Poyntingsova věta - Poyntings theorem - Wikipedia

v elektrodynamika, Poyntingova věta je prohlášení o uchování energie pro elektromagnetické pole,^{[je zapotřebí objasnění ]}ve formě a parciální diferenciální rovnice vyvinutý Britem fyzik John Henry Poynting.^[1] Poyntingova věta je analogická k teorém o pracovní energii v klasická mechanika, a matematicky podobné rovnice spojitosti, protože vztahuje energii uloženou v elektromagnetickém poli k práce provedeno na distribuce poplatků (tj. elektricky nabitý objekt), skrz energetický tok.

Prohlášení

Všeobecné

Řečeno slovy, věta je energetická bilance:

The rychlost přenosu energie (na jednotku objemu) z oblasti vesmíru se rovná sazba práce Hotovo na distribuci poplatků plus energetický tok opouštět tento region.

Druhé tvrzení může také vysvětlit teorém - „Pokles elektromagnetické energie za jednotku času v určitém objemu se rovná součtu práce vykonané silami pole a čistému vnějšímu toku za jednotku času“.

Matematicky je to shrnuto v diferenciální forma tak jako:

${ displaystyle - { frac { částečné u} { částečné t}} = nabla cdot mathbf {S} + mathbf {J} cdot mathbf {E}}$

kde ∇ •S je divergence z Poyntingův vektor (tok energie) a J•E je rychlost, s jakou pole fungují na nabitý objekt (J je proudová hustota odpovídající pohybu náboje, E je elektrické pole a • je Tečkovaný produkt ). The hustota energie u, za předpokladu, že není elektrický ani magnetický polarizovatelnost, darováno:^[2]

{ displaystyle u = { frac {1} {2}} left ( epsilon _ {0} mathbf {E} cdot mathbf {E} + { frac {1} { mu _ {0} }} mathbf {B} cdot mathbf {B} vpravo)}

ve kterém B je hustota magnetického toku. Za použití věta o divergenci, Poyntingovu větu lze přepsat integrální forma:

${ displaystyle - { frac { částečné} { částečné t}} int _ {V} udV =}$ ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle mathbf {S} cdot d mathbf {A} + int _ {V} mathbf {J} cdot mathbf {E} dV}$

kde ${ displaystyle částečné V !}$ je hranice svazku PROTI. Tvar svazku je libovolný, ale pro výpočet je pevný.

Elektrotechnika

v elektrotechnika kontextová věta je obvykle psána s termínem hustoty energie u rozšířen následujícími způsoby, které se podobají rovnice spojitosti:

{ displaystyle nabla cdot mathbf {S} + epsilon _ {0} mathbf {E} cdot { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}} + { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}} cdot { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} + mathbf {J} cdot mathbf {E} = 0, }

kde

ε₀ je elektrická konstanta a μ₀ je magnetická konstanta.
${ displaystyle epsilon _ {0} mathbf {E} cdot { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}}}$ je hustota reaktivní síla budování elektrického pole,
${ displaystyle { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}} cdot { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$ je hustota reaktivní síla řízení hromadění magnetického pole a
${ displaystyle mathbf {J} cdot mathbf {E}}$ je hustota elektrická energie rozptýlen Lorentzova síla působící na nosiče poplatků.

Derivace

Zatímco uchování energie a Lorentzova síla zákon může dát obecnou formu věty, Maxwellovy rovnice jsou dále povinni odvodit výraz pro Poyntingův vektor a tedy dokončit příkaz.

Poyntingova věta

Vezmeme-li v úvahu výrok ve výše uvedených slovech - existují tři prvky věty, které zahrnují zápis přenosu energie (za jednotku času) jako objemové integrály:^[3]

Od té doby u je hustota energie, integrace přes objem regionu dává celkovou energii U uložen v oblasti, pak převzetí (částečné) časové derivace dává rychlost změny energie:
${ displaystyle U = int _ {V} udV rightarrow { frac { částečné U} { částečné t}} = { frac { částečné} { částečné t}} int _ {V} udV = int _ {V} { frac { částečné u} { částečné t}} dV.}$
Energetický tok opouštějící region je povrchový integrál Poyntingova vektoru a pomocí věta o divergenci toto lze napsat jako objemový integrál:
${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle mathbf {S} cdot d mathbf {A} = int _ {V} nabla cdot mathbf {S} dV.}$
The Lorentzova síla hustota F na distribuci náboje, integrovaný přes objem, aby získal celkovou sílu F, je
${ displaystyle mathbf {f} = rho mathbf {E} + mathbf {J} times mathbf {B} rightarrow int _ {V} mathbf {f} dV = mathbf {F } = int _ {V} ( rho mathbf {E} + mathbf {J} times mathbf {B}) dV,}$
kde ρ je hustota náboje distribuce a proti své rychlost. Od té doby ${ displaystyle mathbf {J} = rho mathbf {v}}$ , míra práce vykonané silou je
${ displaystyle mathbf {F} cdot { frac {d mathbf {r}} {dt}} = mathbf {F} cdot mathbf {v} = int _ {V} ( rho mathbf {E} cdot mathbf {v} + rho mathbf {v} times mathbf {B} cdot mathbf {v}) dV rightarrow mathbf {F} cdot mathbf {v} = int _ {V} mathbf {E} cdot mathbf {J} dV.}$

Zachováním energie je tedy rovnovážná rovnice pro tok energie za jednotku času integrální formou věty:

{ displaystyle - int _ {V} { frac { částečné u} { částečné t}} dV = int _ {V} nabla cdot mathbf {S} dV + int _ {V} mathbf {J} cdot mathbf {E} dV,}

a od svazku PROTI je libovolné, to platí pro všechny svazky, z čehož vyplývá

{ displaystyle - { frac { částečné u} { částečné t}} = nabla cdot mathbf {S} + mathbf {J} cdot mathbf {E},}

což je Poyntingova věta v diferenciální formě.

Poyntingův vektor

Z věty skutečná forma Poyntingova vektoru S Může být nalezeno. Časová derivace hustoty energie (pomocí produktové pravidlo pro vektor tečkované výrobky ) je

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} = { frac {1} {2}} vlevo ( mathbf {E} cdot { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} + mathbf {D} cdot { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}} + mathbf {H} cdot { frac { částečné mathbf {B }} { částečné t}} + mathbf {B} cdot { frac { částečné mathbf {H}} { částečné t}} doprava) = mathbf {E} cdot { frac { částečný mathbf {D}} { částečný t}} + mathbf {H} cdot { frac { částečný mathbf {B}} { částečný t}},}

za použití konstitutivní vztahy^{[je zapotřebí objasnění ]}

{ displaystyle mathbf {D} = epsilon _ {0} mathbf {E}, quad mathbf {H} = { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}}}

Částečné časové derivace naznačují použití dvou z Maxwellovy rovnice. Užívání Tečkovaný produkt z Maxwellova – Faradayova rovnice s H:

{ displaystyle { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} = - nabla times mathbf {E} rightarrow mathbf {H} cdot { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} = - mathbf {H} cdot nabla times mathbf {E},}

dále vezmeme tečkový součin Maxwellova – Ampereova rovnice s E:

{ displaystyle { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} + mathbf {J} = nabla times mathbf {H} rightarrow mathbf {E} cdot { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} + mathbf {E} cdot mathbf {J} = mathbf {E} cdot nabla times mathbf {H}.}

Shromáždění dosavadních výsledků dává:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} - nabla cdot mathbf {S} & = { frac { částečné u} { částečné t}} + mathbf {J} cdot mathbf {E} & = left ( mathbf {H} cdot { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} + mathbf {E} cdot { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} pravé) + mathbf {J} cdot mathbf {E} & = mathbf {E} cdot nabla times mathbf {H} - mathbf {H} cdot nabla times mathbf {E}, end {zarovnáno}}}

poté pomocí vektorová identita kalkulu:

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf {E} times mathbf {H}) = mathbf {H} cdot ( nabla times mathbf {E}) - mathbf {E} cdot ( nabla times mathbf {H}),}

dává výraz pro Poyntingův vektor:

{ displaystyle mathbf {S} = mathbf {E} krát mathbf {H},}

což fyzicky znamená přenos energie v důsledku časově proměnných elektrických a magnetických polí, je kolmý na pole

Poyntingův vektor v makroskopických médiích

V makroskopickém médiu jsou elektromagnetické efekty popsány prostorově zprůměrovanými (makroskopickými) poli. Poyntingův vektor v makroskopickém médiu lze definovat samostatně s mikroskopickou teorií takovým způsobem, že prostorově zprůměrovaný mikroskopický Poyntingův vektor je přesně předpovězen makroskopickým formalismem. Tento výsledek je přísně platný v mezích nízkých ztrát a umožňuje jednoznačnou identifikaci Poyntingovy vektorové formy v makroskopické elektrodynamice.^[4]^[5]

Alternativní formy

Je možné odvodit alternativní verze Poyntingovy věty.^[6] Místo vektoru toku E × B jak je uvedeno výše, je možné použít stejný styl odvození, ale místo toho zvolit Abrahamovu formu E × H, Minkowski formulář D × Bnebo možná D × H. Každá volba představuje odpověď propagačního média svým vlastním způsobem: E × B výše uvedený formulář má tu vlastnost, že k odezvě dochází pouze v důsledku elektrických proudů, zatímco D × H pouze forma používá (fiktivní) magnetický monopol proudy. Další dvě formy (Abraham a Minkowski) používají doplňkové kombinace elektrických a magnetických proudů k reprezentaci polarizačních a magnetizačních reakcí média.

Zobecnění

The mechanické energetický protějšek výše uvedené věty pro elektromagnetické rovnice energetické kontinuity je

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} u_ {m} ( mathbf {r}, t) + nabla cdot mathbf {S} _ {m} ( mathbf {r}, t) = mathbf {J} ( mathbf {r}, t) cdot mathbf {E} ( mathbf {r}, t),}

kde u_m je (mechanický) Kinetická energie hustota v systému. Lze jej popsat jako součet kinetických energií částic α (např. elektrony ve drátu), jejichž trajektorie darováno r_α(t):

{ displaystyle u_ {m} ( mathbf {r}, t) = sum _ { alpha} { frac {m _ { alpha}} {2}} { dot {r}} _ { alpha} ^ {2} delta ( mathbf {r} - mathbf {r} _ { alpha} (t)),}

kde S_m je tok jejich energií nebo „mechanický Poyntingův vektor“:

{ displaystyle mathbf {S} _ {m} ( mathbf {r}, t) = součet _ { alpha} { frac {m _ { alpha}} {2}} { dot {r}} _ { alpha} ^ {2} { dot { mathbf {r}}} _ { alpha} delta ( mathbf {r} - mathbf {r} _ { alpha} (t)).}

Oba lze kombinovat pomocí Lorentzova síla, které elektromagnetické pole působí na pohybující se nabité částice (viz výše), na následující energii rovnice spojitosti nebo energie zákon o ochraně přírody:^[7]

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vlevo (u_ {e} + u_ {m} vpravo) + nabla cdot vlevo ( mathbf {S} _ {e} + mathbf {S} _ {m} right) = 0,}

pokrývající oba druhy energie a přeměnu jedné na druhou.

Reference

^ Poynting, J. H. (prosinec 1884). „O přenosu energie v elektromagnetickém poli“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 175: 343–361. doi:10.1098 / rstl.1884.0016.
^ Griffiths, David J. Úvod do elektrodynamiky. Prentice Hall, 1981, 1. vydání, ISBN 013481374X; 4. vydání, 2017
^ Úvod do elektrodynamiky (3. vydání), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, s. 364, ISBN 81-7758-293-3
^ Silveirinha, M. G. (2010). "Poyntingův vektor, rychlost ohřevu a akumulovaná energie ve strukturovaných materiálech: odvození prvních principů". Phys. Rev. B. 82: 037104. doi:10.1103 / physrevb.82.037104.
^ Costa, J. T., M. G. Silveirinha, A. Alù (2011). "Poyntingův vektor v metamateriálech s negativním indexem". Phys. Rev. B. 83: 165120. doi:10.1103 / fyzrevb.83.165120.
^ Kinsler, P .; Favaro, A .; McCall M.W. (2009). „Čtyři Poyntingovy věty“ (PDF). European Journal of Physics. 30 (5): 983. arXiv:0908.1721. Bibcode:2009EJPh ... 30..983K. doi:10.1088/0143-0807/30/5/007.
^ Richter, E .; Florian, M .; Henneberger, K. (2008). „Poyntingova věta a úspora energie při šíření světla v ohraničeném médiu“. Europhysics Letters. 81 (6): 67005. arXiv:0710.0515. Bibcode:2008EL ..... 8167005R. doi:10.1209/0295-5075/81/67005.

externí odkazy

Eric W. Weisstein „Poyntingova věta“ z ScienceWorld - webový zdroj Wolfram.

[Poynting-1] Poynting, J. H. (prosinec 1884). „O přenosu energie v elektromagnetickém poli“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 175: 343–361. doi:10.1098 / rstl.1884.0016.

[2] Griffiths, David J. Úvod do elektrodynamiky. Prentice Hall, 1981, 1. vydání, ISBN 013481374X; 4. vydání, 2017

[Electrodynamics_2007,_p.364-3] Úvod do elektrodynamiky (3. vydání), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, s. 364, ISBN 81-7758-293-3

[Poynting_first_principles-4] Silveirinha, M. G. (2010). "Poyntingův vektor, rychlost ohřevu a akumulovaná energie ve strukturovaných materiálech: odvození prvních principů". Phys. Rev. B. 82: 037104. doi:10.1103 / physrevb.82.037104.

[5] Costa, J. T., M. G. Silveirinha, A. Alù (2011). "Poyntingův vektor v metamateriálech s negativním indexem". Phys. Rev. B. 83: 165120. doi:10.1103 / fyzrevb.83.165120.

[kinslerfavaromccall-6] Kinsler, P .; Favaro, A .; McCall M.W. (2009). „Čtyři Poyntingovy věty“ (PDF). European Journal of Physics. 30 (5): 983. arXiv:0908.1721. Bibcode:2009EJPh ... 30..983K. doi:10.1088/0143-0807/30/5/007.

[richter-7] Richter, E .; Florian, M .; Henneberger, K. (2008). „Poyntingova věta a úspora energie při šíření světla v ohraničeném médiu“. Europhysics Letters. 81 (6): 67005. arXiv:0710.0515. Bibcode:2008EL ..... 8167005R. doi:10.1209/0295-5075/81/67005.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]