Jacobson – Morozovova věta - Jacobson–Morozov theorem - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Prosinec 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Jacobson – Morozovova věta je tvrzení, že nilpotentní prvky v semi-jednoduché Lež algebra lze rozšířit na sl₂-trojičky. Věta je pojmenována po Jacobson 1935, Morozov 1942.

Prohlášení

Prohlášení Jacobsona – Morozova se opírá o následující předběžné pojmy: sl₂-triple v a semi-jednoduchá Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (v celém tomto článku nad polem charakteristická nula ) je homomorfismus Lieových algeber ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} do { mathfrak {g}}}$. Ekvivalentně je to trojnásobek ${ displaystyle e, f, h}$ prvků v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ uspokojení vztahů

${ displaystyle [h, e] = 2e, quad [h, f] = - 2f, quad [e, f] = h.}$

Prvek ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ se nazývá nilpotentní, pokud endomorfismus ${ displaystyle [x, -]: { mathfrak {g}} do { mathfrak {g}}}$ (známý jako adjunkční reprezentace ) je nilpotentní endomorfismus. Je elementárním faktem, že pro každý sl₂-trojnásobný ${ displaystyle (e, f, h)}$, E musí být nilpotentní. Jacobson – Morozovova věta uvádí, že naopak jakýkoli nilpotentní nenulový prvek ${ displaystyle e in { mathfrak {g}}}$ lze rozšířit na sl₂-trojnásobný.^[1][2] Pro ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {sl}} _ {n}}$, sl₂-triple získané tímto způsobem jsou výslovně uvedeny v Chriss & Ginzburg (1997, str. 184).

Věta může být také uvedena pro lineární algebraické skupiny (opět přes pole k charakteristické nuly): jakýkoli morfismus (algebraických skupin) z aditivní skupina ${ displaystyle G_ {a}}$ do a reduktivní skupina H faktory vložením

${ displaystyle G_ {a} to SL_ {2}, x mapsto left ({ begin {array} {cc} 1 & x 0 & 1 end {array}} right).}$

Kromě toho jakékoli dvě takové faktorizace

${ displaystyle SL_ {2} do H}$

jsou konjugovány a k- bod H.

Zobecnění

Dalekosáhlé zobecnění věty, jak je formulováno výše, lze konstatovat takto: zahrnutí proreduktivních skupin do všech lineárních algebraických skupin, kde morfismy ${ displaystyle G až H}$ v obou kategoriích jsou převzaty do konjugace prvky v ${ displaystyle H (k)}$, připouští a vlevo adjoint, tzv. proreduktivní obálka. Tento levý adjoint odešle skupinu aditiv ${ displaystyle G_ {a}}$ na ${ displaystyle SL_ {2}}$ (což se jeví jako semi-jednoduché, na rozdíl od pro-reduktivní), čímž se získá výše uvedená forma Jacobson – Morozov. Tato zobecněná Jacobson – Morozovova věta byla prokázána André & Kahn (2002, Theorem 19.3.1) odvoláním na metody související s Tannakian kategorie a tím O'Sullivan (2010) více geometrickými metodami.

Reference

• André, Yves; Kahn, Bruno (2002), „Nilpotence, radicaux et structures monoïdales“, Vykreslit. Semin. Rohož. Univ. Padova, 108: 107–291, arXiv:matematika / 0203273, Bibcode:2002math ...... 3273A, PAN  1956434
• Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (1997), Teorie reprezentace a komplexní geometrie, Birkhäuser, ISBN  0-8176-3792-3, PAN  1433132
• Bourbaki, Nicolas (2007), Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8Springer, ISBN  9783540339779
• Jacobson, Nathan (1935), „Racionální metody v teorii Lieových algeber“, Annals of Mathematics, Druhá série, 36 (4): 875–881, doi:10.2307/1968593, JSTOR  1968593, PAN  1503258
• Jacobson, Nathan (1979), Lež algebry (Republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, Inc., New York, ISBN  0-486-63832-4
• Morozov, V. V. (1942), „O nilpotentním prvku v polojednodušé Lie algebře“, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 36: 83–86, PAN  0007750
• O'Sullivan, Peter (2010), „Zobecněná Jacobson-Morosovova věta“, Monografie Americké matematické společnosti, 207 (973), doi:10.1090 / s0065-9266-10-00603-4, ISBN  978-0-8218-4895-1