Jednoduchý bodový proces - Simple point process

A jednoduchý bodový proces je speciální typ bodový proces v teorie pravděpodobnosti. V jednoduchých bodových procesech je každému bodu přiřazena váha.

Definice

Nechat ${ displaystyle S}$ být lcscH a nechte ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ být ${ displaystyle sigma}$-algebra skládající se ze všech relativně kompaktní podmnožiny z ${ displaystyle S}$. A bodový proces ${ displaystyle xi}$, interpretováno jako náhodné opatření na ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$, se nazývá jednoduchý bodový proces, pokud jej lze zapsat jako

${ displaystyle xi = součet _ {i v I} delta _ {X_ {i}}}$

pro sada indexů ${ displaystyle I}$ a náhodné prvky ${ displaystyle X_ {i}}$. Tady ${ displaystyle delta _ {x}}$ označuje Diracova míra na místě ${ displaystyle x}$.

Příklady

Jednoduché bodové procesy zahrnují mnoho důležitých tříd bodových procesů, jako je Poissonovy procesy, Coxovy procesy a binomické procesy.

Jedinečnost

Li ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je generování prsten z ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ pak jednoduchý bodový proces ${ displaystyle xi}$ je jednoznačně určen jeho hodnotami na sadách ${ displaystyle U in { mathcal {I}}}$. To znamená, že dva jednoduché bodové procesy ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle zeta}$ mají stejné distribuce iff

${ displaystyle P ( xi (U) = 0) = P ( zeta (U) = 0) { text {pro všechny}} U v { mathcal {I}}}$

Literatura

• Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
• Daley, D.J .; Vere-Jones, D. (2003). Úvod do teorie bodových procesů: Svazek I: Základní teorie a metody,. New York: Springer. ISBN  0-387-95541-0.