Polynomiální chaos - Polynomial chaos

Polynomiální chaos (PC), také zvaný Rozšíření chaosu Wiener, je metoda, která nezjišťuje vývoj na základě vzorkování nejistota v dynamický systém když existuje pravděpodobnostní nejistota v parametrech systému. PC poprvé představil Norbert Wiener použitím Hermitovy polynomy modelovat stochastický procesy s Gaussian náhodný proměnné. Lze to považovat za rozšíření Volterra teorie z nelineární funkcionály pro stochastické systémy. Podle Camerona a Martina taková expanze konverguje v smysl pro libovolný stochastický proces s konečným druhým okamžikem. To platí pro většinu fyzických systémů.

Zobecněný polynomiální chaos

Xiu (během doktorátu na Karniadakis na Brown University) zobecnil výsledek Camerona – Martina na různé spojité a diskrétní distribuce pomocí ortogonální polynomy z tzv Schéma Askey a demonstroval konvergence v odpovídajícím Hilbertově funkčním prostoru. Toto je populárně známé jako zobecněný rámec polynomiálního chaosu (gPC). Rámec gPC byl aplikován na aplikace včetně stochastické dynamika tekutin, stochastické konečné prvky, pevné mechanika, nelineární odhad, hodnocení konečných efektů délky slova v nelineárních digitálních systémech s pevným bodem a pravděpodobnostní robustní ovládání. Bylo prokázáno, že metody založené na gPC jsou výpočetně lepší než Monte Carlo založené na metodách v řadě aplikací[Citace je zapotřebí ]. Metoda má však pozoruhodné omezení. U velkého počtu náhodných proměnných se polynomiální chaos stává výpočetně velmi nákladným a metody Monte-Carlo jsou obvykle proveditelnější[Citace je zapotřebí ].

Libovolný polynomiální chaos

Nedávno došlo k rozšíření chaosu zobecnění směrem k libovolnému rozšíření polynomiálního chaosu (aPC),[1] což je takzvaná data řízená generalizace PC. Stejně jako všechny techniky rozšiřování polynomiálního chaosu, iPC aproximuje závislost výstupu simulačního modelu na parametrech modelu expanzí na základě ortogonálního polynomu. APC zobecňuje techniky rozšiřování chaosu směrem k libovolným distribucím s libovolnými měřítky pravděpodobnosti, které mohou být buď diskrétní, spojité nebo diskretizované spojité a mohou být specifikovány buď analyticky (jako funkce hustoty pravděpodobnosti / kumulativní distribuční funkce), numericky jako histogram nebo jako soubory surových dat. APC v konečném expanzním řádu vyžaduje pouze existenci konečného počtu momentů a nevyžaduje úplnou znalost nebo dokonce existenci funkce hustoty pravděpodobnosti. Tím se zabrání nutnosti přiřadit parametrické rozdělení pravděpodobnosti, které není dostatečně podporováno omezenými dostupnými daty. Alternativně umožňuje modelářům svobodně si vybrat z technických omezení tvary svých statistických předpokladů. Vyšetřování naznačuje, že aPC ukazuje exponenciální konvergenční rychlost a konverguje rychleji než klasické techniky expanze polynomiálního chaosu. Tyto techniky zatím probíhají, ale jejich dopad na modely CFD je docela ovlivnitelný.

Polynomiální chaos a neúplné statistické informace

V mnoha praktických situacích jsou k dispozici pouze neúplné a nepřesné statistické znalosti o nejistých vstupních parametrech. Naštěstí pro konstrukci expanze konečného řádu je zapotřebí pouze částečné informace o míře pravděpodobnosti, kterou lze jednoduše reprezentovat konečným počtem statistických momentů. Jakékoli pořadí rozšíření je oprávněné, pouze pokud je doprovázeno spolehlivými statistickými informacemi o vstupních datech. Neúplné statistické informace tedy omezují užitečnost expanzí polynomiálního chaosu vysokého řádu[2].

Polynomiální chaos a nelineární predikce

Polynomiální chaos lze využít při predikci nelineárního funkcionáři z Gaussian stacionární přírůstek procesy podmíněné jejich minulými realizacemi [3]. Konkrétně se takové predikce získává odvozením chaosového rozšíření funkčnosti s ohledem na speciální základ pro Gaussiana Hilbertův prostor generováno procesem, který s vlastností, že každý základní prvek je měřitelný nebo nezávislý na daných vzorcích. Například tento přístup vede k jednoduchému předpovědnímu vzorci pro Frakční Brownův pohyb.

Softwarové nástroje

  • PolyChaos - sbírka numerických rutin pro ortogonální polynomy napsané v Julie programovací jazyk.
  • PoCET - bezplatný a open-source Polynomial Chaos Expansion Toolbox pro MATLAB.

Viz také

Reference

  • Wiener N. (říjen 1938). „Homogenní chaos“. American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, sv. 60, č. 4. 60 (4): 897–936. doi:10.2307/2371268. JSTOR  2371268. (originální papír)
  • Cameron, R. H .; Martin, W. T. (1944). "Transformace integrálů Wiener v rámci překladů". Annals of Mathematics. 45 (2): 386–396. doi:10.2307/1969276. JSTOR  1969276.
  • D. Xiu, Numerické metody pro stochastické výpočty: přístup spektrální metody Princeton University Press, 2010. ISBN  978-0-691-14212-8
  • Ghanem, R. a Spanos, P., Stochastické konečné prvky: spektrální přístup, Springer Verlag, 1991. (znovu vydáno Dover Publications, 2004.)
  • L. Esteban J. A. Lopez, E. Sedano, S. Hernandez-Montero a M. Sanchez „Kvantizační analýza infračerveného interferometru Stellarator TJ-II pro jeho optimalizovanou implementaci založenou na FPGA“. Transakce IEEE na jadernou vědu, sv. 60. vydání: 5 (3592-3596) 2013.
  • Bin Wu, Jianwen Zhu, Farid N. Najm. „Neparametrický přístup pro odhad dynamického rozsahu nelineárních systémů“. In Proceedings of Design Automation Conference (841–844) 2005
  • Bin Wu, Jianwen Zhu, Farid N. Najm „Odhad dynamického rozsahu“. Transakce IEEE na počítačově podporovaném návrhu integrovaných obvodů a systémů, sv. 25. vydání: 9 (1618–1636) 2006
  • Bin Wu, „Statisticky optimální rámec makromodelů s aplikací v analýze variací procesů zařízení MEMS“ IEEE 10. mezinárodní konference o nových obvodech a systémech (NEWCAS-12) červen 2012
  • K. Sepahvand, S. Marburg a H.-J. Hardtke, Kvantifikace nejistoty ve stochastických systémech pomocí expanze polynomiálního chaosu, International Journal of Applied Mechanics, sv. 2, č. 2, str. 305–353, 2010.
  • Nelineární odhad hypersonických státních trajektorií v Bayesiánském rámci s polynomiálním chaosem - P. Dutta, R. Bhattacharya, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, sv. 33 č. 6 (1765–1778).
  • Optimální generování trajektorie s pravděpodobností nejistoty systému pomocí polynomiálního chaosu - J. Fisher, R. Bhattacharya, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, svazek 133, 1. vydání.
  • Lineární kvadratická regulace systémů se stochastickými nejistotami parametrů - J. Fisher, R. Bhattacharya, Automatica, 2009.
  • E. Blanchard, A. Sandu a C. Sandu: „Metody odhadu parametrů na základě polynomiálního chaosu pro systémy vozidel“. Journal of Multi-body dynamics, v tisku, 2009.
  • H. Cheng a A. Sandu: „Kvantifikace efektivní nejistoty metodou polynomiálního chaosu pro tuhé systémy“. Počítače a matematika s aplikacemi, VOl. 79, číslo 11, str. 3278–3295, 2009.
  • Peccati, G. a Taqqu, M.S., 2011, Wiener Chaos: Momenty, kumulanty a diagramy: Průzkum s počítačovou implementací. Springer Verlag.
  • Série Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials: Lecture Notes in Statistics, Vol. 146, Schoutens, Wim, 2000, XIII, 184 s., Měkká vazba ISBN  978-0-387-95015-0
  • Oladyshkin, S. a W. Nowak. Kvantifikace nejistoty na základě dat pomocí libovolného rozšíření polynomiálního chaosu. Reliability Engineering & System Safety, Elsevier, V. 106, P. 179–190, 2012. DOI: 10.1016 / j.ress.2012.05.002.
  1. ^ Oladyshkin S. a Nowak W. Kvantifikace nejistoty na základě dat pomocí libovolné expanze polynomiálního chaosu. Reliability Engineering & System Safety, Elsevier, V. 106, P. 179–190, 2012. DOI: 10.1016 / j.ress.2012.05.002.
  2. ^ Oladyshkin S. a Nowak W. Neúplné statistické informace omezují užitečnost expanzí polynomiálního chaosu vysokého řádu. Reliability Engineering & System Safety, 169, pp.137-148, 2018. DOI: 10.1016 / j.ress.2012.05.002
  3. ^ Daniel Alpay a Alon Kipnis, přístup Wiener Chaosu k optimální predikci, numerická funkční analýza a optimalizace, 36:10, 1286-1306, 2015. DOI: 10.1080 / 01630563.2015.1065273