Standardní monomiální teorie - Standard monomial theory

V algebraické geometrii standardní monomiální teorie popisuje sekce a svazek řádků přes generalizovaná odrůda vlajky nebo Odrůda Schubert a reduktivní algebraická skupina uvedením výslovného základu nazývaných prvků standardní monomials. Mnoho výsledků bylo rozšířeno na Kac – Moodyho algebry a jejich skupiny.

Existují monografie o standardní monomiální teorii od Lakshmibai & Raghavan (2008) a Seshadri (2007) a články z průzkumů V. Lakshmibai, C. Musili a C. S. Seshadri (1979 ) a V. Lakshmibai a C. S. Seshadri (1991 )

Jedním z důležitých otevřených problémů je poskytnout zcela geometrickou konstrukci teorie.^[1]

Dějiny

Alfred Young  (1928 ) představil monomie spojené se standardem Mladé obrazy.Hodge  (1943 ) (viz také (Hodge & Pedoe 1994, str. 378)) použil Youngovy monomiely, které nazval standardní energetické produkty, pojmenované podle standardních tabel, aby dal základ homogenním souřadnicovým prstencům komplexu Grassmannians. Seshadri  (1978 ) zahájil program s názvem standardní monomiální teorie, rozšířit Hodgeovu práci na rozmanitosti G/P, pro P žádný parabolická podskupina ze všech reduktivní algebraická skupina v jakékoli charakteristice, poskytnutím explicitních základů pomocí standardních monomiálů pro části svazků linií nad těmito odrůdami. Případ Grassmannianů, který studoval Hodge, odpovídá případu, kdy G je speciální lineární skupina v charakteristice 0 a P je maximální parabolická podskupina. Seshadri se k tomuto úsilí brzy přidal V. Lakshmibai a Chitikila Musili. Nejprve vypracovali standardní monomiální teorii nepatrná reprezentace z G a pak pro skupiny G klasického typu a formuloval několik dohadů, které ho popisovaly pro obecnější případy. Littelmann  (1998 ) prokázali své domněnky pomocí Littelmannův model cesty, zejména s uvedením jednotného popisu standardních monomiálů pro všechny redukční skupiny.

Lakshmibai (2003) a Musili (2003) a Seshadri (2012) podat podrobný popis raného vývoje standardní monomiální teorie.

Aplikace

• Vzhledem k tomu, že oddíly řádkových svazků nad zobecněnými odrůdami příznaků mají tendenci vytvářet neredukovatelné reprezentace odpovídajících algebraických skupin, mít explicitní základ standardních monomiálů umožňuje dát znakové vzorce pro tato reprezentace. Podobně jeden dostane znakové vzorce pro Demazure moduly. Explicitní základy dané standardní monomiální teorií úzce souvisí křišťálové základny a Cestní modely Littelmann reprezentací.
• Standardní monomiální teorie umožňuje popsat singularity odrůd Schubert a zejména někdy dokazuje, že odrůdy Schubert jsou normální nebo Cohen – Macaulay. .
• K prokázání lze použít standardní monomiální teorii Demazureova domněnka.
• Standardní monomiální teorie dokazuje Kempfova věta o mizení a další mizející věty pro vyšší kohomologii efektivních liniových svazků nad Schubertovými odrůdami.
• Standardní monomiální teorie poskytuje explicitní základy pro některé prstence invarianty v invariantní teorie.
• Standardní monomiální teorie dává zevšeobecnění Vláda Littlewood – Richardson o rozkladech tenzorových produktů reprezentací na všechny redukční algebraické skupiny.
• K prokázání existence lze použít standardní monomiální teorii dobré filtrace na některých reprezentacích redukčních algebraických skupin v pozitivní charakteristice.

Poznámky

Reference

• Hodge, W. V. D. (1943), „Některé výčtové výsledky v teorii forem“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 39 (1): 22–30, Bibcode:1943PCPS ... 39 ... 22H, doi:10.1017 / S0305004100017631, PAN  0007739
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Metody algebraické geometrie: Svazek 2 Kniha III: Obecná teorie algebraických variet v projektivním prostoru. Kniha IV: Odrůdy Quadrics a Grassmann., Matematická knihovna v Cambridge, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46901-2, PAN  0048065
• Lakshmibai, V .; Musili, C .; Seshadri, C. S. (1979), „Geometry of G / P“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 1 (2): 432–435, doi:10.1090 / S0273-0979-1979-14631-7, ISSN  0002-9904, PAN  0520081
• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Standardní monomiální teorieEncyklopedie matematických věd, 137, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-76757-2, ISBN  978-3-540-76756-5, PAN  2388163
• Lakshmibai, V .; Seshadri, C. S. (1991), "Standardní monomiální teorie", v Ramanan, S .; Musili, C .; Kumar, N. Mohan (eds.), Sborník z konference v Hyderabadu o algebraických skupinách (Hyderabad, 1989), Madras: Manoj Prakashan, str. 279–322, PAN  1131317
• Lakshmibai, V. (2003), „Vývoj standardní monomiální teorie. II“, Pocta C. S. Seshadri (Chennai, 2002)Trends Math., Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 283–309, ISBN  978-3-7643-0444-7, PAN  2017589
• Littelmann, Peter (1998), „The path model, the quantum Frobenius map and standard monomial theory“ (PDF), v Carter, Roger W.; Saxl, Jan (eds.), Algebraické skupiny a jejich reprezentace (Cambridge, 1997), NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, 517„Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, s. 175–212, ISBN  9780792352921, PAN  1670770
• Littelmann, Peter (1998), „Smluvní moduly a standardní monomiální teorie pro symetrizovatelné Kac-Moodyho algebry“, Journal of the American Mathematical Society, 11 (3): 551–567, doi:10.1090 / S0894-0347-98-00268-9, ISSN  0894-0347, PAN  1603862
• Musili, C. (2003), „Vývoj standardní monomiální teorie., Pocta C. S. Seshadri (Chennai, 2002)Trends Math., Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 385–420, ISBN  978-3-7643-0444-7, PAN  2017594
• Seshadri, C. S. (1978), „Geometry of G / P. I. Theory of standard monomials for minuscule representations“, Ramanathan, K. G. (ed.), C. P. Ramanujam --- pocta, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 8, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 207–239, ISBN  978-3-540-08770-0, PAN  0541023
• Seshadri, C. S. (2007), Úvod do teorie standardních monomiálů, Texty a četby z matematiky, 46, Nové Dillí: Hindustan Book Agency, ISBN  9788185931784, PAN  2347272
• Seshadri, C. S. (2012), „Standardní monomiální teorie - historický účet“, Shromážděné dokumenty C. S. Seshadri. Svazek 2. Schubertova geometrie a teorie reprezentace.„Nové Dillí: Hindustan Book Agency, s. 3–50, ISBN  9789380250175, PAN  2905898
• Mladý, Alfrede (1928), „Kvantitativní substituční analýza“, Proc. London Math. Soc., 28 (1): 255–292, doi:10.1112 / plms / s2-28.1.255