Resolvent (Galoisova teorie) - Resolvent (Galois theory) - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v Galoisova teorie, disciplína v oboru abstraktní algebra, a rozpouštědlo pro permutační skupina G je polynomiální jehož koeficienty závisejí polynomiálně na koeficientech daného polynomu str a má zhruba řečeno a Racionální root pokud a jen pokud Galoisova skupina z str je součástí G. Přesněji, pokud je zahrnuta skupina Galois G, pak má resolvent racionální kořen a obrácení je pravdivé, pokud je racionální kořen a jednoduchý kořen Rozpouštědla zavedla Joseph Louis Lagrange a systematicky používá Évariste Galois. V dnešní době jsou stále základním výpočetním nástrojem Galoisovy skupiny. Nejjednodušší příklady řešení jsou

• ${ displaystyle X ^ {2} - Delta}$ kde ${ displaystyle Delta}$ je diskriminující, což je řešení pro střídavá skupina. V případě a kubická rovnice se toto řešení někdy nazývá kvadratické řešení; jeho kořeny se výslovně objevují ve vzorcích pro kořeny kubické rovnice.
• The kubické rozpouštědlo a kvartická rovnice, což je řešení pro dihedrální skupina 8 prvků.
• The Cayleyho rozpouštědlo je rozpouštědlo pro maximální rozpustnou skupinu Galois ve stupni pět. Jedná se o polynom stupně 6.

Tato tři řešení mají tu vlastnost, že jsou vždy oddělitelné, což znamená, že pokud mají více kořenů, pak polynom str není neredukovatelný. Není známo, zda pro každou skupinu permutací existuje vždy oddělitelné rozpouštědlo.

Pro každou rovnici mohou být kořeny vyjádřeny ve smyslu radikálů a kořene resolventa pro resolubilní skupinu, protože Galoisova skupina rovnice nad polem generovaným tímto kořenem je rozpustná.

Definice

Nechat n být kladné celé číslo, což bude stupeň rovnice, který budeme uvažovat, a (X₁, ..., X_n) seřazený seznam neurčí. To definuje obecný polynom stupněn

${ displaystyle F (X) = X ^ {n} + součet _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i} E_ {i} X ^ {ni} = prod _ {i = 1} ^ {n} (X-X_ {i}),}$

kde E_i je i^th elementární symetrický polynom.

The symetrická skupina S_n působí na X_i jejich permutací, a to indukuje působení na polynomy v X_i. The stabilizátor daného polynomu v rámci této akce je obecně triviální, ale některé polynomy mají větší stabilizátor. Například stabilizátor elementárního symetrického polynomu je celá skupina S_n. Pokud je stabilizátor netriviální, je polynom fixován nějakou netriviální podskupinou G; říká se to neměnný z G. Naopak vzhledem k podskupině G z S_n, neměnný G je resolvent invariantní pro G pokud není invariantem žádné větší podskupiny S_n.^[1]

Hledání invarianty pro danou podskupinu G z S_n je relativně snadné; lze shrnout obíhat monomialu v akci S_n. Může se však stát, že výsledný polynom je neměnný pro větší skupinu. Zvažte například případ podskupiny G z S₄ objednávky 4, sestávající z (12)(34), (13)(24), (14)(23) a totožnost (notaci viz Permutační skupina ). Monomiální X₁X₂ dává invariant 2(X₁X₂ + X₃X₄). Není to řešení invariantní pro G, jako neměnný od (12)ve skutečnosti se jedná o resolvent invariantní pro dihedrální podskupinu ⟨(12), (1324)⟩, a slouží k definování resolvent kubický z kvartická rovnice.

Li P je pro skupinu invariant rezoluce G z index m, pak jeho oběžná dráha pod S_n má pořádek m. Nechat P₁, ..., P_m být prvky této oběžné dráhy. Pak polynom

${ displaystyle R_ {G} = prod _ {i = 1} ^ {m} (Y-P_ {i})}$

je neměnný pod S_n. Když je tedy rozšířen, jeho koeficienty jsou polynomy v X_i které jsou invariantní při působení skupiny symetrie a mohou být tedy vyjádřeny jako polynomy v elementárních symetrických polynomech. Jinými slovy, R_G je neredukovatelný polynom v Y jejichž koeficienty jsou polynomy v koeficientech F. Mít resolvent invariant jako kořen se nazývá a rozpouštědlo (někdy resolventní rovnice).

Zvažte nyní neredukovatelný polynom

${ displaystyle f (X) = X ^ {n} + součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X ^ {ni} = prod _ {i = 1} ^ {n} (X -x_ {i}),}$

s koeficienty v daném poli K. (obvykle racionální pole ) a kořeny X_i v algebraicky uzavřené pole rozšíření. Nahrazení X_i podle X_i a koeficienty F těmi z F v tom, co předchází, dostaneme polynom ${ displaystyle R_ {G} ^ {(f)} (Y)}$, také zvaný rozpouštědlo nebo specializované řešení v případě nejednoznačnosti). Pokud Galoisova skupina z F je obsažen v G, specializace invariantu resolventu je invariantní pomocí G a je tedy kořenem ${ displaystyle R_ {G} ^ {(f)} (Y)}$ kterému patří K. (je racionální K.). Naopak, pokud ${ displaystyle R_ {G} ^ {(f)} (Y)}$ má racionální kořen, který není vícenásobným kořenem, skupina Galois z F je obsažen v G.

Terminologie

V terminologii jsou některé varianty.

• V závislosti na autorech nebo kontextu rozpouštědlo může odkazovat na resolvent invariantní místo aby resolventní rovnice.
• A Galoisovo rozpouštědlo je resolvent tak, že invariant rozpouštědla je v kořenech lineární.
• The Lagrangeovo rozpouštědlo může odkazovat na lineární polynom

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} X_ {i} omega ^ {i}}$

kde ${ displaystyle omega}$ je primitivní nth kořen jednoty. Jedná se o invariant rozpouštědla Galoisova rozpouštědla pro skupinu identity.

• A relativní rozpouštědlo je definován podobně jako rezolvent, ale uvažuje se pouze o působení prvků dané podskupiny H z S_n, který má vlastnost, že pokud je relativní resolvent pro podskupinu G z H má racionální jednoduchý kořen a skupinu Galois z F je obsažen v H, pak skupina Galois z F je obsažen v G. V této souvislosti se obvyklé rozpouštědlo nazývá absolutní rozpouštědlo.

Metoda rozpouštědla

Galoisova skupina polynomu stupně ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle S_ {n}}$ nebo jejich správná podskupina. Pokud je polynom oddělitelný a neredukovatelný, pak je odpovídající skupina Galois přechodnou podskupinou.

Přechodné podskupiny ${ displaystyle S_ {n}}$ tvoří směrovaný graf: jedna skupina může být podskupinou několika skupin. Jedno resolvent může poznat, zda Galoisova skupina polynomu je (ne nutně správnou) podskupinou dané skupiny. Metoda resolventu je jen systematický způsob kontroly skupin po jedné, dokud není možná pouze jedna skupina. To neznamená, že musí být zkontrolována každá skupina: každé resolvent může zrušit mnoho možných skupin. Například pro polynomy stupně pět nikdy není potřeba rezolvence ${ displaystyle D_ {5}}$: řešení pro ${ displaystyle A_ {5}}$ a ${ displaystyle M_ {20}}$ poskytnout požadované informace.

Jedním ze způsobů je začít od maximálních (přechodných) podskupin, dokud se nenajde správná, a poté pokračovat s jejich maximálními podskupinami.

Reference

• Dickson, Leonard E. (1959). Algebraické teorie. New York: Dover Publications Inc. str. ix + 276. ISBN  0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "O výpočtu resolventů a Galoisových skupin". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007 / BF01165834.