetězení slouží k vytvoření poměrně heterogenních struktur jako v L-systém, nejen „sekvence“.)

Poznámky

^ Gould.
^ Grätzer 1968, s. 1998.
^ Například viz (Grätzer 1968, str.198).
^ Například viz 0.4 a 0.5 z (Ricci 2007)
^ Například viz 0.4 (E) z (Ricci 2007)
^ Grätzer 1979.
^ ^A ^b Formální jazyková notace se používá v informatice a někdy koliduje s množinově-teoretickými definicemi slov. Viz G. Ricci, Postřeh k zápisu formálního jazyka, Novinky SIGACT, 17 (1972), 18–23.

Reference

Gould, V. Algebry nezávislosti, Algebra Universalis 33 (1995), 294–318.
Grätzer, G. (1968). Univerzální algebra, D. Van Nostrand Company Inc.
Grätzer, G. (1979). Univerzální algebra 2. ed., Springer Verlag. ISBN 0-387-90355-0.
Ricci, G. (2007). Dilatace zabíjejí pole, Int. J. Math. Teorie her Algebra, 16 5/6, s. 13–34.
Rozenberg G. a Salomaa A. (1980). Matematická teorie L systémů, Academic Press, New York. ISBN 0-12-597140-0

[1] Gould.

[2] Grätzer 1968, s. 1998.

[3] Například viz (Grätzer 1968, str.198).

[4] Například viz 0.4 a 0.5 z (Ricci 2007)

[5] Například viz 0.4 (E) z (Ricci 2007)

[6] Grätzer 1979.

[warning-7] A ^b Formální jazyková notace se používá v informatice a někdy koliduje s množinově-teoretickými definicemi slov. Viz G. Ricci, Postřeh k zápisu formálního jazyka, Novinky SIGACT, 17 (1972), 18–23.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]