V algebře, a křišťálová základna nebo kanonická základna je základ reprezentace, takže generátory a kvantová skupina nebo polojednoduchá Lie algebra mít obzvláště jednoduchou akci. Křišťálové základny byly zavedeny Kashiwara (1990 ) a Lusztig (1990 ) (pod názvem kanonických základen).
V důsledku svých definujících vztahů kvantová skupina lze považovat za Hopfovu algebru nad polem všech racionálních funkcí neurčitého q přes , označeno .
Pro jednoduchý root a nezáporné celé číslo , definovat
V integrovatelném modulu a na váhu , vektor (tj. vektor v s váhou ) lze jednoznačně rozložit na částky
kde , , jen když , a jen když .
Lineární zobrazení lze definovat na podle
Nechat být integrální doménou všech racionálních funkcí v které jsou pravidelné na (tj. racionální funkce je prvek právě tehdy, pokud existují polynomy a v polynomiálním kruhu takhle , a ). A křišťálová základna pro je objednaný pár , takový, že
je zdarma -modul z takhle
je -základ vektorového prostoru přes
a , kde a
a
a
Chcete-li to dát do neformálnějšího prostředí, akce a jsou obecně singulární v na integrovatelném modulu . Lineární zobrazení a na modulu jsou zavedeny tak, aby akce a jsou pravidelní v na modulu. Existuje a -základ váhových vektorů pro , v souvislosti s nimiž jsou akce a jsou pravidelní v pro všechny i. Modul je poté omezen na bezplatné - modul generovaný základem a vektory základu, -submodule a akce a jsou hodnoceny na . Kromě toho lze zvolit základ tak, aby na , pro všechny , a jsou reprezentovány vzájemnými transpozicemi a mapují základní vektory na základní vektory nebo 0.
Křišťálovou základnu může představovat a řízený graf s označenými okraji. Každý vrchol grafu představuje prvek -základ z a směrovaná hrana označená ia směrováno z vrcholu na vrchol , to představuje (a ekvivalentně to ), kde je základní prvek představovaný , a je základní prvek představovaný . Graf zcela určuje akce a na . Pokud má integrovatelný modul krystalovou základnu, pak je modul neredukovatelný právě tehdy, když je připojen graf představující krystalovou základnu (graf se nazývá „připojený“, pokud sadu vrcholů nelze rozdělit do unie netriviálních nesouvislých podmnožin. a tak, aby v něm nebyly žádné hrany spojující žádný vrchol na jakýkoli vrchol v ).
U libovolného integrovatelného modulu s krystalickou základnou je hmotnostní spektrum pro krystalovou základnu stejné jako hmotnostní spektrum pro modul, a proto je hmotnostní spektrum pro krystalovou základnu stejné jako hmotnostní spektrum pro odpovídající modul příslušného Kac – Moodyho algebra. Násobnosti vah v krystalové základně jsou také stejné jako jejich násobnosti v odpovídajícím modulu příslušné Kac – Moodyho algebry.
Kashiwarovou větou je, že každý integrovatelný modul s nejvyšší hmotností má krystalovou základnu. Podobně má každý integrovatelný modul s nejnižší hmotností krystalovou základnu.
Tenzorové výrobky z křišťálových základen
Nechat být integrovatelným modulem s krystalovou základnou a být integrovatelným modulem s krystalovou základnou . U krystalických bází je to vedlejší produkt , dána
je přijat. Integrovatelný modul má krystalovou základnu , kde . Pro základní vektor , definovat
Akce a na jsou dány
Rozklad produktu dvou integrovatelných modulů s nejvyšší hmotností na neredukovatelné submoduly je určen rozkladem grafu krystalové báze na jeho připojené komponenty (tj. Jsou určeny nejvyšší váhy submodulů a je určena multiplicita každé nejvyšší hmotnosti) .