Symbol (teorie čísel) - Symbol (number theory)

v teorie čísel, a symbol je některá z mnoha různých zobecnění Legendární symbol. Tento článek popisuje vztahy mezi těmito různými zobecněními.

Níže uvedené symboly jsou uspořádány zhruba v pořadí podle data, kdy byly zavedeny, což je obvykle (ale ne vždy) v pořadí rostoucí obecnosti.

• Legendární symbol ${ displaystyle left ({ frac {a} {p}} right)}$ definováno pro str hlavní, A celé číslo a nabývá hodnot 0, 1 nebo -1.
• Jacobi symbol ${ displaystyle left ({ frac {a} {b}} right)}$ definováno pro b kladné liché celé číslo, A celé číslo a nabývá hodnot 0, 1 nebo -1. Rozšíření symbolu Legendre na obecnější hodnoty b.
• Symbol Kronecker ${ displaystyle left ({ frac {a} {b}} right)}$ definováno pro b jakékoli celé číslo, A celé číslo a nabývá hodnot 0, 1 nebo -1. Rozšíření symbolů Jacobi a Legendre na obecnější hodnoty b.
• Symbol zbytkové síly ${ displaystyle left ({ frac {a} {b}} right) = left ({ frac {a} {b}} right) _ {m}}$ je definováno pro A v nějakém globálním poli obsahujícím mth kořeny 1 (pro některé m), b zlomkový ideál K. postaveno z hlavních ideálů coprime na m. Symbol nabývá hodnot v m kořeny 1. Kdy m = 2 a globální pole je racionální, toto je víceméně stejné jako Jacobiho symbol.
• Hilbertův symbol Místní Hilbertův symbol (A,b) = je definován pro A a b v nějakém místním poli obsahujícím m kořeny 1 (pro některé m) a bere hodnoty v m kořeny 1. Symbol zbytkového výkonu lze zapsat pomocí symbolu Hilberta. Globální Hilbertův symbol ${ displaystyle (a, b) _ {p} = left ({ frac {a, b} {p}} right) = left ({ frac {a, b} {p}} right) _ {m}}$ je definováno pro A a b v nějaké globální oblasti K., pro str konečné nebo nekonečné místo K., a rovná se místnímu Hilbertovu symbolu po dokončení K. na místě str.
• Artin symbol Místní symbol Artin nebo symbol zbytku normy ${ displaystyle theta _ {L / K} ( alpha) = ( alpha, L / K) = left ({ frac {L / K} { alpha}} right)}$ je definováno pro L konečné rozšíření místního pole K., α prvek K., a bere hodnoty v abelianizaci skupiny Galois Gal (L/K.). Globální symbol Artin ${ displaystyle psi _ {L / K} ( alfa) = ( alfa, L / K) = doleva ({ frac {L / K} { alfa}} doprava) = ((L / K ) / alfa)}$ je definováno pro α ve skupině třídy paprsků nebo ideové (třídě) skupině globálního pole K., a bere hodnoty v abelianizaci Gal (L/K.) pro L abelian rozšíření K.. Když je α ve skupině ideálů, symbol se někdy nazývá a Chevalleyův symbol nebo Symbol Artin – Chevalley. Místní Hilbertův symbol K. lze psát slovy Artin symbol pro Kummer rozšíření L/K.kde lze kořeny jednoty identifikovat s prvky skupiny Galois.
• The Frobenius symbol ${ displaystyle [(L / K) / P] = doleva [{ frac {L / K} {P}} doprava]}$ je stejný jako Frobeniův prvek prime P rozšíření Galois L z K..
• „Symbol Chevalley“ má několik mírně odlišných významů. Někdy se používá pro symbol Artin pro ideles. Variací tohoto je symbol Chevalley ${ displaystyle left ({ frac {a, chi} {p}} vpravo)}$ pro str hlavní ideál K., A prvek K.a χ homomorfismus skupiny Galois z K. na R/Z. Hodnota symbolu je pak hodnotou znaku χ na obvyklém Artinově symbolu.
• Symbol zbytku normy Toto jméno je pro několik různých úzce souvisejících symbolů, jako je například Artinův symbol nebo Hilbertův symbol nebo Hasseův symbol zbytku normy. Symbol zbytku normy Hasse ${ displaystyle (( alpha, L / K) / p) = left ({ frac { alpha, L / K} {p}} right)}$ je definováno, pokud str je místo K. a α prvek K.. Je to v podstatě stejné jako místní symbol Artin pro lokalizaci K. na str. Symbol Hilberta je jeho zvláštním případem v případě rozšíření Kummer.
• Steinbergův symbol (A,b). Toto je zevšeobecnění místního Hilbertova symbolu na libovolná pole F. Čísla A a b jsou prvky F, a symbol (A,b) bere hodnoty ve druhé K-skupině F.
• Galoisův symbol Nějaké zevšeobecnění Steinbergova symbolu na vyšší algebraickou K-teorii. Trvá Milnorovu K-skupinu do skupiny étale cohomology.

Viz také

• Symbol Contou-Carrère
• Mennicke symbol

Reference

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.

Rejstřík článků spojených se stejným názvem Tento článek obsahuje seznam souvisejících položek, které mají stejný název (nebo podobné názvy). Pokud interní odkaz nesprávně vás sem přivedl, možná budete chtít změnit odkaz tak, aby odkazoval přímo na zamýšlený článek.