Duše věta - Soul theorem
v matematika, věta o duši je věta o Riemannova geometrie což do značné míry omezuje studium úplnosti rozdělovače nezáporných řezové zakřivení k tomu z kompaktní případ. Cheeger a Gromoll dokázal teorém v roce 1972 zevšeobecněním výsledku Gromolla a Wolfganga Meyera z roku 1969. Související duše domněnka byl formulován Gromollem a Cheegerem v roce 1972 a prokázán Grigori Perelman v roce 1994 s neuvěřitelně stručným důkazem.
The věta o duši uvádí:
- Li (M, G) je kompletní připojeno Riemannovo potrubí s řezové zakřivení K. ≥ 0, pak existuje a kompaktní zcela konvexní, zcela geodetické podmanifold S jehož normální svazek je difeomorfní na M.
(Všimněte si, že zakřivení řezu musí být všude nezáporné, ale nemusí to být konstantní.) Takový podmanifold S se nazývá a duše z (M, G).
Duše není jednoznačně určena (M, G) obecně, ale jakékoli dvě duše (M, G) jsou izometrické. To bylo prokázáno Sharafutdinov použitím Sharafutdinovovo zatažení v roce 1979.
Příklady
Každý kompaktní manifold je jeho vlastní duše. Věta je často uvedena pouze u nekompaktních variet.
Jako velmi jednoduchý příklad si vezměte M být Euklidovský prostor Rn. Částečné zakřivení je 0 všude a kdekoli M může sloužit jako duše M.
Nyní vezměte paraboloid M = {(X, y, z) : z = X2 + y2}, s metrikou G je obyčejná euklidovská vzdálenost pocházející z vložení paraboloidu do euklidovského prostoru R3. Zde je řezové zakřivení všude kladné, i když ne konstantní. Původ (0, 0, 0) je duší M. Ne každý bod X z M je duší M, protože mohou existovat geodetické smyčky založené na X, v jakém případě by nebylo úplně konvexní.
Lze také uvažovat o nekonečnu válec M = {(X, y, z) : X2 + y2 = 1}, opět s indukovanou euklidovskou metrikou. Částečné zakřivení je 0 všude. Libovolný „vodorovný“ kruh {(X, y, z) : X2 + y2 = 1} s pevnou z je duší M. Nehorizontální průřezy válce nejsou duše, protože nejsou ani zcela konvexní, ani zcela geodetické.
Duše domněnka
Cheeger a Gromoll duše domněnka uvádí:
- Předpokládat (M, G) je kompletní, propojený a nekompaktní s průřezovým zakřivením K. ≥ 0a existuje bod v M kde je řezové zakřivení (ve všech směrových směrech) přísně pozitivní. Pak duše M je bod; ekvivalentně M je difeomorfní Rn.
Grigori Perelman prokázal toto tvrzení stanovením, že v obecném případě K. ≥ 0, Sharafutdinovovo zatažení P: M → S je ponoření. Cao a Shaw později poskytli jiný důkaz, kterému se vyhýbají Perelmanova věta o plochém pásu.
Reference
- Cao, Jianguo; Shaw, Mei-Chi. „Nový důkaz domněnky o duši Cheeger-Gromoll a věty Takeuchi“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2004-02-20.
- Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), „O struktuře úplných potrubí nezáporného zakřivení“, Annals of Mathematics, Druhá série, 96 (3): 413–443, doi:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970819, PAN 0309010
- Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "Na úplném otevřeném rozdělovacím potrubí pozitivního zakřivení", Annals of Mathematics, Druhá série, 90 (1): 75–90, doi:10.2307/1970682, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970682, PAN 0247590
- Perelman, Grigori (1994), „Důkaz o domněnce duše Cheegera a Gromolla“, Journal of Differential Geometry, 40 (1): 209–212, doi:10.4310 / jdg / 1214455292, ISSN 0022-040X, PAN 1285534, Zbl 0818.53056
- Sharafutdinov, V. A. (1979), „Konvexní množiny v záporném zakřivení“, Matematické poznámky, 26 (1): 556–560, doi:10.1007 / BF01140282