Rovinná přepážka představovaná jako hromady jednotkových kostek
v matematika a zejména v kombinatorika, a rovinná přepážka je dvourozměrné pole nezáporných celých čísel
(s pozitivní celé číslo indexy i a j), který se v obou indexech nezvyšuje. Tohle znamená tamto
a
pro všechny i a j.
Navíc jen konečně mnoho z
jsou nenulové. Rovinné oddíly mohou být vizuálně znázorněny umístěním stohu
jednotkové kostky nad bodem (i, j) v rovině, což dává trojrozměrné těleso, jak je znázorněno na obrázku.
The součet rovinné přepážky je

Součet popisuje počet kostek, z nichž se skládá rovinná přepážka. Počet rovinných oddílů se součtem n je označeno PL (n).
Například existuje šest rovinných oddílů se součtem 3:

takže PL (3) = 6. (Zde jsou rovinné oddíly nakresleny pomocí maticové indexování pro souřadnice a položky rovné 0 jsou kvůli čitelnosti potlačeny.) Let
je celkový počet rovinných oddílů, ve kterých r je počet řádků, které se nerovnají nule, s je počet sloupců, které jsou nenulové, a t je největší celé číslo matice. Rovinné oddíly jsou často popsány polohami jednotkové kostky. Rovinný oddíl je proto definován jako konečná podmnožina
kladných celočíselných mřížkových bodů (i, j, k) v
, takže pokud (r, s, t) leží v
a pokud (i, j, k) splňuje
,
a
, pak (i, j, k) také leží v
.

Generující funkce rovinných oddílů
Výsledkem Percy A. MacMahon, generující funkce pro PL (n) darováno
[1]
Toto se někdy označuje jako Funkce MacMahon.
Tento vzorec lze chápat jako 2-dimenzionální analog Euler je vzorec produktu pro počet celočíselné oddíly z n. Pro oddíly ve vyšších dimenzích (tj. Pro pevné oddíly ).[2] Asymptotiku rovinných přepážek zpracoval E. M. Wright.[3] Jeden získá pro velké
:

Zde byla opravena typografická chyba (ve Wrightově článku), na kterou upozornili Mutafchiev a Kamenov.[4] Hodnocení číselného výnosu

Kolem roku 1896 Percy A. MacMahon nastavit generovací funkci rovinných oddílů, které jsou podmnožinami
ve svém prvním příspěvku o rovinných přepážkách.[5] Vzorec je dán vztahem

Důkaz tohoto vzorce lze najít v knize Kombinovaná analýza napsal Percy A. MacMahon.[6] Percy A. MacMahon také zmiňuje ve své knize Kombinovaná analýza generující funkce rovinných oddílů v článku 429.[7] Vzorec pro generovací funkci lze zapsat alternativním způsobem, který je dán vztahem

Nastavení q = 1 ve vzorcích uvedených výše

Percy A. MacMahon zjistil, že celkový počet rovinných oddílů v
darováno
.[8] Rovinný případ (kdy t = 1) získá binomické koeficienty:

Ferrersovy diagramy pro rovinné oddíly
Další reprezentace rovinných oddílů je ve formě Ferrers diagramy. The Ferrersův diagram rovinné přepážky
je sbírka
body nebo uzly,
, s
splňující podmínku:[9]
- Stav FD: Pokud uzel
, pak udělejte všechny uzly
s
pro všechny
.
Nahrazení každého uzlu rovinné přepážky jednotkovou kostkou s hranami zarovnanými s osami vede k hromádka kostek reprezentace rovinné přepážky.
Rovnocennost obou reprezentací
Vzhledem k Ferrersovu diagramu se vytvoří rovinný oddíl (jako v hlavní definici) následovně.
- Nechat
je počet uzlů v Ferrersově diagramu se souřadnicemi formuláře
kde
označuje libovolnou hodnotu. Sbírka
tvoří rovinnou přepážku. Lze ověřit, že podmínka FD znamená, že jsou splněny podmínky pro rovinnou přepážku.
Vzhledem k souboru
které tvoří rovinnou přepážku, získá se odpovídající Ferrersův diagram následujícím způsobem.
- Začněte s Ferrersovým diagramem bez uzlů. Za každou nenulovou
, přidat
uzly formuláře
pro
do Ferrersova diagramu. Podle konstrukce je snadné vidět, že podmínka FD je splněna.
Například níže jsou zobrazeny dvě reprezentace rovinných oddílů 5.
