Steenrodův problém - Steenrod problem

v matematika a zejména teorie homologie, Steenrodův problém (pojmenoval podle matematika Norman Steenrod ) je problém týkající se realizace hodiny homologie singulárními potrubími.^[1]

Formulace

Nechat ${ displaystyle M}$ být Zavřeno, orientované potrubí dimenze ${ displaystyle n}$ a nechte ${ displaystyle [M] v H_ {n} (M)}$ být jeho orientační třídou. Tady ${ displaystyle H_ {n} (M)}$ označuje integrál, ${ displaystyle n}$ -dimenzionální homologická skupina z ${ displaystyle M}$ . Žádný průběžná mapa ${ displaystyle f dvojtečka M až X}$ definuje indukované homomorfismus ${ displaystyle f _ {*} dvojtečka H_ {n} (M) až H_ {n} (X)}$ .^[2] Třída homologie ${ displaystyle H_ {n} (X)}$ se nazývá realizovatelný, pokud má formu ${ displaystyle f _ {*} [M]}$ kde ${ displaystyle [M] v H_ {n} (M)}$ . Steenrodův problém se týká popisu realizovatelných tříd homologie ${ displaystyle H_ {n} (X)}$ .^[3]

Výsledek

Všechny prvky ${ displaystyle H_ {k} (X)}$ jsou realizovatelné pomocí dodaných hladkých potrubí ${ displaystyle k leq 6}$ . Jakékoli prvky ${ displaystyle H_ {n} (X)}$ jsou realizovatelné mapováním a Poincaré komplex pokud ${ displaystyle n neq 3}$ . Libovolný cyklus lze navíc realizovat mapováním a pseudo-potrubí.^[3]

Předpoklad, že M být orientovatelný může být uvolněný. V případě neorientovatelných potrubí, každá třída homologie ${ displaystyle H_ {n} (X, mathbb {Z} _ {2})}$ , kde ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ označuje celá čísla modulo 2, lze realizovat neorientovaným potrubím, ${ displaystyle f colon M ^ {n} až X}$ .^[3]

Závěry

Pro hladké potrubí M problém se redukuje na nalezení formy homomorfismu ${ displaystyle Omega _ {n} (X) až H_ {n} (X)}$ , kde ${ displaystyle Omega _ {n} (X)}$ je orientovaný bordismus skupina X.^[4] Spojení mezi skupinami bordismu ${ displaystyle Omega _ {*}}$ a Thomovy prostory MSO (k) objasnil Steenrodův problém tím, že jej omezil na studium homomorfismů ${ displaystyle H _ {*} ( operatorname {MSO} (k)) do H _ {*} (X)}$ .^[3]^[5] Ve svém orientačním článku z roku 1954^[5] René Thom vytvořil příklad nerealizovatelné třídy, ${ displaystyle [M] v H_ {7} (X)}$ , kde M je Eilenberg – MacLaneův prostor ${ displaystyle K ( mathbb {Z} _ {3} oplus mathbb {Z} _ {3}, 1)}$ .