Poloabelianská kategorie - Semi-abelian category

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, a poloabelianská kategorie je předabelianská kategorie ve kterém indukované morfismus ${ displaystyle { overline {f}}: operatorname {coim} f rightarrow operatorname {im} f}$ je bimorfismus, tj. a monomorfismus a epimorfismus, pro každý morfismus ${ displaystyle f}$.

Vlastnosti

Dvě vlastnosti použité v definici lze charakterizovat několika ekvivalentními podmínkami.^[1]

Každá poloabelianská kategorie má a maximální přesná struktura.

Pokud poloabelianská kategorie není kvazi-abelian, pak třída všech párů kernel-cokernel netvoří přesná struktura.

Příklady

Každý kvazi-abelianská kategorie je poloabelian. Zejména každý abelianská kategorie je poloabelian. Níže jsou uvedeny nekvazi-abelianské příklady.

• Kategorie (možná ne Hausdorff ) bornologické prostory je poloabelian.^[2][3][4]
• Nechat ${ displaystyle Q}$ být toulec

a ${ displaystyle k}$ být pole. Kategorie definitivně generováno projektivní moduly přes algebru ${ displaystyle kQ}$ je poloabelian.^[5]

Dějiny

Koncept poloabelianské kategorie byl vyvinut v 60. letech. Raikov se domníval že pojem a kvazi-abelianská kategorie je ekvivalentní s poloabelianskou kategorií. Kolem roku 2005 se ukázalo, že domněnka je nepravdivá.^[6]

Levá a pravá poloabelianská kategorie

Vydělením dvou podmínek na indukované mapě v definici lze definovat levé poloabelianské kategorie vyžadováním toho ${ displaystyle { overline {f}}}$ je monomorfismus pro každý morfismus ${ displaystyle f}$. V souladu s tím správné kvazi-abelianské kategorie jsou pre-abelianské kategorie takové, že ${ displaystyle { overline {f}}}$ je epimorfismus pro každý morfismus ${ displaystyle f}$.^[7]

Pokud je kategorie ponechána poloabelianská a pravý kvazi-abelian, pak je to již kvazi-abelian. Totéž platí, pokud je kategorie pravá poloabelianská a levá kvaziabelianská.^[8]

Citace

Reference

• José Bonet, J., Susanne Dierolf, The pullback for bornological and ultrabornological spaces. Poznámka Mat. 25 (1), 63–67 (2005/2006).
• Yaroslav Kopylov a Sven-Ake Wegner, K pojmu poloabelianské kategorie ve smyslu Palamodova, Appl. Kategorie Struktury 20 (5) (2012) 531–541.
• Wolfgang Rump, protiklad Raikovovy domněnky, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Wolfgang Rump, téměř abelianské kategorie, Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42 (3), 163–225 (2001).
• Wolfgang Rump, Analýza Raikovova problému s aplikacemi v sudových a bornologických prostorech, J. Pure a Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Dennis Sieg a Sven-Ake Wegner, maximální přesné struktury v kategoriích aditiv, matematika. Nachr. 284 (2011), 2093–2100.