Šíření matice - Spread of a matrix

V matematice a konkrétněji teorie matic, šíření matice je největší vzdálenost v složité letadlo mezi jakýmikoli dvěma vlastní čísla matice.

Definice

Nechat ${ displaystyle A}$ být čtvercová matice s vlastními hodnotami ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$. To znamená, tyto hodnoty ${ displaystyle lambda _ {i}}$ jsou komplexní čísla takový, že existuje vektor ${ displaystyle v_ {i}}$ na kterých ${ displaystyle A}$ jedná skalární násobení:

${ displaystyle Av_ {i} = lambda _ {i} v_ {i}.}$

Pak šíření z ${ displaystyle A}$ je nezáporné číslo

${ displaystyle s (A) = max {| lambda _ {i} - lambda _ {j} |: i, j = 1, ldots n }.}$

Příklady

• Pro nulová matice a matice identity, rozpětí je nulové. Nulová matice má jako vlastní čísla pouze nulu a matice identity má pouze jedna jako vlastní čísla. V obou případech jsou všechna vlastní čísla stejná, takže žádné dvě vlastní čísla nemohou být v nenulové vzdálenosti od sebe.
• Pro projekce, jediné vlastní hodnoty jsou nula a jedna. A projekční matice proto má spread, který je buď ${ displaystyle 0}$ (pokud jsou všechny vlastní hodnoty stejné) nebo ${ displaystyle 1}$ (pokud existují dvě různá vlastní čísla).
• Všechna vlastní čísla a unitární matice ${ displaystyle A}$ ležet na jednotkový kruh. V tomto případě se tedy rozpětí maximálně rovná průměr kruhu, číslo 2.
• Šíření matice závisí pouze na spektrum matice (její multiset vlastních čísel). Pokud druhá matice ${ displaystyle B}$ stejné velikosti je invertibilní, pak ${ displaystyle BAB ^ {- 1}}$ má stejné spektrum jako ${ displaystyle A}$. Proto má také stejné rozšíření jako ${ displaystyle A}$.

Viz také

• Pole hodnot

Reference

• Marvin Marcus a Henryk Minc, Přehled teorie matice a maticových nerovností, Dover Publications, 1992, ISBN  0-486-67102-X. Kap.III.4.