Důkaz poslední věty Fermats pro konkrétní exponenty - Proof of Fermats Last Theorem for specific exponents - Wikipedia

Fermatova poslední věta je věta v teorie čísel, původně uvedl Pierre de Fermat v roce 1637 a prokázáno Andrew Wiles v roce 1995. Tvrzení věty zahrnuje celé číslo exponent n větší než 2. Ve stoletích následujících po počátečním vyjádření výsledku a před jeho obecným důkazem byly pro konkrétní hodnoty exponentu vytvořeny různé důkazy n. Některé z těchto důkazů jsou popsány níže, včetně Fermatova důkazu v případě n = 4, což je časný příklad metody nekonečný sestup.

Matematické přípravné zápasy

Fermatova poslední věta uvádí, že žádné tři kladná celá čísla (A, b, C) může rovnici uspokojit An + bn = Cn pro jakoukoli celočíselnou hodnotu n větší než dva. (Pro n rovno 1, rovnice je a lineární rovnice a má řešení pro všechno možné A, b. Pro n rovna 2, rovnice má nekonečně mnoho řešení, Pytagorovy trojice.)

Faktory exponentů

Řešení (A, b, C) pro daný n vede k řešení všech faktorů n: pokud h je faktorem n pak existuje celé číslo G takhle n = gh. Pak (AG, bG, CG) je řešením exponentu h:

(AG)h + (bG)h = (CG)h.

Proto dokázat, že Fermatova rovnice má Ne řešení pro n > 2, stačí prokázat, že nemá řešení n = 4 a pro všechna lichá prvočísla p.

Pro každý takový lichý exponent p, každé kladně-celočíselné řešení rovnice Ap + bp = Cp odpovídá obecnému celočíselnému řešení rovnice Ap + bp + Cp = 0. Například pokud (3, 5, 8) řeší první rovnici, pak (3, 5, −8) řeší druhou. Naopak jakékoli řešení druhé rovnice odpovídá řešení první. Druhá rovnice je někdy užitečná, protože vytváří symetrii mezi třemi proměnnými A, b a C více patrné.

Primitivní řešení

Pokud dvě ze tří čísel (A, b, C) lze rozdělit čtvrtým číslem d, pak jsou všechna tři čísla dělitelná d. Například pokud A a C jsou dělitelné d = 13, tedy b je také dělitelné 13. To vyplývá z rovnice

bn = Cn − An

Pokud je pravá strana rovnice dělitelná 13, pak i levá strana dělitelná 13. Nechť G představují největší společný dělitel z A, b, a C. Pak (A, b, C) lze psát jako A = gx, b = gy, a C = gz kde jsou tři čísla (X, y, z) jsou párové coprime. Jinými slovy, největší společný dělitel (GCD) každé dvojice se rovná jedné

GCD (X, y) = GCD (X, z) = GCD (y, z) = 1

Pokud (A, b, C) je řešením Fermatovy rovnice, tedy také (X, y, z), protože rovnice

An + bn = Cn = GnXn + Gnyn = Gnzn

znamená rovnici

Xn + yn = zn.

Párové řešení coprime (X, y, z) se nazývá a primitivní řešení. Protože každé řešení Fermatovy rovnice lze redukovat na primitivní řešení dělením jejich největším společným dělitelem G„Fermatovu poslední větu lze prokázat prokázáním, že neexistují žádná primitivní řešení.

Sudý a lichý

Celá čísla lze rozdělit na sudá a lichá, ta, která jsou rovnoměrně dělitelná dvěma, a ta, která nejsou. Sudá celá čísla jsou ...− 4, −2, 0, 2, 4, zatímco lichá celá čísla jsou −3, −1, 1, 3, ... Vlastnost, zda je celé číslo sudé (nebo ne), je známý jako jeho parita. Pokud jsou dvě čísla sudá nebo obě lichá, mají stejnou paritu. Naproti tomu, pokud je jeden sudý a druhý lichý, mají odlišnou paritu.

Sčítání, odčítání a násobení sudých a lichých celých čísel se řídí jednoduchými pravidly. Sčítání nebo odčítání dvou sudých čísel nebo dvou lichých čísel vždy vytváří sudé číslo, např. 4 + 6 = 10 a 3 + 5 = 8. Naopak, sčítání nebo odčítání lichého a sudého čísla je vždy liché, např. , 3 + 8 = 11. Násobení dvou lichých čísel je vždy liché, ale násobení sudého čísla libovolným číslem je vždy sudé. Liché číslo zvýšené na mocninu je vždy liché a sudé číslo zvýšené na mocninu je vždy sudé.

V jakémkoli primitivním řešení (X, y, z) k rovnici Xn  +  yn = zn, jedno číslo je sudé a další dvě čísla jsou lichá. Nemohou být všichni vyrovnaní, protože by potom nebyli zločinci; mohli by být všichni rozděleni dvěma. Nemohou však být všechny liché, protože součet dvou lichých čísel Xn + yn nikdy není liché číslo zn. Proto musí být alespoň jedno číslo sudé a alespoň jedno číslo liché. Z toho vyplývá, že třetí číslo je také liché, protože součet sudého a lichého čísla je sám lichý.

Prvočíselný rozklad

The základní teorém aritmetiky uvádí, že jakékoli přirozené číslo lze zapsat pouze jedním způsobem (jednoznačně) jako produkt prvočísel. Například 42 se rovná součinu prvočísel 2 × 3 × 7 a žádný jiný součin prvočísel se rovná 42, kromě triviálních úprav, jako je 7 × 3 × 2. Tato jedinečná faktorizační vlastnost je základem, z něhož většina teorie čísel je postaven.

Jedním z důsledků této jedinečné faktorizační vlastnosti je, že pokud a pth síla čísla se rovná produktu, jako je

Xp = uv

a pokud u a proti jsou tedy coprime (nesdílejte žádné hlavní faktory) u a proti jsou sami sebou pth síla dvou dalších čísel, u = rp a proti = sp.

Jak je popsáno níže, některé číselné systémy však nemají jedinečnou faktorizaci. Tato skutečnost vedla k neúspěchu Laméova obecného důkazu o Fermatově poslední větě z roku 1847.

Dva případy

Hlavní článek: Věta Sophie Germainové

Od doby Sophie Germain, Fermatova poslední věta byla rozdělena do dvou případů, které jsou prokázány samostatně. Prvním případem (případ I) je ukázat, že neexistují žádná primitivní řešení (X, y, z) k rovnici Xp + yp = zp za podmínky, že p nerozděluje produkt xyz. Druhý případ (případ II) odpovídá podmínce, že p rozděluje produkt xyz. Od té doby X, y, a z jsou párové coprime, p rozděluje pouze jedno ze tří čísel.

n = 4

Portrét Pierra de Fermata.

Přežil pouze jeden matematický důkaz Fermata, ve kterém Fermat používá techniku nekonečný sestup ukázat, že oblast pravého trojúhelníku s celočíselnými stranami se nikdy nemůže rovnat čtverci celého čísla.[1] Tento výsledek je znám jako Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku. Jak je uvedeno níže, jeho důkaz je ekvivalentní prokázání, že rovnice

X4 − y4 = z2

nemá primitivní řešení v celých číslech (žádná párová řešení coprime). To zase postačuje k prokázání Fermatovy poslední věty pro případ n = 4, protože rovnice A4 + b4 = C4 lze psát jako C4 − b4 = (A2)2. Alternativní důkazy případu n = 4 byly vyvinuty později[2] Frénicle de Bessy,[3] Euler,[4] Kausler,[5] Barlow,[6] Legendre,[7] Schopis,[8] Terquem,[9] Bertrand,[10] Lebesgue,[11] Pepin,[12] Tafelmacher,[13] Hilbert,[14] Bendz,[15] Gambioli,[16] Kronecker,[17] Bang,[18] Sommer,[19] Bottari,[20] Rychlik,[21] Nutzhorn,[22] Carmichael,[23] Hancock,[24] Vrǎnceanu,[25] Grant a Perella,[26] Barbara,[27] a Dolan.[28] Jeden důkaz nekonečného původu viz Nekonečný sestup # Neřešitelnost r2 + s4 = t4.

Aplikace na pravé trojúhelníky

Fermatův důkaz ukazuje, že žádný pravý trojúhelník s celočíselnými stranami nemůže mít plochu, která je čtvercem.[29] Nechť má pravý trojúhelník strany (u, proti, w), kde se plocha rovná uv/2 a tím Pythagorova věta, u2 + proti2 = w2. Pokud by se plocha rovnala čtverci celého čísla s

uv/2 = s2

dávat

2uv = 4s2
−2uv = −4s2.

Přidávání u2 + proti2 = w2 k těmto rovnicím dává

u2 + 2uv + proti2 = w2 + 4s2
u2 − 2uv + proti2 = w2 − 4s2,

které lze vyjádřit jako

(u + proti)2 = w2 + 4s2
(u − proti)2 = w2 − 4s2.

Vynásobením těchto rovnic se získá

(u2 − proti2)2 = w4 − 24s4.

Ale jak dokázal Fermat, nemůže existovat žádné celočíselné řešení rovnice

X4 − y4 = z2

z nichž se jedná o speciální případ z = (u2 - proti2), X = w a y = 2s.

Prvním krokem Fermatova důkazu je zohlednění levé strany[30]

(X2 + y2)(X2 − y2) = z2

Od té doby X a y jsou coprime (lze to předpokládat, protože jinak by mohly být faktory zrušeny), největší společný dělitel X2 + y2 a X2 − y2 je buď 2 (případ A), nebo 1 (případ B). Věta je prokázána samostatně pro tyto dva případy.

Důkaz pro případ A

V tomto případě obojí X a y jsou liché a z je sudý. Od té doby (y2, z, X2) tvoří primitivní Pythagorovu trojku, lze je psát

z = 2de
y2 = d2 − E2
X2 = d2 + E2

kde d a E jsou coprime a d > E > 0. Tedy

X2y2 = d4 − E4

který vytváří další řešení (d, E, xy), který je menší (0 < d < X). Stejně jako dříve musí existovat spodní hranice velikosti řešení, zatímco tento argument vždy vytváří menší řešení než kterékoli dané, a proto je původní řešení nemožné.

Důkaz pro případ B

V tomto případě jsou dva faktory coprime. Protože jejich produktem je čtverec z2, musí být každý čtverec

X2 + y2 = s2
X2 − y2 = t2

Čísla s a t jsou oba zvláštní, protože s2 + t2 = 2 X2, sudé číslo a od té doby X a y nemohou být oba sudé. Proto je součet a rozdíl s a t jsou rovněž sudá čísla, takže definujeme celá čísla u a proti tak jako

u = (s + t)/2
proti = (s − t)/2

Od té doby s a t jsou coprime, tak jsou u a proti; pouze jeden z nich může být sudý. Od té doby y2 = 2uv, přesně jeden z nich je sudý. Pro ilustraci pojďme u být vyrovnaný; pak čísla mohou být zapsána jako u=2m2 a proti=k2. Od té doby (u, proti, X) tvoří primitiv Pytagorejský trojnásobek

(s2 + t2)/2 = u2 + proti2 = X2

mohou být vyjádřeny menšími celými čísly d a E pomocí Euklidova vzorce

u = 2de
proti = d2 − E2
X = d2 + E2

Od té doby u = 2m2 = 2de, a od té doby d a E jsou coprime, musí to být samy čtverce, d = G2 a E = h2. To dává rovnici

proti = d2 − E2 = G4 − h4 = k2

Řešení (G, h, k) je jiné řešení původní rovnice, ale menší (0 < G < d < X). Stejný postup použijeme na (G, h, k) by vyprodukovalo další řešení, stále menší atd. To je však nemožné, protože přirozená čísla nelze zmenšovat donekonečna. Původní řešení (X, y, z) bylo nemožné.

n = 3

Leonhard Euler podle Jakob Emanuel Handmann.

Fermat poslal dopisy, v nichž zmínil případ, ve kterém n = 3 v 1636, 1640 a 1657.[31]Euler zaslal dopis, ve kterém předložil důkaz o případu, ve kterém n = 3 až Goldbach dne 4. srpna 1753.[32]Euler měl kompletní a čistý základní důkaz v roce 1760.[33]Pouzdro n = 3 bylo prokázáno Euler v roce 1770.[34][35][36][37] Nezávislé důkazy zveřejnilo několik dalších matematiků,[38] včetně Kausler,[5] Legendre,[7][39] Calzolari,[40] Chromý,[41] Tait,[42] Günther,[43] Gambioli,[16] Krey,[44] Rychlik,[21] Stockhaus,[45] Carmichael,[46] van der Corput,[47] Čt,[48] a Duarte.[49]

Chronologická tabulka důkazu n = 3
datumvýsledek / důkazzveřejněno / nezveřejněnoprácenázev
1621žádnýzveřejněnoLatinská verze Diophantus je AritmetikaBachet
kolem roku 1630jediný výsledeknezveřejněnookrajová poznámka v AritmetikaFermat
1636, 1640, 1657jediný výsledekzveřejněnodopisy z n = 3Fermat[31]
1670jediný výsledekzveřejněnookrajová poznámka v AritmetikaFermatův syn Samuel vydal Aritmetika s Fermatovou poznámkou.
4. srpna 1753jediný výsledekzveřejněnodopis GoldbachEuler[32]
1760důkaznezveřejněnoúplný a čistý elementární důkazEuler[33]
1770důkazzveřejněnoneúplný, ale elegantní důkaz v Prvky algebryEuler[32][34][37]

Stejně jako Fermat pro případ n = 4, Euler použil techniku nekonečný sestup.[50] Důkaz předpokládá řešení (X, y, z) k rovnici X3 + y3 + z3 = 0, kde jsou tři nenulová celá čísla X, y, a z jsou párové coprime a ne všechny pozitivní. Jeden ze tří musí být sudý, zatímco ostatní dva jsou liché. Bez ztráty obecnosti, z lze předpokládat, že jsou sudé.

Od té doby X a y jsou liché, nemohou se rovnat. Li X = y, pak 2X3 = −z3, což z toho vyplývá X je dokonce rozpor.

Od té doby X a y jsou lichá, jejich součet a rozdíl jsou sudá čísla

2u = X + y
2proti = X − y

kde nenulová celá čísla u a proti jsou coprime a mají odlišnou paritu (jeden je sudý, druhý lichý). Od té doby X = u + proti a y = u − proti, z toho vyplývá, že

−z3 = (u + proti)3 + (u − proti)3 = 2u(u2 + 3proti2)

Od té doby u a proti mít opačnou paritu, u2 + 3proti2 je vždy liché číslo. Proto, protože z je dokonce, u je sudé a proti je zvláštní. Od té doby u a proti jsou coprime, největší společný dělitel 2u a u2 + 3proti2 je buď 1 (případ A) nebo 3 (případ B).

Důkaz pro případ A

V tomto případě se jedná o dva faktory -z3 jsou coprime. To znamená, že tři se nerozdělí u a že dva faktory jsou kostky dvou menších čísel, r a s

2u = r3
u2 + 3proti2 = s3

Od té doby u2 + 3proti2 je liché, tak je s. Rozhodující lemma ukazuje, že pokud s je liché a pokud splňuje rovnici s3 = u2 + 3proti2, pak to může být psáno v podmínkách dvou celých čísel coprime E a F

s = E2 + 3F2

aby

u = E ( E2 − 9F2)
proti = 3F ( E2 − F2)

Od té doby u je sudé a proti tedy zvláštní E je sudé a F je zvláštní. Od té doby

r3 = 2u = 2E (E − 3F)(E + 3F)

Faktory 2E, (E–3F ), a (E+3F ) jsou coprime, protože 3 nelze rozdělit E: Pokud E byly dělitelné 3, pak 3 by se dělily u, porušující označení u a proti jako coprime. Vzhledem k tomu, že tři faktory na pravé straně jsou coprime, musí se jednotlivě rovnat kostkám menších celých čísel

−2E = k3
E − 3F = l3
E + 3F = m3

což přináší menší řešení k3 + l3 + m3= 0. Proto argumentem nekonečný sestup, původní řešení (X, y, z) bylo nemožné.

Důkaz pro případ B

V tomto případě největší společný dělitel 2u a u2 + 3proti2 je 3. To znamená, že 3 dělí u, a jeden může vyjádřit u = 3w z hlediska menšího celého čísla, w. Od té doby u je dělitelné 4, takže je w; proto, w je také sudé. Od té doby u a proti jsou coprime, tak jsou proti a w. Proto ani 3, ani 4 nedělí proti.

Střídání u podle w v rovnici pro z3 výnosy

−z3 = 6w(9w2 + 3proti2) = 18w(3w2 + proti2)

Protože proti a w jsou coprime, a protože 3 se nedělí proti, pak 18w a 3w2 + proti2 jsou také coprime. Proto, protože jejich produktem je krychle, jsou každá krychlí menších celých čísel, r a s

18w = r3
3w2 + proti2 = s3

Podle výše uvedeného lemmatu s je liché a jeho kostka se rovná počtu formuláře 3w2 + proti2, také to lze vyjádřit ve smyslu menších čísel coprime, E a F.

s = E2 + 3F2

Krátký výpočet to ukazuje

proti = E (E2 − 9F2)
w = 3F (E2 − F2)

Tím pádem, E je liché a F je dokonce, protože proti je zvláštní. Výraz pro 18w pak se stane

r3 = 18w = 54F (E2 − F2) = 54F (E + F) (E − F) = 33×2F (E + F) (E − F).

Od 33 rozděluje r3 máme 3 rozdělení r, tak (r /3)3 je celé číslo, které se rovná 2F (E + F) (E − F). Od té doby E a F jsou coprime, stejně tak tři faktory 2E, E+F, a E−F; proto jsou každá krychlí menších celých čísel, k, l, a m.

−2E = k3
E + F = l3
E − F = m3

což přináší menší řešení k3 + l3 + m3= 0. Proto argumentem nekonečný sestup, původní řešení (X, y, z) bylo nemožné.

n = 5

Portrét Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Karikatura Adrien-Marie Legendre (jediný jeho dochovaný portrét).

Fermatova poslední věta pro n = 5 uvádí, že žádná tři coprime celá čísla X, y a z může uspokojit rovnici

X5 + y5 + z5 = 0

To bylo prokázáno[51] ani samostatně, ani společně Dirichlet a Legendre kolem roku 1825.[32][52] Byly vyvinuty alternativní důkazy[53] podle Gauss,[54] Lebesgue,[55] Chromý,[56] Gambioli,[16][57] Werebrusow,[58] Rychlik,[59] van der Corput,[47] a Terjanian.[60]

Dirichletův důkaz pro n = 5 se dělí na dva případy (případy I a II) definované Sophie Germain. V případě I exponent 5 produkt nerozdělí xyz. V případě II se 5 dělí xyz.

  1. Případ I pro n = 5 lze okamžitě prokázat Věta Sophie Germainové (1823), pokud pomocné prvočíslo θ = 11.
  2. Případ II je rozdělen na dva případy (případy II (i) a II (ii)) Dirichletem v roce 1825. Případ II (i) je případ, kdy jeden z x, y, z je rozdělen buď 5 a 2. Případ II ( ii) je případ, kdy jeden z x, y, z je rozdělen 5 a další z x, y, z je vydělen 2. V červenci 1825 Dirichlet prokázal případ II (i) pro n = 5. V září 1825 Legendre prokázal případ II (ii) pro n = 5. Po Legendrově důkazu doplnil Dirichlet důkaz pro případ II (ii) pro n = 5 rozšířeným argumentem pro případ II (i).[32]
Chronologická tabulka důkazu n = 5
datumpřípad I / IIpřípad II (i / ii)název
1823případ jáSophie Germain
Července 1825případ IIpřípad II (i)Dirichlet
Září 1825případ II (ii)Legendre
po září 1825Dirichlet

Důkaz pro případ A

Případ A pro n = 5 lze okamžitě prokázat Věta Sophie Germainové pokud pomocné prvočíslo θ = 11. Metodičtější důkaz je následující. Podle Fermatova malá věta,

X5 ≡ X (mod 5)
y5 ≡ y (mod 5)
z5 ≡ z (mod 5)

a proto

X + y + z ≡ 0 (mod 5)

Tato rovnice nutí dvě ze tří čísel X, y, a z být ekvivalentní modulo 5, což lze vidět následovně: Protože jsou nedělitelné číslem 5, X, y a z nemůže se rovnat 0 modulo 5 a musí se rovnat jedné ze čtyř možností: ± 1 nebo ± 2. Pokud by byly všechny odlišné, dva by byly protiklady a jejich součet modulo 5 by byl nulový (což by v rozporu s předpokladem tohoto případu znamenalo, že ten druhý by byl 0 modulo 5).

Bez ztráty obecnosti, X a y lze označit jako dvě ekvivalentní čísla modulo 5. Z této ekvivalence vyplývá, že

X5 ≡ y5 (mod 25) (změna poznámky v modulo)
−z5 ≡ X5 + y5 ≡ 2 X5 (mod 25)

Rovnice však X ≡ y (mod 5) to také naznačuje

−z ≡ X + y ≡ 2 X (mod 5)
−z5 ≡ 25 X5 ≡ 32 X5 (mod 25)

Kombinace obou výsledků a dělení obou stran X5 přináší rozpor

2 ≡ 32 (mod 25)

Případ A pro n = 5 bylo prokázáno.

Důkaz pro případ B

n = 7

Pouzdro n = 7 bylo prokázáno[61] podle Gabriel Lamé v roce 1839.[62] Jeho poměrně komplikovaný důkaz zjednodušil v roce 1840 Victor-Amédée Lebesgue,[63] a stále jednodušší důkazy[64] byly publikovány Angelo Genocchi v roce 1864, 1874 a 1876.[65] Théophile Pépin vyvinul alternativní důkazy[66] a Edmond Maillet.[67]

n = 6, 10 a 14

Fermatova poslední věta byla také prokázána pro exponenty n = 6, 10 a 14. Důkazy pro n = 6 publikoval Kausler,[5] Čt,[68] Tafelmacher,[69] Lind,[70] Kapferer,[71] Rychlý,[72] a Breusch.[73] Podobně, Dirichlet[74] a Terjanian[75] každý případ prokázal n = 14, zatímco Kapferer[71] a Breusch[73] každý případ prokázal n = 10. Přísně vzato, tyto důkazy jsou zbytečné, protože tyto případy vyplývají z důkazů pro n = 3, 5, respektive 7. Odůvodnění těchto důkazů se sudými exponenty se však liší od jejich protějšků s lichými exponenty. Dirichletův důkaz pro n = 14 byl publikován v roce 1832, před Lamého důkazem z roku 1839 n = 7.

Poznámky

  1. ^ Freeman L. „Fermatův jeden důkaz“. Citováno 2009-05-23.
  2. ^ Ribenboim, s. 15–24.
  3. ^ Frénicle de Bessy, Traité des Triangles Rectangles en Nombres, sv. I, 1676, Paříž. Přetištěno Mém. Acad. Roy. Sci., 5, 1666–1699 (1729).
  4. ^ Euler L. (1738). "Demonstrace Theorematum quorundam arithmeticorum". Comm. Acad. Sci. Petrop. 10: 125–146.. Přetištěno Opera omnia, ser. I, „Commentationes Arithmeticae“, sv. I, str. 38–58, Lipsko: Teubner (1915).
  5. ^ A b C Kausler CF (1802). „Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse“. Novi Acta Acad. Petrop. 13: 245–253.
  6. ^ Barlow P (1811). Základní vyšetřování teorie čísel. St. Paul's Church-Yard, London: J. Johnson. str. 144–145.
  7. ^ A b Legendre AM (1830). Théorie des Nombres (svazek II) (3. vyd.). Paříž: Firmin Didot Frères. Dotisk v roce 1955 A. Blanchard (Paříž).
  8. ^ Schopis (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik. Gummbinnen: Program.
  9. ^ Terquem O (1846). „Théorèmes sur les puissances des nombres“. Nouv. Ann. Matematika. 5: 70–87.
  10. ^ Bertrand J. (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre. Paris: Hachette. str.217 –230, 395.
  11. ^ Lebesgue VA (1853). „Résolution des équations biquadratiques z2 = X4 ± 2my4, z2 = 2mX4 − y4, 2mz2 = X4 ± y4". J. Math. Pures Appl. 18: 73–86.
    Lebesgue VA (1859). Exercices d'Analyse Numérique. Paříž: Leiber et Faraguet. 83–84, 89.
    Lebesgue VA (1862). Úvod à la Théorie des Nombres. Paříž: Mallet-Bachelier. 71–73.
  12. ^ Pepin T (1883). „Étude sur l'équation indéterminée sekera4 + podle4 = cz2". Atti Accad. Naz. Lincei. 36: 34–70.
  13. ^ Tafelmacher WLA (1893). „Sobre la ecuación X4 + y4 = z4". Ann. Univ. Chile. 84: 307–320.
  14. ^ Hilbert D (1897). „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4: 175–546. Přetištěno v roce 1965 v Gesammelte Abhandlungen, sv. Já od New Yorku: Chelsea.
  15. ^ Bendz TR (1901). Öfver diophantiska ekvationen xn + yn = zn. Uppsala: Almqvist & Wiksells Boktrycken.
  16. ^ A b C Gambioli D (1901). „Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat“. Doba. Rohož. 16: 145–192.
  17. ^ Kronecker L (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, sv. Já. Lipsko: Teubner. str. 35–38. Přetištěno New Yorkem: Springer-Verlag v roce 1978.
  18. ^ Bang A (1905). „Nyt Bevis pro v Ligningenu X4 − y4 = z4, ikke kan have logation Løsinger ". Nyt Tidsskrift Mat. 16B: 35–36.
  19. ^ Sommer J (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie. Lipsko: Teubner.
  20. ^ Bottari A. „Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicationzione alla dimostrazione di alcune teoremi dellla teoria dei numeri“. Doba. Rohož. 23: 104–110.
  21. ^ A b Rychlik K. (1910). „O Fermatově poslední větě pro n = 4 a n = 3 (v češtině) ". Časopis Pěst. Rohož. 39: 65–86.
  22. ^ Nutzhorn F (1912). „Den ubestemte Ligning X4 + y4 = z4". Nyt Tidsskrift Mat. 23B: 33–38.
  23. ^ Carmichael RD (1913). „O nemožnosti určitých diofantických rovnic a soustav rovnic“. Amer. Matematika. Měsíční. 20 (7): 213–221. doi:10.2307/2974106. JSTOR  2974106.
  24. ^ Hancock H (1931). Základy teorie algebraických čísel, sv. Já. New York: Macmillan.
  25. ^ Vrǎnceanu G (1966). „Asupra teorema lui Fermat pentru n=4". Gaz. Rohož. Ser. A. 71: 334–335. Přetištěno v roce 1977 v Opera matematica, sv. 4, s. 202–205, Bucureşti: Upravit. Acad. Rep. Soc. Romana.
  26. ^ Grant, Mike a Perella, Malcolm, „Sestupně k iracionálnímu“, Matematický věstník 83, July 1999, pp.263-267.
  27. ^ Barbara, Roy, „Fermatova poslední věta v případě n = 4“, Matematický věstník 91, červenec 2007, 260-262.
  28. ^ Dolan, Stan, „Fermatova metoda sestup infinie", Matematický věstník 95, červenec 2011, 269-271.
  29. ^ Fermat P. "Ad Problema XX commentarii in ultimam questionem Arithmeticorum Diophanti. Plocha trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus", Dílo, sv. Já, str. 340 (latinsky), sv. III, s. 271–272 (francouzsky). Paříž: Gauthier-Villars, 1891, 1896.
  30. ^ Ribenboim, s. 11–14.
  31. ^ A b Dickson (2005, str. 546)
  32. ^ A b C d E O'Connor a Robertson (1996)
  33. ^ A b Bergmann (1966)
  34. ^ A b Euler L. (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra, Roy.Acad. Sci., Petrohrad.
  35. ^ Freeman L. „Fermatova poslední věta: Důkaz pro n = 3". Citováno 2009-05-23.
  36. ^ J. J. Mačys (2007). „Na Eulerův hypotetický důkaz“. Matematické poznámky. 82 (3–4): 352–356. doi:10.1134 / S0001434607090088. PAN  2364600.
  37. ^ A b Euler (1822, str. 399, 401–402)
  38. ^ Ribenboim, str. 33, 37–41.
  39. ^ Legendre AM (1823). „Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée, et particulièrement sur le théorème de Fermat“. Mém. Acad. Roy. Sci. Institut Francie. 6: 1–60. Přetištěno v roce 1825 jako „druhé doplnění“ pro tisk 2. vydání Essai sur la Théorie des Nombres, Courcier (Paříž). Také dotisk v roce 1909 v Sfinga-Oedipe, 4, 97–128.
  40. ^ Calzolari L (1855). Dávejte si pozor na to, že budete mít Fermat sull'equazione indeterminata xn + yn = zn. Ferrara.
  41. ^ Lamé G. (1865). „Étude des binômes cubiques X3 ± y3". C. R. Acad. Sci. Paříž. 61: 921–924, 961–965.
  42. ^ Tait PG (1872). "Matematické poznámky". Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 7: 144.
  43. ^ Günther S (1878). „Über die unbestimmte Gleichung X3 + y3 = z3". Sitzungsberichte Böhm. Ges. Wiss.: 112–120.
  44. ^ Krey H (1909). „Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes“. Matematika. Naturwiss. Blätter. 6: 179–180.
  45. ^ Stockhaus H (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes. Lipsko: Brandstetter.
  46. ^ Carmichael RD (1915). Diophantinová analýza. New York: Wiley.
  47. ^ A b van der Corput JG (1915). "Quelques formes quadratiques et quelques équations indéterminées". Nieuw Archief Wisk. 11: 45–75.
  48. ^ Thue A (1917). „Et bevis pro v ligningenu A3 + B3 = C3 er unmulig i hele tal fra nul forskjellige tal A, B og C". Oblouk. Rohož. Naturv. 34 (15). Přetištěno Vybrané matematické články (1977), Oslo: Universitetsforlaget, s. 555–559.
  49. ^ Duarte FJ (1944). „Sobre la ecuación X3 + y3 + z3 = 0". Ciencias Fis. Rohož. Naturales (Caracas). 8: 971–979.
  50. ^ Ribenboim, s. 24–49.
  51. ^ Freeman L. „Fermatova poslední věta: Důkaz pro n = 5". Citováno 2009-05-23.
  52. ^ Ribenboim, str. 49.
  53. ^ Ribenboim, str. 55–57.
  54. ^ Gauss CF (1875, posmrtně). „Neue Theorie der Zerlegung der Cuben“. Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, sv. II (2. vyd.). Königl. Ges. Wiss. Göttingen. 387–391. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)
  55. ^ Lebesgue VA (1843). „Théorèmes nouveaux sur l'équation indéterminée X5 + y5 = az5". J. Math. Pures Appl. 8: 49–70.
  56. ^ Lamé G. (1847). „Mémoire sur la résolution en nombres complexes de l'équation A5 + B5 + C5 = 0". J. Math. Pures Appl. 12: 137–171.
  57. ^ Gambioli D (1903/4). „Intorno all'ultimo teorema di Fermat“. Il Pitagora. 10: 11–13, 41–42. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)
  58. ^ Werebrusow AS (1905). „Na rovnici X5 + y5 = Az5 (v Rusku)". Moskov. Matematika. Samml. 25: 466–473.
  59. ^ Rychlik K. (1910). „O Fermatově poslední větě pro n = 5 (v češtině)". Časopis Pěst. Rohož. 39: 185–195, 305–317.
  60. ^ Terjanian G. (1987). „Sur une question de V. A. Lebesgue“. Annales de l'Institut Fourier. 37 (3): 19–37. doi:10,5802 / aif.1096.
  61. ^ Ribenboim, str. 57–63.
  62. ^ Lamé G. (1839). „Mémoire sur le dernier théorème de Fermat“. C. R. Acad. Sci. Paříž. 9: 45–46.
    Lamé G. (1840). „Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation X7 + y7 = z7 est nemožný en nombres entiers ". J. Math. Pures Appl. 5: 195–211.
  63. ^ Lebesgue VA (1840). „Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation X7 + y7 + z7 = 0 en nombres entiers ". J. Math. Pures Appl. 5: 276–279, 348–349.
  64. ^ Freeman L. „Fermatova poslední věta: Důkaz pro n = 7". Citováno 2009-05-23.
  65. ^ Genocchi A (1864). „Intorno all'equazioni X7 + y7 + z7 = 0". Ann. Rohož. Pura Appl. 6: 287–288.
    Genocchi A (1874). „Sur l'impossibilité de quelques égalités se zdvojnásobuje“. C. R. Acad. Sci. Paříž. 78: 433–436.
    Genocchi A (1876). „Généralisation du théorème de Lamé sur l'impossibilité de l'équation X7 + y7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Paříž. 82: 910–913.
  66. ^ Pepin T. (1876). „Impossibilité de l'équation X7 + y7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Paříž. 82: 676–679, 743–747.
  67. ^ Maillet E (1897). „Sur l'équation indéterminée sekeraλt + podleλt = czλt". Doc. Française Avanc. Sci., St. Etienne (sér. II). 26: 156–168.
  68. ^ Thue A (1896). „Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen“. Det Kongel. Norske Videnskabers Selskabs Skrifter. 7. Přetištěno Vybrané matematické články, s. 19–30, Oslo: Universitetsforlaget (1977).
  69. ^ Tafelmacher WLA (1897). „La ecuación X3 + y3 = z2: Una demonstración nueva del teorema de fermat para el caso de las sestas potencias ". Ann. Univ. Chile, Santiago. 97: 63–80.
  70. ^ Lind B (1909). „Einige zahlentheoretische Sätze“. Oblouk. Matematika. Phys. 15: 368–369.
  71. ^ A b Kapferer H (1913). „Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10“. Oblouk. Matematika. Phys. 21: 143–146.
  72. ^ Swift E (1914). "Řešení úlohy 206". Amer. Matematika. Měsíční. 21: 238–239. doi:10.2307/2972379.
  73. ^ A b Breusch R. (1960). „Jednoduchý důkaz Fermatovy poslední věty pro n = 6, n = 10". Matematika. Mag. 33 (5): 279–281. doi:10.2307/3029800. JSTOR  3029800.
  74. ^ Dirichlet PGL (1832). „Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des 14E puissances “. J. Reine Angew. Matematika. 9: 390–393. Přetištěno Werke, sv. I, str. 189–194, Berlín: G. Reimer (1889); dotisk New York: Chelsea (1969).
  75. ^ Terjanian G. (1974). „L'équation X14 + y14 = z14 en nombres entiers ". Býk. Sci. Matematika. (sér. 2). 98: 91–95.

Reference

Další čtení

externí odkazy