Hartogs – Rosenthal věta - Hartogs–Rosenthal theorem
v matematika, Hartogs – Rosenthal věta je klasický výsledek v komplexní analýza na jednotná aproximace spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách souboru složité letadlo podle racionální funkce. Věta byla prokázána v roce 1931 německými matematiky Friedrich Hartogs a Arthur Rosenthal a byl široce používán, zejména v teorie operátorů.
Prohlášení
Věta Hartogs-Rosenthal uvádí, že pokud K. je kompaktní podmnožina komplexní roviny s Lebesgueovo opatření nula, pak jakákoli spojitá funkce s komplexní hodnotou K. lze rovnoměrně aproximovat pomocí racionálních funkcí.
Důkaz
Podle Věta Stone-Weierstrass jakákoli souvislá funkce s komplexní hodnotou K. lze rovnoměrně aproximovat polynomem v a .
To tedy stačí ukázat lze rovnoměrně aproximovat racionální funkcí na K..
Nechat g (z) být plynulá funkce kompaktní podpory na C rovná se 1 na K. a nastavit
Podle zobecněný Cauchyův integrální vzorec
od té doby K. má míru nula.
Omezující z na K. a brát Riemann přibližné částky pro integrál na pravé straně poskytuje požadovanou jednotnou aproximaci racionální funkcí.[1]
Viz také
Poznámky
Reference
- Conway, John B. (1995), Funkce jedné komplexní proměnné II, Postgraduální texty z matematiky, 159, Springer, str. 197, ISBN 0387944605
- Conway, John B. (2000), Kurz teorie operátorů, Postgraduální studium matematiky, 21, Americká matematická společnost, str. 175–176, ISBN 0821820656
- Gamelin, Theodore W. (2005), Jednotné algebry (2. vyd.), Americká matematická společnost, str. 46–47, ISBN 0821840495
- Hartogs, Friedrichs; Rosenthal, Arthur (1931), „Über Folgen analytischer Funktionen“, Mathematische Annalen, 104: 606–610, doi:10.1007 / bf01457959