Selbergovo síto - Selberg sieve

Atle Selberg

v matematika, v oblasti teorie čísel, Selbergovo síto je technika pro odhad velikosti "prosátých sad" kladná celá čísla které splňují soubor podmínek, které jsou vyjádřeny shody. Byl vyvinut společností Atle Selberg ve 40. letech 20. století.

Popis

Ve smyslu teorie sít Selbergovo síto je kombinatorický typ: to znamená, že pochází z pečlivého používání zásada začlenění - vyloučení. Selberg nahradil hodnoty Möbiova funkce které v tom vznikají systémem vah, které jsou poté optimalizovány tak, aby odpovídaly danému problému. Výsledek dává horní hranice pro velikost proseté sady.

Nechat A být množina kladných celých čísel ≤ X a nechte P být soubor prvočísel. Nechat A_d označit sadu prvků A dělitelné d když d je produktem různých prvočísel z P. Dále nechte A₁ označit A sám. Nechat z být kladné reálné číslo a P(z) označují produkt prvočísel v P které jsou ≤ z. Cílem síta je odhadnout

${displaystyle S (A, P, z) = leftvert Asetminus igcup _ {pmid P (z)} A_ {p} vertvert.}$

Předpokládáme, že |A_d| lze odhadnout do

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {1} {f (d)}} X + R_ {d}.}$

kde F je multiplikativní funkce a X   =   |A|. Nechte funkci G lze získat z F podle Möbiova inverze, to je

${displaystyle g (n) = součet _ {dmid n} mu (d) f (n / d)}$

${displaystyle f (n) = součet _ {dmid n} g (d)}$

kde μ je Möbiova funkce. Dát

${displaystyle V (z) = součet _ {egin {smallmatrix} d$

Pak

${displaystyle S (A, P, z) leq {frac {X} {V (z)}} + Oleft ({sum _ {egin {smallmatrix} d_ {1}, d_ {2}$

kde [d₁, d₂] označuje nejmenší společný násobek ze dne₁ ad₂. Často je užitečné odhadnout PROTI(z) vázaným

${displaystyle V (z) geq součet _ {dleq z} {frac {1} {f (d)}}.,}$

Aplikace

• The Brun – Titchmarshova věta na počtu prvočísla v aritmetické posloupnosti;
• Počet n ≤ X takhle n je coprime na φ (n) je asymptotický k e^{- y} X / log log log (X) .

Reference

• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram (2005). Úvod do sítových metod a jejich aplikací. Studentské texty London Mathematical Society. 66. Cambridge University Press. 113–134. ISBN  0-521-61275-6. Zbl  1121.11063.
• Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini (2008). Metoda vyššího rozměru síta: s postupy pro výpočet funkcí síta. Cambridge Tracts v matematice. 177. S Williamem F. Galwayem. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-89487-6. Zbl  1207.11099.
• Greaves, George (2001). Síta v teorii čísel. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 43. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-41647-1. Zbl  1003.11044.
• Halberstam, Heini; Richert, H.E. (1974). Sítové metody. Monografie London Mathematical Society. 4. Akademický tisk. ISBN  0-12-318250-6. Zbl  0298.10026.
• Hooley, Christopher (1976). Aplikace sítových metod v teorii čísel. Cambridge Tracts v matematice. 70. Cambridge University Press. s. 7–12. ISBN  0-521-20915-3. Zbl  0327.10044.
• Selberg, Atle (1947). "O elementární metodě v teorii prvočísel". Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim. 19: 64–67. ISSN  0368-6302. Zbl  0041.01903.