Pravidelný prvek Lieovy algebry - Regular element of a Lie algebra

V matematice, a regulární prvek a Lež algebra nebo Lež skupina je prvek, jehož centralizátor má co nejmenší rozměr.

Základní případ

V konkrétním případě ${ displaystyle n krát n}$ matice nad algebraicky uzavřeným polem (například komplexní čísla ), prvek ${ displaystyle M}$ je pravidelný právě tehdy, když je Jordan normální forma obsahuje jeden blok Jordan pro každou vlastní hodnotu. V takovém případě je centralizátor množina polynomů stupně menšího než ${ displaystyle n}$ vyhodnoceno na matici ${ displaystyle M}$, a proto má centralizátor rozměr ${ displaystyle n}$ (ale nemusí to být nutně algebraický torus).

Pokud je matice ${ displaystyle M}$ je diagonalizovatelný, pak je normální, pokud a pouze pokud existují ${ displaystyle n}$ různá vlastní čísla. Chcete-li to vidět, všimněte si toho ${ displaystyle M}$ dojíždět s jakoukoli maticí ${ displaystyle P}$ který stabilizuje každý ze svých vlastních prostorů. Pokud existují ${ displaystyle n}$ různé vlastní hodnoty, pak se to stane, pouze pokud ${ displaystyle P}$ je diagonalizovatelný na stejném základě jako ${ displaystyle M}$; ve skutečnosti ${ displaystyle P}$ je lineární kombinací prvního ${ displaystyle n}$ pravomoci ${ displaystyle M}$a centralizátor je algebraický torus komplexní dimenze ${ displaystyle n}$ (skutečný rozměr ${ displaystyle 2n}$); protože toto je nejmenší možná dimenze centralizátoru, matice ${ displaystyle M}$ je pravidelný. Pokud však existují stejná vlastní čísla, pak je centralizátor produktem obecných lineárních skupin vlastních prostorů ${ displaystyle M}$, a má přísně větší rozměr, takže ${ displaystyle M}$ není pravidelné.

Pro připojené kompaktní Lieova skupina ${ displaystyle G}$, pravidelné prvky tvoří otevřenou hustou podmnožinu, kterou tvoří ${ displaystyle G}$-třídy konjugace prvků v a maximální torus ${ displaystyle T}$ které jsou v ${ displaystyle G}$. Pravidelné prvky ${ displaystyle T}$ samy o sobě jsou výslovně uvedeny jako doplněk množiny v ${ displaystyle T}$, sada codimension-one subtori odpovídající kořenový systém z ${ displaystyle G}$. Podobně v algebře Lie ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ z ${ displaystyle G}$, pravidelné prvky tvoří otevřenou hustou podmnožinu, kterou lze explicitně popsat jako adjoint ${ displaystyle G}$-orbity pravidelných prvků Lieovy algebry ${ displaystyle T}$, prvky mimo hyperplány odpovídající kořenovému systému.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být konečně-dimenzionální Lie algebra nad nekonečným polem.^[2] Pro každého ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$, nechť

${ displaystyle p_ {x} (t) = operatorname {det} (t- operatorname {ad} (x)) = sum _ {i = 0} ^ { dim { mathfrak {g}}} a_ {i} (x) t ^ {i}}$

být charakteristický polynom z adjungovaný endomorfismus ${ displaystyle operatorname {ad} (x): y mapsto [x, y]}$ z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Podle definice pak hodnost z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nejmenší celé číslo ${ displaystyle r}$ takhle ${ displaystyle a_ {r} (x) neq 0}$ pro některé ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ a je označen ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$.^[3] Například od ${ displaystyle a _ { dim { mathfrak {g}}} (x) = 1}$ pro každého X, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní (tj. každý ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$ je nilpotentní od Engelova věta ) právě tehdy ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}}) = dim { mathfrak {g}}}$.

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}} = {x v { mathfrak {g}} | a _ { operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})} ( x) neq 0 }}$. Podle definice a regulární prvek z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je prvek sady ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$.^[3] Od té doby ${ displaystyle a _ { operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}}$ je polynomiální funkce na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, s respektem k Zariski topologie, sada ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$ je otevřená podmnožina ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Přes ${ displaystyle mathbb {C}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$ je spojená sada (s ohledem na obvyklou topologii),^[4] ale přes ${ displaystyle mathbb {R}}$, je to jen konečné spojení spojených otevřených množin.^[5]

Cartanova subalgebra a regulární prvek

Přes nekonečné pole lze ke konstrukci a použít běžný prvek Cartan subalgebra, samonormalizující se nilpotentní subalgebra. Na poli charakteristické nuly tento přístup konstruuje všechny kartalské subalgebry.

Vzhledem k prvku ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$, nechť

${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (x) = cup _ {n geq 0} operatorname {ker} ( operatorname {ad} (x) ^ {n}: { mathfrak { g}} do { mathfrak {g}})}$

být zobecněný vlastní prostor z ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$ pro vlastní hodnotu nula. Je to subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.^[6] Všimněte si, že ${ displaystyle dim { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ je stejná jako (algebraická) multiplicita^[7] nula jako vlastní hodnota ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$; tj. nejmenší celé číslo m takhle ${ displaystyle a_ {m} (x) neq 0}$ v zápisu v #Definice. Tím pádem, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}}) leq dim { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ a rovnost platí tehdy a jen tehdy ${ displaystyle x}$ je regulární prvek.^[3]

Tvrzení je pak, že pokud ${ displaystyle x}$ je tedy regulárním prvkem ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ je Cartanova subalgebra.^[8] Tím pádem, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ je rozměr alespoň některé Cartanové subalgebry; ve skutečnosti, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ je minimální rozměr kartalské subalgebry. Silněji nad polem charakteristické nuly (např. ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$),^[9]

• každá Cartanova subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ má stejný rozměr; tím pádem, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ je rozměr libovolné Cartanovy subalgebry,
• prvek X z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je pravidelný právě tehdy ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ je Cartanova subalgebra a
• každá Cartanova subalgebra má formu ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ pro nějaký regulární prvek ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$.

Pravidelný prvek v kartalské subalgebře složité polojednodušé Lieovy algebry

Pro Cartanovou subalgebru ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ komplexní polojednodušé Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ s kořenovým systémem ${ displaystyle Phi}$, prvek ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ je pravidelný právě tehdy, pokud není ve spojení hyperplánů ${ displaystyle bigcup _ { alpha in Phi} {h in { mathfrak {h}} | alpha (h) = 0 }}$.^[10] Je to proto, že: pro ${ displaystyle r = dim { mathfrak {h}}}$,

• Pro každého ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$, charakteristický polynom z ${ displaystyle operatorname {reklama} (h)}$ je ${ displaystyle t ^ {r} (t ^ { dim { mathfrak {g}} - r} - součet _ { alpha in Phi} alpha (h) t ^ { dim { mathfrak { g}} - r-1} + cdots pm prod _ { alpha in Phi} alpha (h))}$.

Tato charakterizace je někdy brána jako definice regulárního prvku (zvláště když jsou zajímavé pouze regulární prvky v kartalských subalgebrách).

Poznámky

Reference

• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie, Éléments de Mathématique, Hermann
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Teorie reprezentace, první kurz, Postgraduální texty z matematiky, 129, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97495-8, PAN  1153249
• Procesi, Claudio (2007), Lie Groups: přístup prostřednictvím invarianty a reprezentaceSpringer, ISBN  9780387260402
• Serre, Jean-Pierre (2001), Komplexní polojednoduché Lie AlgebrySpringer, ISBN  3-5406-7827-1