Runge – Grossova věta - Runge–Gross theorem

v kvantová mechanika konkrétně časově závislá funkční teorie hustoty, Runge – Grossova věta (RG věta) ukazuje, že pro a systém mnoha těl vyvíjející se od dané iniciály vlnová funkce, existuje a individuální mapování mezi potenciálem (nebo potenciály), ve kterém se systém vyvíjí, a hustotou (nebo hustotou) systému. Potenciály, pod nimiž věta platí, jsou definovány až po aditivní čistě časově závislou funkci: tyto funkce pouze mění fázi vlnové funkce a ponechávají hustotu neměnnou. Věta RG se nejčastěji aplikuje na molekulární systémy, kde elektronická hustota, ρ(r,t) změny v reakci na externí skalární potenciál, proti(r,t), například časově proměnné elektrické pole.^[1]

Věta Runge – Gross poskytuje formální základ funkční teorie hustoty závislé na čase. Ukazuje, že hustotu lze použít jako základní proměnnou při popisu kvanta systémy mnoha těl místo vlnové funkce a že všechny vlastnosti systému jsou funkcionáři hustoty.

Věta byla publikována Erich Runge [de ] a Eberhard K.U. Gross [de ] v roce 1984.^[2] V lednu 2011 byl původní článek citován více než 1700krát.^[3]

Přehled

Věta Runge – Gross byla původně odvozena pro elektrony pohybující se v a skalární vnější pole.^[2] Vzhledem k takovému poli označenému proti a počet elektronů, N, které společně určují a Hamiltonian H_protia počáteční stav vlnové funkce Ψ (t = t₀) = Ψ₀, je vývoj vlnové funkce určen Schrödingerova rovnice

${displaystyle {hat {H}} _ {v} (t) | Psi (t) úhel = i {frac {částečný} {částečný t}} | Psi (t) úhel.}$

V daném okamžiku N-elektronová vlnová funkce, která závisí na 3N prostorové a N roztočit souřadnice, určuje elektronická hustota prostřednictvím integrace jako

${displaystyle ho (mathbf {r}, t) = Nsum _ {s_ {1}} cdots suma _ {s_ {N}} int mathrm {d} mathbf {r} _ {2} cdots int mathrm {d} mathbf { r} _ {N} | Psi (mathbf {r} _ {1}, s_ {1}, mathbf {r} _ {2}, s_ {2}, ..., mathbf {r} _ {N}, s_ {N}, t) | ^ {2}.}$

Dva externí potenciály lišící se pouze aditivní časově závislou, prostorově nezávislou funkcí, C(t), způsobí vlnové funkce, které se liší pouze o a fázový faktor exp (-ic(t)), a tedy stejnou elektronickou hustotu. Tyto konstrukce poskytují mapování z vnějšího potenciálu na elektronickou hustotu:

${displaystyle v (mathbf {r}, t) + c (t) ightarrow e ^ {- ic (t)} | Psi (t) úhel ightarrow ho (mathbf {r}, t).}$

Věta Runge – Gross ukazuje, že toto mapování je invertibilní, modulo C(t). Ekvivalentně je to, že hustota je funkcí vnějšího potenciálu a počáteční vlnové funkce v prostoru potenciálů, která se liší více než přidáním C(t):

${displaystyle ho (mathbf {r}, t) = ho [v, Psi _ {0}] (mathbf {r}, t) leftrightarrow v (mathbf {r}, t) = v [ho, Psi _ {0} ] (mathbf {r}, t)}$

Důkaz

Vzhledem ke dvěma skalárním potenciálům označeným jako proti(r,t) a proti'(r,t), které se liší o více než aditivní čistě časově závislý člen, následuje důkaz ukázáním, že hustota odpovídající každému ze dvou skalárních potenciálů, získaná řešením Schrödingerovy rovnice, se liší.

Důkaz se do značné míry opírá o předpoklad, že vnější potenciál lze rozšířit v a Taylor série o počátečním čase. Důkaz také předpokládá, že hustota mizí v nekonečnu, takže je platná pouze pro konečné systémy.

Důkaz Runge – Gross nejprve ukazuje, že existuje vzájemné mapování mezi vnějšími potenciály a proudovými hustotami vyvoláním Heisenbergova pohybová rovnice pro proudovou hustotu tak, aby vztahovala časové derivace proudové hustoty k prostorovým derivacím vnějšího potenciálu. Vzhledem k tomuto výsledku je ve druhém kroku použita rovnice kontinuity k propojení časových derivací elektronické hustoty s časovými derivacemi vnějšího potenciálu.

Předpoklad, že se tyto dva potenciály liší o více než aditivní prostorově nezávislý člen a jsou rozšiřitelné v Taylorově řadě, znamená, že existuje celé číslo k ≥ 0, takhle

${displaystyle u_ {k} (mathbf {r}) ekvivalent vlevo. {frac {částečné ^ {k}} {částečné t ^ {k}}} {ig (} v (mathbf {r}, t) -v '( mathbf {r}, t) {ig)} ight | _ {t = t_ {0}}}$

není ve vesmíru konstantní. Tato podmínka se používá v celém argumentu.

Krok 1

Z Heisenbergova pohybová rovnice, časový vývoj proudová hustota, j(r,t), pod vnějším potenciálem proti(r,t), který určuje Hamiltonian H_proti, je

${displaystyle i {frac {částečná mathbf {j} (mathbf {r}, t)} {částečná t}} = langle Psi (t) | [{hat {mathbf {j}}} (mathbf {r}), { klobouk {H}} _ {v} (t)] | Psi (t) úhel.}$

Představujeme dva potenciály proti a proti', lišící se o více než aditivní prostorově konstantní člen a jejich odpovídající proudové hustoty j a j', naznačuje Heisenbergova rovnice

${displaystyle {egin {aligned} ileft. {frac {částečné} {částečné t}} {ig (} mathbf {j} (mathbf {r}, t) -mathbf {j} '(mathbf {r}, t) { ig)} ight | _ {t = t_ {0}} & = langle Psi (t_ {0}) | [{hat {mathbf {j}}} (mathbf {r}), {hat {H}} _ { v} (t_ {0}) - {hat {H}} _ {v '} (t_ {0})] | Psi (t_ {0}) úhel, & = langle Psi (t_ {0}) | [ {hat {mathbf {j}}} (mathbf {r}), {hat {V}} (t_ {0}) - {hat {V}} '(t_ {0})] | Psi (t_ {0} ) úhel, & = iho (mathbf {r}, t_ {0}) abla {ig (} v (mathbf {r}, t_ {0}) - v '(mathbf {r}, t_ {0}) { ig)}. konec {zarovnáno}}}$

Poslední řádek ukazuje, že pokud se dva skalární potenciály liší v počáteční době o více než prostorově nezávislou funkci, pak se aktuální hustoty, které potenciály generují, budou lišit nekonečně po t₀. Pokud se tyto dva potenciály neliší v t₀, ale u_k(r) ≠ 0 pro určitou hodnotu k, pak to ukazuje opakovaná aplikace Heisenbergovy rovnice

${displaystyle i ^ {k + 1} vlevo. {frac {částečné ^ {k + 1}} {částečné t ^ {k + 1}}} {ig (} mathbf {j} (mathbf {r}, t) - mathbf {j} '(mathbf {r}, t) {ig)} ight | _ {t = t_ {0}} = iho (mathbf {r}, t) abla i ^ {k} vlevo. {frac {částečné ^ {k}} {částečné t ^ {k}}} {ig (} v (mathbf {r}, t) -v '(mathbf {r}, t) {ig)} ight | _ {t = t_ { 0}},}$

zajištění současné hustoty se bude lišit od nuly nekonečně po t₀.

Krok 2

Elektronická hustota a proudová hustota jsou spojeny pomocí a rovnice spojitosti formuláře

${displaystyle {frac {částečné ho (mathbf {r}, t)} {částečné t}} + abla cdot mathbf {j} (mathbf {r}, t) = 0.}$

Opakovaná aplikace rovnice kontinuity na rozdíl hustot ρ a ρa aktuální hustoty j a j', výnosy

${displaystyle {egin {zarovnáno} vlevo. {frac {částečné ^ {k + 2}} {částečné t ^ {k + 2}}} (ho (mathbf {r}, t) -ho '(mathbf {r}, t)) ight | _ {t = t_ {0}} & = - abla cdot left. {frac {částečné ^ {k + 1}} {částečné t ^ {k + 1}}} {ig (} mathbf {j } (mathbf {r}, t) -mathbf {j} '(mathbf {r}, t) {ig)} ight | _ {t = t_ {0}}, & = - abla cdot [ho (mathbf { r}, t_ {0}) abla left. {frac {částečné ^ {k}} {částečné t ^ {k}}} {ig (} v (mathbf {r}, t_ {0}) - v '(mathbf {r}, t_ {0}) {ig)} ight | _ {t = t_ {0}}], & = - abla cdot [ho (mathbf {r}, t_ {0}) abla u_ {k} (mathbf {r})]. end {aligned}}}$

Tyto dvě hustoty se pak budou lišit, pokud je pravá strana (RHS) pro určitou hodnotu nenulová k. Nezmizení RHS následuje a reductio ad absurdum argument. Za předpokladu, na rozdíl od našeho požadovaného výsledku, toho

${displaystyle abla cdot (ho (mathbf {r}, t_ {0}) abla u_ {k} (mathbf {r})) = 0,}$

integrujte se do celého prostoru a použijte Greenovu větu.

${displaystyle {egin {aligned} 0 & = int mathrm {d} mathbf {r} u_ {k} (mathbf {r}) abla cdot (ho (mathbf {r}, t_ {0}) abla u_ {k} (mathbf {r})), & = - int mathrm {d} mathbf {r} ho (mathbf {r}, t_ {0}) (abla u_ {k} (mathbf {r})) ^ {2} + { frac {1} {2}} int mathrm {d} mathbf {S} cdot ho (mathbf {r}, t_ {0}) (abla u_ {k} ^ {2} (mathbf {r})). end { zarovnaný}}}$

Druhý člen je povrchový integrál nad nekonečnou koulí. Za předpokladu, že hustota je nula v nekonečnu (v konečných systémech hustota klesá exponenciálně na nulu) a že ∇u_k²(r) roste pomaleji, než se hustota rozpadá,^[4] povrchový integrál zmizí a kvůli nezápornosti hustoty

${displaystyle ho (mathbf {r}, t_ {0}) (abla u_ {k} (mathbf {r})) ^ {2} = 0,}$

z toho vyplývá u_k je konstanta, která je v rozporu s původním předpokladem a vyplňuje důkaz.

Rozšíření

Runge – Gross důkaz je platný pro čisté elektronické stavy v přítomnosti skalárního pole. První rozšíření věty RG bylo časově závislé soubory, který zaměstnával Liouvilleova rovnice spojit Hamiltonian a matice hustoty.^[5] Důkaz RG věty pro vícesložkové systémy - kde se v rámci celé kvantové teorie zpracovává více než jeden typ částic - byl představen v roce 1986.^[6] Začlenění magnetických efektů vyžaduje zavedení a vektorový potenciál (A(r)), které společně se skalárním potenciálem jednoznačně určují proudovou hustotu.^[7][8] Časově závislé funkční teorie hustoty supravodivost byly zavedeny v letech 1994 a 1995.^[9][10] Tady, skalární, vektorové a párování (D(t)) mapa potenciálů mezi současným a anomální (Δ_IP(r,t)) hustoty.

Reference