Dopředu (homologie) - Pushforward (homology) - Wikipedia

v algebraická topologie, tlačit kupředu a spojitá funkce ${ displaystyle f}$ : ${ displaystyle X rightarrow Y}$ mezi dvěma topologické prostory je homomorfismus ${ displaystyle f _ {*}: H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$ mezi homologické skupiny pro ${ displaystyle n geq 0}$.

Homologie je a funktor který převádí topologický prostor ${ displaystyle X}$ do sekvence skupin homologie ${ displaystyle H_ {n} vlevo (X vpravo)}$. (Na kolekci všech těchto skupin se často odkazuje pomocí notace ${ displaystyle H _ {*} vlevo (X vpravo)}$; tato kolekce má strukturu a odstupňovaný prsten.) Ve všech kategorie, funktor musí vyvolat odpovídající morfismus. Dopředu je morfismus odpovídající funktoru homologie.

Definice singulární a zjednodušené homologie

Vytváříme dopředný homomorfismus takto (pro singulární nebo zjednodušenou homologii):

Nejprve máme indukovaný homomorfismus mezi singulárem nebo simplexem řetězový komplex ${ displaystyle C_ {n} vlevo (X vpravo)}$ a ${ displaystyle C_ {n} vlevo (Y vpravo)}$ definováno složením každého singulárního n-simplexní ${ displaystyle sigma _ {X}}$ : ${ displaystyle Delta ^ {n} rightarrow X}$ s ${ displaystyle f}$ získat singulární n-simplex ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle f _ { #} vlevo ( sigma _ {X} vpravo) = f sigma _ {X}}$ : ${ displaystyle Delta ^ {n} pravá šipka Y}$. Pak prodloužíme ${ displaystyle f _ { #}}$ lineárně přes ${ displaystyle f _ { #} left ( sum _ {t} n_ {t} sigma _ {t} right) = sum _ {t} n_ {t} f _ { #} left ( sigma _ {t} vpravo)}$.

Mapy ${ displaystyle f _ { #}}$ : ${ displaystyle C_ {n} left (X right) rightarrow C_ {n} left (Y right)}$ uspokojit ${ displaystyle f _ { #} částečné = částečné f _ { #}}$ kde ${ displaystyle částečné}$ je hraniční operátor mezi řetězovými skupinami, tak ${ displaystyle částečné f _ { #}}$ definuje a řetězová mapa.

To máme ${ displaystyle f _ { #}}$ bere cykly na cykly, protože ${ displaystyle částečné alpha = 0}$ naznačuje ${ displaystyle částečný f _ { #} vlevo ( alpha pravý) = f _ { #} vlevo ( částečný alfa pravý) = 0}$. Taky ${ displaystyle f _ { #}}$ bere hranice na hranice od té doby ${ displaystyle f _ { #} vlevo ( částečná beta doprava) = částečná f _ { #} vlevo ( beta doprava)}$.

Proto ${ displaystyle f _ { #}}$ indukuje homomorfismus mezi skupinami homologie ${ displaystyle f _ {*}: H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$ pro ${ displaystyle n geq 0}$.

Vlastnosti a homotopická invariance

Dvě základní vlastnosti posunutí dopředu jsou:

1. ${ displaystyle left (f circ g right) _ {*} = f _ {*} circ g _ {*}}$ pro skládání map ${ displaystyle X { overset {f} { rightarrow}} Y { overset {g} { rightarrow}} Z}$.
2. ${ displaystyle left ({ text {id}} _ {X} right) _ {*} = { text {id}}}$ kde ${ displaystyle { text {id}} _ {X}}$ : ${ displaystyle X rightarrow X}$ odkazuje na funkci identity ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle { text {id}} dvojtečka H_ {n} levá (X pravá) pravá šipka H_ {n} levá (X pravá)}$ Termín "izomorfismus identity" homologických skupin.

Hlavním výsledkem posunu vpřed je homotopická invariance: pokud dvě mapy ${ displaystyle f, g dvojtečka X pravá šipka Y}$ jsou homotopické, pak indukují stejný homomorfismus ${ displaystyle f _ {*} = g _ {*} dvojtečka H_ {n} vlevo (X vpravo) rightarrow H_ {n} vlevo (Y vpravo)}$.

To okamžitě znamená, že skupiny homologie homotopy ekvivalentních prostorů jsou izomorfní:

Mapy ${ displaystyle f _ {*} dvojtečka H_ {n} levá (X pravá) pravá šipka H_ {n} levá (Y pravá)}$ indukované homotopickou ekvivalencí ${ displaystyle f dvojtečka X pravá šipka Y}$ jsou izomorfismy pro všechny ${ displaystyle n}$.

Reference

• Allen Hatcher, Algebraická topologie. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X a ISBN  0-521-79540-0