Sférické opatření - Spherical measure
v matematika - konkrétně v teorie geometrických měr — sférické opatření σn je „přirozený“ Borelův rozměr na n-koule Sn. Sférická míra je často normalizována tak, že je a míra pravděpodobnosti na kouli, tj. tak, že σn(Sn) = 1.
Definice sférické míry
Existuje několik způsobů, jak definovat sférickou míru. Jedním ze způsobů je použití obvyklých „kulatých“ nebo „délka oblouku ” metrický ρn na Sn; to znamená pro body X a y v Sn, ρn(X, y) je definován jako (euklidovský) úhel, který zužují ve středu koule (počátek Rn+1). Nyní postavte n-dimenzionální Hausdorffovo opatření Hn na metrickém prostoru (Sn, ρn) a definujte
Jeden mohl také dát Sn metrika, kterou zdědí jako podprostor euklidovského prostoru Rn+1; z této volby metriky vyplývá stejná sférická míra.
Používá se jiná metoda Lebesgueovo opatření λn+1 na okolním euklidovském prostoru Rn+1: pro jakoukoli měřitelnou podmnožinu A z Sn, definovat σn(A) být (n + 1) -dimenzionální objem „klínu“ v kouli Bn+1 že to podléhá původu. To znamená,
kde
Skutečnost, že všechny tyto metody definují stejnou míru Sn vyplývá z elegantního výsledku Christensena: všechna tato opatření jsou zjevně rovnoměrně rozloženo na Sn, a jakékoli dvě rovnoměrně rozložené Borelovy pravidelné míry na oddělitelném metrickém prostoru musí být konstantní (kladné) násobky jeden druhého. Protože všichni naši kandidáti σnByly normalizovány jako míry pravděpodobnosti, jsou to všechna stejná měřítka.
Vztah k jiným opatřením
Vztah sférické míry k Hausdorffově míře na kouli a Lebesgueově míře na okolní prostor již byl diskutován.
Sférická míra má pěkný vztah Haarovo opatření na ortogonální skupina. Nechť O (n) označují ortogonální skupinu herectví na Rn a nechte θn označit jeho normalizované Haarovo opatření (tak θn(Ó(n)) = 1). Ortogonální skupina také působí na kouli Sn−1. Pak pro všechny X ∈ Sn−1 a jakékoli A ⊆ Sn−1,
V případě, že Sn je topologická skupina (tj. kdy n je 0, 1 nebo 3), sférická míra σn se shoduje s (normalizovaným) Haarovým měřítkem Sn.
Izoperimetrická nerovnost
Tady je izoperimetrická nerovnost pro sféru s obvyklou metrickou a sférickou mírou (viz Ledoux & Talagrand, kapitola 1):
Li A ⊆ Sn−1 je libovolná sada Borel a B⊆ Sn−1 je ρn- koule se stejným σn-změřte jako A, tedy pro všechny r > 0,
kde Ar označuje „inflaci“ ve výši A podle r, tj.
Zejména pokud σn(A) ≥ ½ a n ≥ 2, pak
Reference
- Christensen, Jens Peter Reus (1970). "U některých opatření analogických s Haarovým opatřením". Mathematica Scandinavica. 26: 103–106. ISSN 0025-5521. PAN0260979
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Pravděpodobnost v Banachových prostorech. Berlín: Springer-Verlag. str. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. PAN1102015 (Viz kapitola 1)
- Mattila, Pertti (1995). Geometrie množin a měr v euklidovských prostorech: Fraktály a opravitelnost. Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44. Cambridge: Cambridge University Press. str. xii + 343. ISBN 0-521-46576-1. PAN1333890 (Viz kapitola 3)