Kvazi-abelianská kategorie - Quasi-abelian category

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, a kvazi-abelianská kategorie je předabelianská kategorie ve kterém vystrčit a jádro podél libovolných morfismů je opět jádro a, duálně, zarazit a koksovna podél libovolných morfismů je opět koks.

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ být předabelianská kategorie. Morfismus ${ displaystyle f}$ je jádro (koksovna) pokud existuje morfismus ${ displaystyle g}$ takhle ${ displaystyle f}$ je jádro (jádro) z ${ displaystyle g}$. Kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kvazi-abelian pokud pro každé jádro ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ a každý morfismus ${ displaystyle h: X rightarrow Z}$ v posunovacím diagramu

${ displaystyle { begin {array} {ccc} X & { xrightarrow {f}} & Y downarrow _ {h} && downarrow _ {h '} Z & { xrightarrow {f'}} & Q konec {pole}}}$

morfismus ${ displaystyle f '}$ je opět jádro a, dvojím způsobem, pro každé jádro ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ a každý morfismus ${ displaystyle h: Z rightarrow Y}$ ve schématu zpětného rázu

${ displaystyle { begin {array} {ccc} P & { xrightarrow {g '}} & Z downarrow _ {h'} ​​&& downarrow _ {h} X & { xrightarrow {g}} & Y konec {pole}}}$

morfismus ${ displaystyle g '}$ je opět cokernel.

Ekvivalentně je kvazi-abelianská kategorie předabelianská kategorie, ve které systém všech párů jádro-kokker vytváří přesná struktura.

Vzhledem k pre-abelianské kategorii jsou jádra, která jsou stabilní při libovolném tlaku, někdy nazývána polostabilní jádra. Souběžně se nazývají jádra, která jsou stabilní při libovolných zpětných rázech polostabilní jádra.^[1]

Vlastnosti

Nechat ${ displaystyle f}$ být morfismem v kvazi-abelianské kategorii. Pak indukovaný morfismus ${ displaystyle { overline {f}}: operatorname {cok} operatorname {ker} f rightarrow operatorname {ker} operatorname {cok} f}$ je vždy bimorfismus, tj. a monomorfismus a epimorfismus. Kvazi-abelianská kategorie tedy vždy existuje poloabelian.

Příklady

Každý abelianská kategorie je kvazi-abelian. Typické neabelovské příklady vznikají ve funkční analýze.^[2]

• Kategorie Banachovy prostory je kvazi-abelian.
• Kategorie Fréchetové prostory je kvazi-abelian.
• Kategorie (Hausdorff ) lokálně konvexní mezery je kvazi-abelian.

Dějiny

Koncept kvazi-abelianské kategorie byl vyvinut v 60. letech. Jde o historii.^[3] To je způsobeno zejména Raikov dohad, který uvedl, že pojem a poloabelianská kategorie je ekvivalentní s kvazi-abelianskou kategorií. Kolem roku 2005 se ukázalo, že domněnka je nepravdivá.^[4]

Levá a pravá kvazi-abelianská kategorie

Rozdělením dvou podmínek v definici lze definovat levé kvazi-abelianské kategorie požadováním toho, aby koksovací jádra byla stabilní při zpětných rázech a správné kvazi-abelianské kategorie vyžadováním toho, aby byla jádra stabilní pod tlakem.^[5]

Citace

Reference

• Fabienne Prosmans, Odvozené kategorie pro funkční analýzu. Publ. Res. Inst. Matematika. Sci. 36 (5–6), 19–83 (2000).
• Fred Richman a Elbert A. Walker, Ext v předabelianských kategoriích. Pac. J. Math. 71 (2), 521–535 (1977).
• Wolfgang Rump, protiklad Raikovovy domněnky, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Wolfgang Rump, téměř abelianské kategorie, Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42 (3), 163–225 (2001).
• Wolfgang Rump, Analýza Raikovova problému s aplikacemi v sudových a bornologických prostorech, J. Pure a Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Jean Pierre Schneiders, kvazi-abelianské kategorie a snopy, Mém. Soc. Matematika. Fr. Nouv. Sér. 76 (1999).