Jonesův počet - Jones calculus

v optika, polarizované světlo lze popsat pomocí Jonesův počet, objeveno uživatelem R. C. Jones v roce 1941. Polarizované světlo je reprezentováno a Jones vektora lineární optické prvky jsou reprezentovány Jones matice. Když světlo prochází optickým prvkem, výsledná polarizace vznikajícího světla se zjistí tak, že se vezme produkt Jonesovy matice optického prvku a Jonesova vektoru dopadajícího světla. Všimněte si, že Jonesův počet je použitelný pouze pro světlo, které je již plně polarizované . Světlo, které je náhodně polarizované, částečně polarizované nebo nekoherentní, musí být ošetřeno pomocí Muellerův počet.

Jones vektor

Jonesův vektor popisuje polarizaci světla ve volném nebo jiném prostoru homogenní izotropní neoslabující médium, kde lze světlo správně popsat jako příčné vlny. Předpokládejme, že monochromatický rovinná vlna světla cestuje pozitivně z-směr, s úhlovou frekvencí ω a vlnový vektor k = (0,0,k), Kde vlnové číslo k = ω/C. Pak elektrické a magnetické pole E a H jsou kolmé na k v každém bodě; oba leží v rovině „příčné“ ke směru pohybu. Dále H je určeno z E otočením o 90 stupňů a pevným multiplikátorem v závislosti na vlnová impedance média. Polarizaci světla lze tedy určit studiem E. Složitá amplituda E je psáno

${ displaystyle { begin {pmatrix} E_ {x} (t) E_ {y} (t) 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i ( kz- omega t + phi _ {x})} E_ {0y} e ^ {i (kz- omega t + phi _ {y})} 0 end {pmatrix}} = { začátek {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i phi _ {x}} E_ {0y} e ^ {i phi _ {y}} 0 end {pmatrix}} e ^ {i (kz - omega t)}.}$

Všimněte si, že fyzické E pole je skutečnou součástí tohoto vektoru; komplexní multiplikátor podává informace o fázi. Tady ${ displaystyle i}$ je imaginární jednotka s ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$.

Jonesův vektor je

${ displaystyle { begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i phi _ {x}} E_ {0y} e ^ {i phi _ {y}} end {pmatrix}}.}$

Jonesův vektor tedy představuje amplitudu a fázi elektrického pole v X a y Pokyny.

Součet čtverců absolutních hodnot dvou složek Jonesových vektorů je úměrný intenzitě světla. Obvykle je pro zjednodušení normalizováno na 1 v počátečním bodě výpočtu. Je také běžné omezit první složku Jonesových vektorů na a reálné číslo. Tím se zahodí celková informace o fázi, která by byla potřebná pro výpočet rušení s jinými paprsky.

Všimněte si, že všechny Jonesovy vektory a matice v tomto článku používají konvenci, kterou je dána fáze světelné vlny ${ displaystyle phi = kz- omega t}$, konvence používaná Hechtem. Podle této konvence zvýšení v ${ displaystyle phi _ {x}}$ (nebo ${ displaystyle phi _ {y}}$) označuje retardaci (zpoždění) ve fázi, zatímco pokles označuje postup ve fázi. Například složka Jonesových vektorů ${ displaystyle i}$ (${ displaystyle = e ^ {i pi / 2}}$) označuje retardaci o ${ displaystyle pi / 2}$ (nebo 90 stupňů) ve srovnání s 1 (${ displaystyle = e ^ {0}}$). Kruhová polarizace popsaná Jonesovou konvencí se nazývá: „Z pohledu přijímače“. Collett používá opačnou definici pro fázi (${ displaystyle phi = omega t-kz}$). Kruhová polarizace popsaná v Collettově konvenci se nazývá: „Z pohledu zdroje“. Při konzultaci s odkazy na Jonesův počet by si měl čtenář dávat pozor na volbu konvence.

Následující tabulka uvádí 6 běžných příkladů normalizovaných Jonesových vektorů.

Polarizace	Jones vektor	Typický ket notace
Lineární polarizovaný v X směr Typicky se nazývá „horizontální“	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | H rangle}$
Lineární polarizovaný v y směr Obvykle se nazývá „vertikální“	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | V rangle}$
Lineární polarizovaný při 45 ° od X osa Obvykle se nazývá „úhlopříčka“ L + 45	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | D rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} | H rangle + | V rangle { big)}}$
Lineární polarizovaný při -45 ° od X osa Obvykle se nazývá „anti-diagonální“ L − 45	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 - 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | A rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} | H rangle - | V rangle { big)}}$
Pravá kruhová polarizace Obvykle se nazývá „RCP“ nebo „RHCP“	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 - i end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | R rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} | H rangle -i | V rangle { big)}}$
Levá kruhová polarizace Obvykle se nazývá „LCP“ nebo „LHCP“	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 + i end {pmatrix}}}$	${ displaystyle | L rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} | H rangle + i | V rangle { big)}}$

Obecný vektor, který ukazuje na jakékoli místo na povrchu, se píše jako ket ${ displaystyle | psi rangle}$. Při zaměstnávání Poincaré sféra (také známý jako Bloch koule ), základní sady (${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$) musí být přiděleno proti (antipodální ) páry výše uvedených ketů. Například je možné přiřadit ${ displaystyle | 0 rangle}$ = ${ displaystyle | H rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ = ${ displaystyle | V rangle}$. Tyto úkoly jsou libovolné. Protichůdné páry jsou

• ${ displaystyle | H rangle}$ a ${ displaystyle | V rangle}$
• ${ displaystyle | D rangle}$ a ${ displaystyle | A rangle}$
• ${ displaystyle | R rangle}$ a ${ displaystyle | L rangle}$

Polarizace jakéhokoli bodu se nerovná ${ displaystyle | R rangle}$ nebo ${ displaystyle | L rangle}$ a ne na kruhu, který prochází ${ displaystyle | H rangle, | D rangle, | V rangle, | A rangle}$ je známý jako eliptická polarizace.

Jonesovy matice

Jonesovy matice jsou operátory, které působí na Jonesovy vektory definované výše. Tyto matice jsou implementovány různými optickými prvky, jako jsou čočky, rozdělovače paprsků, zrcadla atd. Každá matice představuje projekci do jednorozměrného komplexního podprostoru Jonesových vektorů. Následující tabulka uvádí příklady Jonesových matic pro polarizátory:

Optický prvek	Jonesova matice
Lineární polarizátor s vodorovnou osou přenosu[1]	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$
Lineární polarizátor s vertikální osou přenosu[1]	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$
Lineární polarizátor s osou přenosu v úhlu ± 45 ° s horizontálou[1]	${ displaystyle { frac {1} {2}} { začátek {pmatrix} 1 & pm 1 pm 1 & 1 end {pmatrix}}}$
Lineární polarizátor s osou úhlu přenosu ${ displaystyle theta}$ z vodorovné polohy[1]	${ displaystyle { begin {pmatrix} cos ^ {2} ( theta) & cos ( theta) sin ( theta) cos ( theta) sin ( theta) & sin ^ {2} ( theta) end {pmatrix}}}$
Pravý kruhový polarizátor[1]	${ displaystyle { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 & i - i & 1 end {pmatrix}}}$
Levý kruhový polarizátor[1]	${ displaystyle { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 & -i i & 1 end {pmatrix}}}$

Fázové zpomalovače

Fázové retardéry zavádějí fázový posun mezi vertikální a horizontální složkou pole a mění tak polarizaci paprsku. Fázové zpomalovače jsou obvykle vyrobeny z dvojlomný jednoosé krystaly jako kalcit, MgF₂ nebo křemen. Jednoosé krystaly mají jednu krystalovou osu, která se liší od ostatních dvou krystalických os (tj. n_i ≠ n_j = n_k). Tato jedinečná osa se nazývá mimořádná osa a označuje se také jako optická osa. Optickou osou může být rychlá nebo pomalá osa pro krystal v závislosti na použitém krystalu. Světlo se pohybuje s vyšší fázovou rychlostí podél osy, která má nejmenší index lomu a tato osa se nazývá rychlá osa. Podobně se osa, která má největší index lomu, nazývá pomalá osa od fázová rychlost světla je nejnižší podél této osy. „Negativní“ jednoosé krystaly (např. kalcit CaCO₃, safír Al₂Ó₃) mít n_E < n_Ó takže pro tyto krystaly je mimořádná osa (optická osa) rychlá osa, zatímco pro „pozitivní“ jednoosé krystaly (např. křemen SiO₂, fluorid hořečnatý MgF₂, rutil TiO₂), n_E > n _Ó a tedy mimořádná osa (optická osa) je pomalá osa.

Jakýkoli retardér fáze s rychlou osou rovnající se ose x nebo y má nulové mimo diagonální členy a lze jej tedy pohodlně vyjádřit jako

${ displaystyle { begin {pmatrix} e ^ {i phi _ {x}} & 0 0 & e ^ {i phi _ {y}} end {pmatrix}}}$

kde ${ displaystyle phi _ {x}}$ a ${ displaystyle phi _ {y}}$ jsou fázové posuny elektrických polí v ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ směrech. Ve fázi konvence ${ displaystyle phi = kz- omega t}$, definujte relativní fázi mezi dvěma vlnami jako ${ displaystyle epsilon = phi _ {y} - phi _ {x}}$. Pak pozitivní ${ displaystyle epsilon}$ (tj. ${ displaystyle phi _ {y}}$ > ${ displaystyle phi _ {x}}$) znamená, že ${ displaystyle E_ {y}}$ nedosahuje stejné hodnoty jako ${ displaystyle E_ {x}}$ až později, tj. ${ displaystyle E_ {x}}$ vede ${ displaystyle E_ {y}}$. Podobně, pokud ${ displaystyle epsilon <0}$, pak ${ displaystyle E_ {y}}$ vede ${ displaystyle E_ {x}}$.

Například pokud je rychlá osa čtvrtvlnné desky vodorovná, pak je fázová rychlost ve vodorovném směru před svislým, tj. ${ displaystyle E_ {x}}$ vede ${ displaystyle E_ {y}}$. Tím pádem, ${ displaystyle phi _ {x} < phi _ {y}}$ což za čtvrtvlnnou desku dává ${ displaystyle phi _ {y} = phi _ {x} + pi / 2}$.

V opačné konvenci ${ displaystyle phi = omega t-kz}$, definujte relativní fázi jako ${ displaystyle epsilon = phi _ {x} - phi _ {y}}$. Pak ${ displaystyle epsilon> 0}$ znamená, že ${ displaystyle E_ {y}}$ nedosahuje stejné hodnoty jako ${ displaystyle E_ {x}}$ až později, tj. ${ displaystyle E_ {x}}$ vede ${ displaystyle E_ {y}}$.

Fázové zpomalovače	Odpovídající Jonesova matice
Čtvrtvlnná deska s rychlou vertikální osou[2][poznámka 1]	${ displaystyle e ^ { frac {i pi} {4}} { začátek {pmatrix} 1 & 0 0 & -i end {pmatrix}}}$
Čtvrtvlnná deska s rychlou vodorovnou osou[2]	${ displaystyle e ^ {- { frac {i pi} {4}}} { začátek {pmatrix} 1 & 0 0 & i end {pmatrix}}}$
Čtvrtvlnná deska s rychlou osou pod úhlem ${ displaystyle theta}$ w.r.t vodorovná osa	${ displaystyle e ^ {- { frac {i pi} {4}}} { začátek {pmatrix} cos ^ {2} theta + i sin ^ {2} theta & (1-i) sin theta cos theta (1-i) sin theta cos theta & sin ^ {2} theta + i cos ^ {2} theta end {pmatrix}}}$
Půlvlnová deska s rychlou osou pod úhlem ${ displaystyle theta}$ w.r.t vodorovná osa[3]	${ displaystyle e ^ {- { frac {i pi} {2}}} { začátek {pmatrix} cos ^ {2} theta - sin ^ {2} theta & 2 cos theta sin theta 2 cos theta sin theta & sin ^ {2} theta - cos ^ {2} theta end {pmatrix}}}$
Libovolný dvojlomný materiál (jako retardér fáze)[4]	${ displaystyle e ^ {- { frac {i eta} {2}}} { begin {pmatrix} cos ^ {2} theta + e ^ {i eta} sin ^ {2} theta & left (1-e ^ {i eta} right) e ^ {- i phi} cos theta sin theta left (1-e ^ {i eta} right) e ^ {i phi} cos theta sin theta & sin ^ {2} theta + e ^ {i eta} cos ^ {2} theta end {pmatrix}}}$

Speciální výrazy pro fázové zpomalovače lze získat převzetím vhodných hodnot parametrů v obecném výrazu pro dvojlomný materiál. V obecném výrazu:

• Relativní fázová retardace indukovaná mezi rychlou osou a pomalou osou je dána vztahem ${ displaystyle eta = phi _ {y} - phi _ {x}}$
• ${ displaystyle theta}$ je orientace rychlé osy vzhledem k ose x.
• ${ displaystyle phi}$ je oběžnost.

U lineárních retardérů ${ displaystyle phi}$ = 0 a pro kruhové zpomalovače, ${ displaystyle phi}$ = ± ${ displaystyle pi}$/2, ${ displaystyle theta}$ = ${ displaystyle pi}$/ 4. Obecně pro eliptické retardéry, ${ displaystyle phi}$ nabývá hodnot mezi - ${ displaystyle pi}$/ 2 a ${ displaystyle pi}$/2.

Axiálně otočené prvky

Předpokládejme, že optický prvek má svou optickou osu^{[je zapotřebí objasnění ]} kolmo na povrchový vektor pro rovina dopadu^{[je zapotřebí objasnění ]} a otáčí se kolem tohoto povrchového vektoru o úhel θ / 2 (tj. hlavní rovina,^{[je zapotřebí objasnění ]} kterým prochází optická osa,^{[je zapotřebí objasnění ]} dělá úhel θ / 2 s ohledem na rovinu polarizace elektrického pole^{[je zapotřebí objasnění ]} dopadající vlny TE). Připomeňme, že půlvlnová deska otáčí polarizaci jako dvakrát úhel mezi dopadající polarizací a optickou osou (hlavní rovina). Proto Jonesova matice pro stav rotované polarizace, M (θ), je

${ displaystyle M ( theta) = R (- theta) , M , R ( theta),}$

kde ${ displaystyle R ( theta) = { begin {pmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta end {pmatrix}}.}$

To souhlasí s výrazem pro půlvlnovou desku v tabulce výše. Tyto rotace jsou identické s transformací jednotného rozdělovače paprsku v optické fyzice dané

${ displaystyle R ( theta) = { begin {pmatrix} r & t ' t & r' end {pmatrix}}}$

kde primární a nenaplněné koeficienty představují paprsky dopadající z opačných stran rozdělovače paprsků. Odražené a přenášené komponenty získávají fázi θ_r a θ_t, resp. Požadavky na platnou reprezentaci prvku jsou ^[5]

${ displaystyle theta _ { text {t}} - theta _ { text {r}} + theta _ { text {t '}} - theta _ { text {r'}} = odpoledne$

a${ displaystyle r ^ {*} t '+ t ^ {*} r' = 0.}$

Obě tyto reprezentace jsou jednotné matice vyhovující těmto požadavkům; a jako takové jsou oba platné.

Libovolně otočené prvky

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2014)

To by zahrnovalo trojrozměrný rotační matice. Viz Russell A. Chipman a Garam Yun ohledně práce na tom.^[6][7][8][9]

Osa polarizace z Jonesova vektoru

Úhel polarizační elipsa Jonesova vektoru ${ displaystyle { mid} psi rangle}$ lze vypočítat níže,

${ displaystyle tan 2 theta = { frac { langle psi { mid} operatorname {Ref} (45 deg) { mid} psi rangle} { langle psi { mid} operatorname {Ref} (0 deg) { mid} psi rangle}} = { frac {2E_ {0x} E_ {0y} cos ( phi _ {x} - phi _ {y})} {E_ {0x} ^ {2} -E_ {0y} ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel hlavní nebo vedlejší osy a ${ displaystyle operatorname {Ref}}$ je odrazová matice.

Viz také

• Polarizace
• Rozptylové parametry
• Stokesovy parametry
• Muellerův počet
• Polarizace fotonů

Poznámky

Reference

Další čtení

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• E. Collett, Polní průvodce polarizací, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6.
• D. Goldstein a E. Collett, Polarizované světlo, 2. vydání, CRC Press (2003). ISBN  0-8247-4053-X.
• E. Hecht, Optika, 2. vydání, Addison-Wesley (1987). ISBN  0-201-11609-X.
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Úvod do optiky, 2. vyd., Prentice Hall (1993). ISBN  0-13-501545-6
• A. Gerald a J.M.Burch, Úvod do maticových metod v optice, 1. vyd., John Wiley & Sons (1975). ISBN  0-471-29685-6
• Jones, R. Clark (1941). "Nový počet pro zpracování optických systémů, I. Popis a diskuse o počtu". Journal of the Optical Society of America. 31 (7): 488–493. doi:10.1364 / JOSA.31.000488.
• Hurwitz, Henry; Jones, R. Clark (1941). „Nový počet pro zpracování optických systémů, II. Důkaz tří vět o obecné ekvivalenci“. Journal of the Optical Society of America. 31 (7): 493–499. doi:10.1364 / JOSA.31.000493.
• Jones, R. Clark (1941). „Nový počet pro zpracování optických systémů, III Sohncke Theory of optical activity“. Journal of the Optical Society of America. 31 (7): 500–503. doi:10.1364 / JOSA.31.000500.
• Jones, R. Clark (1942). "Nový počet pro zpracování optických systémů, IV." Journal of the Optical Society of America. 32 (8): 486–493. doi:10.1364 / JOSA.32.000486.
• Fymat, A. L. (1971). „Jonesova maticová reprezentace optických přístrojů. I: Rozdělovače paprsků“. Aplikovaná optika. 10 (11): 2499–2505. Bibcode:1971ApOpt..10.2499F. doi:10,1364 / AO.10.002499. PMID  20111363.
• Fymat, A. L. (1971). „Jonesova maticová reprezentace optických přístrojů. 2: Fourierovy interferometry (spektrometry a spektropolarimetry)“. Aplikovaná optika. 10 (12): 2711–2716. Bibcode:1971ApOpt..10.2711F. doi:10,1364 / AO.10.002711. PMID  20111418.
• Fymat, A. L. (1972). „Polarizační efekty ve Fourierově spektroskopii. I: Reprezentace matice koherence“. Aplikovaná optika. 11 (1): 160–173. Bibcode:1972ApOpt..11..160F. doi:10,1364 / AO.11.000160. PMID  20111472.
• Gill, Jose Jorge; Bernabeu, Eusebio (1987). "Získání parametrů polarizace a retardace nedepolarizujícího optického systému z polárního rozkladu jeho Muellerovy matice". Optik. 76: 67–71.
• Brosseau, Christian; Givens, Clark R .; Kostinski, Alexander B. (1993). "Zobecněná stopová podmínka na Mueller-Jonesově polarizační matici". Journal of the Optical Society of America A. 10 (10): 2248–2251. Bibcode:1993JOSAA..10.2248B. doi:10.1364 / JOSAA.10.002248.
• McGuire, James P .; Chipman, Russel A. (1994). "Polarizační aberace. 1. Rotačně symetrické optické systémy". Aplikovaná optika. 33 (22): 5080–5100. Bibcode:1994ApOpt..33,5080M. doi:10,1364 / AO.33.005080. PMID  20935891. S2CID  3805982.
• Pistoni, Natale C. (1995). "Zjednodušený přístup k Jonesovu počtu při sledování optických obvodů". Aplikovaná optika. 34 (34): 7870–7876. Bibcode:1995ApOpt..34.7870P. doi:10,1364 / AO.34.007870. PMID  21068881.
• Moreno, Ignacio; Yzuel, Maria J.; Campos, Juan; Vargas, Asticio (2004). "Jonesova matice pro polarizační Fourierovu optiku". Journal of Modern Optics. 51 (14): 2031–2038. Bibcode:2000JMOp ... 51,2031M. doi:10.1080/09500340408232511. S2CID  120169144.
• Moreno, Ivan (2004). „Jonesova matice pro hranoly rotace obrazu“. Aplikovaná optika. 43 (17): 3373–3381. Bibcode:2004ApOpt..43,3373 mil. doi:10,1364 / AO.43.003373. PMID  15219016. S2CID  24268298.
• William Shurcliff (1966) Polarizované světlo: výroba a použití, kapitola 8 Muellerův počet a Jonesův počet, strana 109, Harvard University Press.

externí odkazy

• Jonesův kalkul napsal E. Collett na Optipedia