Vzpěr - Self-buckling

A sloupec se může vzpínat díky své vlastní hmotnosti bez dalšího přímého síly působící na to, v režimu selhání s názvem vzpěr. V konvenčním sloupci vzpěr problémy, vlastní tíha je často opomíjena, protože se předpokládá, že je malá ve srovnání s aplikovanou osou zatížení. Pokud však tento předpoklad není platný, je důležité vzít v úvahu vlastní vzpěr.

Elastické vybočení „těžkého“ sloupu, tj. Vzpěr sloupu pod jeho vlastním hmotnost, byl nejprve vyšetřován Greenhillem v 1881.^[1] Zjistil, že volně stojící, vertikální sloup, s hustota ${ displaystyle rho}$, Youngův modul ${ displaystyle E}$, a plocha průřezu ${ displaystyle A}$, se zapne pod svou vlastní hmotností, pokud výška překračuje určitou kritickou hodnotu:

${ displaystyle l _ { text {max}} přibližně doleva (7,8373 , { frac {EI} { rho gA}} doprava) ^ { frac {1} {3}}}$

kde ${ displaystyle g}$ je akcelerace kvůli gravitace, ${ displaystyle I}$ je druhý okamžik oblasti z paprsek průřez.

Jeden zajímavý příklad pro použití rovnice navrhl Greenhill ve svém příspěvku. Odhadl maximální výšku a borovice strom, a zjistil, že nemůže růst přes 90-ft vysoký. Tato délka nastavuje maximální výšku pro zapnuté stromy Země pokud předpokládáme, že stromy budou hranolové a větve jsou zanedbávané.

Matematická derivace

Sloup vykazující tlakové vzpěrné zatížení v důsledku své vlastní hmotnosti.

Předpokládejme jednotný sloup upevněný ve svislém směru v nejnižším bodě a nesený do výšky ${ displaystyle l}$, ve kterém se vertikální poloha stává nestabilní a začíná ohyb. Tady je tělesná síla ${ displaystyle q}$ na jednotku délky ${ displaystyle q = rho gA}$, kde ${ displaystyle A}$ je průřezová plocha sloupu, ${ displaystyle g}$ je gravitační zrychlení a ${ displaystyle rho}$ je jeho hmotnostní hustota.

Sloup je pod svou vlastní hmotností mírně zakřivený, takže křivka ${ displaystyle w (x)}$ popisuje výchylka paprsku v ${ displaystyle y}$ směr v nějaké poloze ${ displaystyle x}$. Při pohledu na jakékoli místo ve sloupci můžeme napsat okamžik rovnováha:

${ displaystyle M = - int _ {0} ^ {x} q (y-w) mathrm {d} x}$

kde pravá strana rovnice je moment hmotnosti BP kolem P.

Podle Eulerova-Bernoulliho teorie paprsků:

${ displaystyle M = -EI { mathrm {d} ^ {2} w over mathrm {d} x ^ {2}}}$

Kde ${ displaystyle E}$ je Youngův modul pružnosti látky, ${ displaystyle I}$ je moment setrvačnosti.

Proto diferenciální rovnice centrální linie BP je:

${ displaystyle EI { mathrm {d} ^ {2} w over mathrm {d} x ^ {2}} = q int _ {0} ^ {x} (y-w) mathrm {d} x}$

Diferenciaci vzhledem k x dostaneme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} EI { mathrm {d} ^ {3} w over mathrm {d} x ^ {3}} & = q int _ {0} ^ {x} vlevo ( - { mathrm {d} w over mathrm {d} x} vpravo) mathrm {d} x & = - qx { mathrm {d} w over mathrm {d} x} end {zarovnaný}}}$

Dostaneme, že řídící rovnice je lineární diferenciální rovnice třetího řádu s proměnným koeficientem. Způsob, jak tento problém vyřešit, je použití nových proměnných ${ displaystyle n, z, k}$ a ${ displaystyle r}$:

${ displaystyle k ^ {2} = {4 nad 9} {q nad EI}, quad r ^ {2} = x ^ {3}, quad { sqrt {x}} z = { mathrm {d} w over mathrm {d} x}, quad n ^ {2} = {1 nad 3 ^ {2}}}$

Potom se rovnice transformuje na Besselova rovnice

${ displaystyle r ^ {2} { mathrm {d} ^ {2} z nad mathrm {d} r ^ {2}} + r { mathrm {d} z nad mathrm {d} r} + left (k ^ {2} r ^ {2} -n ^ {2} right) z = 0}$

Řešení transformované rovnice je ${ displaystyle z = AJ _ { frac {1} {3}} (kr) + BJ _ {- { frac {1} {3}}} (kr)}$

Kde ${ displaystyle J_ {n}}$ je Besselova funkce prvního druhu. Pak je řešení původní rovnice:

${ displaystyle { mathrm {d} w over mathrm {d} x} = { sqrt {x}} left (AJ _ { frac {1} {3}} left (kx ^ { frac { 3} {2}} right) + BJ _ {- { frac {1} {3}}, 1} left (kx ^ { frac {3} {2}} right) right)}$

Nyní použijeme okrajové podmínky:

• Žádný okamžik ${ displaystyle x = 0 rightarrow { mathrm {d} ^ {2} w over mathrm {d} x ^ {2}} (x = 0) = 0 rightarrow A = 0}$
• Opraveno na ${ displaystyle x = l rightarrow w (l) = 0 rightarrow J _ {- { frac {1} {3}}} left (kl ^ { frac {3} {2}} right) = 0 }$

Od druhého před naším letopočtem dostaneme, že kritická délka, ve které se svislý sloup podepře pod svou vlastní hmotností, je:

${ displaystyle l _ { text {max}} = vlevo ({ frac {j _ {{ frac {1} {3}}, 1}} {k}} vpravo) ^ { frac {2} { 3}} = left ({ frac {9 {j _ {{ frac {1} {3}}, 1}} ^ {2}} {4}} { frac {EI} {q}} right ) ^ { frac {1} {3}}}$

Použitím ${ displaystyle j _ {{ frac {1} {3}}, 1} přibližně 1,86635}$ , první nula Besselovy funkce prvního druhu řádu ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle l _ { text {max}}}$ lze aproximovat na:

${ displaystyle l _ { text {max}} přibližně doleva (7,8373 , { frac {EI} { rho gA}} doprava) ^ { frac {1} {3}}}$

Eulerova chyba

Sloup pod svou vlastní hmotností zvažoval Euler ve třech slavných dokumentech (1778a, 1778b, 1778c)^[2][3][4]. Euler (1778a) ve svém prvním příspěvku dospěl k závěru, že kolona jednoduše podepřená svou vlastní hmotností nikdy neztratí svou stabilitu. Ve svém druhém příspěvku na toto téma popsal Euler (1778b) svůj předchozí výsledek jako paradoxní a podezřelý (viz Panovko a Gubanova (1965); Nicolai, (1955)^[5] ; Todhunter a Pierson (1866)^[6] na toto téma). V dalším, třetím v řadě, papír, Euler (1778c) zjistil, že udělal koncepční chybu a závěr „nekonečného vzpěru“ se ukázal jako chybný. Bohužel však udělal numerickou chybu a místo první vlastní hodnoty vypočítal druhou. Správná řešení odvodil Dinnik (1912)^[7] , O 132 let později, stejně jako Willers (1941)^[8], Engelhardt (1954)^[9] a Frich-Fay (1966)^[10]. Numerické řešení s libovolnou přesností poskytl Eisenberger (1991)^[11].

Viz také

• Vzpěr
• Ohybový moment
• Eulerovo kritické zatížení
• Ohýbání
• Eulerova-Bernoulliho teorie paprsků

externí odkazy

• Pokročilé téma ve vzpěru sloupů, otevřený kurz MIT
• Self-bouling detailní odvození v online odkazu Opera Magistris v3.7 Kapitola 15, část 2.2.4.1, ISBN  978-2-8399-0932-7.

Reference