Správný ortogonální rozklad - Proper orthogonal decomposition

Správný ortogonální rozklad je a numerická metoda běžně používané v oblasti Konečný element Simulace.

Umožňuje snížit složitost výpočetní intenzivní simulace, jako je Výpočetní dynamika tekutin a Strukturální analýza (jako Crash Simulation ). Typicky v Dynamika tekutin a turbulence analýza se používá k nahrazení Navier-Stokesovy rovnice jednoduššími modely k řešení^[1].

Patří do třídy nazývaných algoritmů Snížení objednávky modelu (nebo ve zkratce Redukce modelu). V podstatě to dělá, je trénovat model založený na simulačních datech. V tomto rozsahu jej lze spojit s oborem strojové učení.

POD a PCA

Hlavní použití POD je rozložit fyzikální pole (jako tlak, teplota v dynamice tekutin nebo napětí a deformace ve strukturní analýze) v závislosti na různých proměnných, které ovlivňují jeho fyzikální chování. Jak naznačuje jeho název, provozuje ortogonální rozklad spolu s hlavními složkami pole. Jako takový je asimilován s Analýza hlavních komponent od společnosti Pearson v oblasti statistiky nebo Dekompozice singulární hodnoty v lineární algebře, protože odkazuje na vlastní čísla a vlastní vektory fyzického pole. V těchto doménách je to spojeno s výzkumem Karhunen^[2] a Loève^[3], a jejich Karhunen – Loèveova věta.

Matematické vyjádření

První myšlenka za správným ortogonálním rozkladem (POD), jak byla původně formulována v oblasti dynamiky tekutin k analýze turbulencí, je rozložit náhodné vektorové pole u (x, t) do souboru deterministických prostorových funkcí Φ_k(X) modulován náhodnými časovými koeficienty A_k(t) aby:

${ displaystyle u (x, t) = součet _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k} (t) phi _ {k} (x)}$

Snímky POD

Prvním krokem je vzorkování vektorového pole po určitou dobu v tom, co nazýváme snímky (jako zobrazení na snímku snímků POD). Tato metoda snímku^[4] je průměrování vzorků přes vesmírnou dimenzi na jejich vzájemnou korelaci s časovými vzorky str:

${ displaystyle U = { begin {pmatrix} u (x_ {1}, t_ {1}) & ... & u (x_ {n}, t_ {1}) ... && ... u (x_ {1}, t_ {p}) & ... & u (x_ {n}, t_ {p}) end {pmatrix}}}$ s n prostorové prvky a str časové vzorky

Dalším krokem je výpočet kovarianční matice C

${ displaystyle C = { frac {1} {(p-1)}} U ^ {T} U}$

Poté vypočítáme vlastní čísla a vlastní vektory C a uspořádáme je od největšího vlastního čísla po nejmenší.

Získáme n vlastních čísel λ1 ... λn a sadu n vlastních vektorů uspořádaných jako sloupce v matici n × n Φ:

${ displaystyle phi = { begin {pmatrix} phi _ {1,1} & ... & phi _ {1, n} ... && ... phi _ {n, 1} & ... & phi _ {n, n} end {pmatrix}}}$

Kurzy POD

• MIT: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf
• Stanfordská univerzita - Charbel Farhat a David Amsallem https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
• Weiss, Julien: Výukový program pro správný ortogonální rozklad. In: 2019 AIAA Aviation Forum. 17. – 21. Června 2019, Dallas, Texas, Spojené státy.
• Kurz francouzštiny od CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
• Aplikace správné metody ortogonálního rozkladu http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf

Reference