Stabilita (pravděpodobnost) - Stability (probability)

v teorie pravděpodobnosti, stabilita a náhodná proměnná je vlastnost, že lineární kombinace dvou nezávislý kopie proměnné mají stejné rozdělení, až do umístění a měřítko parametry.^[1] O distribucích náhodných proměnných, které mají tuto vlastnost, se říká, že jsou „stabilní distribuce“. Výsledky dostupné v teorii pravděpodobnosti ukazují, že všechna možná rozdělení, která mají tuto vlastnost, jsou členy čtyřparametrové rodiny distribucí. Článek o stabilní distribuce popisuje tuto rodinu spolu s některými vlastnostmi těchto distribucí.

Význam v teorii pravděpodobnosti „stability“ a stabilní rodiny rozdělení pravděpodobnosti spočívá v tom, že jsou „atraktory“ pro správně normované součty nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné.

Důležitými zvláštními případy stabilních distribucí jsou normální distribuce, Cauchyovo rozdělení a Lévyho distribuce. Podrobnosti viz stabilní distribuce.

Definice

Existuje několik základních definic toho, co se rozumí stabilitou. Některé jsou založeny na součtu náhodných proměnných a jiné na vlastnostech charakteristické funkce.

Definice prostřednictvím distribučních funkcí

společník^[2] dělá následující základní definici. Náhodná proměnná X se nazývá stabilní (má stabilní distribuci), pokud pro n nezávislé kopie X_i z X, existují konstanty C_n > 0 a d_n takhle

${ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + ldots + X_ {n} { stackrel {d} {=}} c_ {n} X + d_ {n},}$

kde tato rovnost odkazuje na rovnost distribucí. Z tohoto počátečního bodu lze vyvodit závěr, že posloupnost konstant C_n musí mít formu

${ displaystyle c_ {n} = n ^ {1 / alpha} ,}$ pro ${ displaystyle 0 < alpha leq 2.}$

Dalším závěrem je, že pro výše uvedenou distribuční identitu stačí n= 2 a n= Pouze 3.^[3]

Stabilita v teorii pravděpodobnosti

Existuje mnoho matematických výsledků, které lze odvodit pro distribuce, které mají vlastnost stability. To znamená všechny možné rodiny distribucí, které mají tu vlastnost, že jsou uzavřeny pod konvoluce jsou zvažovány.^[4] Zde je vhodné volat tyto stabilní distribuce, aniž bychom konkrétně mysleli na distribuci popsanou v článku s názvem stabilní distribuce, nebo říct, že distribuce je stabilní, pokud se předpokládá, že má vlastnost stability. Následující výsledky lze získat pro univariate distribuce které jsou stabilní.

• Stabilní distribuce jsou vždy nekonečně dělitelný.^[5]
• Všechny stabilní distribuce jsou absolutně kontinuální.^[6]
• Všechny stabilní distribuce jsou unimodální.^[7]

Jiné typy stability

Výše uvedený koncept stability je založen na myšlence uzavření třídy distribucí pod danou sadou operací na náhodných proměnných, kde operace je „součet“ nebo „průměrování“. Mezi další zvažované operace patří:

• geometrická stabilita: zde je operací převzít součet náhodného počtu náhodných proměnných, kde číslo má a geometrické rozdělení.^[8] Protějškem stabilní distribuce je v tomto případě geometrické stabilní rozdělení
• Maximální stabilita: zde je operací maximální počet náhodných proměnných. Protějškem stabilní distribuce je v tomto případě zobecněné extrémní rozdělení hodnot a teorii pro tento případ pojednáváme jako teorie extrémní hodnoty. Viz také stabilizační postulát. Verze tohoto případu, ve které je místo maxima bráno minimum, je k dispozici jednoduchým rozšířením.

Viz také

• Nekonečná dělitelnost
• Nerozložitelná distribuce

Poznámky

Reference

• Lukacs, E. (1970) Charakteristické funkce. Griffin, Londýn.
• Feller, W. (1971) Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací, Díl 2. Wiley. ISBN  0-471-25709-5
• Klebanov, L.B., Maniya, G.M., Melamed, I.A. (1984) „Problém V. M. Zolotareva a analogie nekonečně dělitelného a stabilního rozdělení v schématu pro součet náhodného počtu náhodných proměnných“. Teorie Probab. Appl., 29, 791–794