Permutační vzor - Permutation pattern

v kombinatorická matematika a teoretická informatika, a permutační vzor je sub-permutace delšího permutace. Může být napsána jakákoli obměna jednorázová notace jako posloupnost číslic představujících výsledek aplikace permutace na posloupnost číslic 123 ...; například číslicová sekvence 213 představuje permutaci na třech prvcích, které zaměňují prvky 1 a 2. Jsou-li π a σ dvě takto znázorněné permutace (tyto názvy proměnných jsou pro permutace standardní a nesouvisí s počtem pi ), pak se říká π obsahovat σ jako a vzor jestliže nějaká posloupnost číslic π má stejné relativní pořadí jako všechny číslice σ.

Například permutace π obsahuje vzor 213, kdykoli π má tři číslice X, y, a z které se objevují v rámci π v pořadí X...y...z ale jejichž hodnoty jsou seřazeny jako y < X < z, stejné jako uspořádání hodnot v permutaci 213. Permutace 32415 na pěti prvcích obsahuje 213 jako vzor několika různými způsoby: 3 ·· 15, ·· 415, 32 ·· 5, 324 ··, a · 2 · 15 vše tvoří trojčíslí se stejným uspořádáním jako 213. Každá z subsekcí 315, 415, 325, 324 a 215 se nazývá a kopírovat, instance, nebo výskyt vzoru. Skutečnost, že π obsahuje σ, je napsána výstižněji jako σ ≤ π. Pokud permutace π neobsahuje vzor σ, říká se o π vyhýbat se σ. Permutace 51342 se vyhýbá 213; má 10 subsekvencí se třemi číslicemi, ale žádná z těchto 10 subsekvencí nemá stejné pořadí jako 213.

Časné výsledky

Lze učinit případ Percy MacMahon  (1915 ) byl první, kdo prokázal výsledek v oboru studiem „mřížkových permutací“.[1] MacMahon zejména ukazuje, že permutace, které lze rozdělit na dvě klesající subsekvence (tj. Permutace vyhýbající se 123), se počítají Katalánská čísla.[2]

Dalším časným mezníkem v poli je Erdős – Szekeresova věta; v permutačním vzorovém jazyce věta uvádí, že pro všechna kladná celá čísla A a b minimálně každá permutace délky musí obsahovat buď vzor nebo vzor .

Počátky informatiky

Studium permutačních vzorců začalo vážně s Donald Knuth je zvážení třídění zásobníku v roce 1968.[3] Knuth ukázal, že permutaci π lze třídit podle a zásobník právě tehdy, když π se vyhne 231 a že permutace se zařazením do zásobníku jsou vyjmenovány pomocí Katalánská čísla.[4] Knuth také vznesl otázky ohledně třídění s deques. Zejména otázka Knutha, která se ptá, kolik permutací n prvky lze získat pomocí deque zůstává otevřený.[5] Krátce poté, Robert Tarjan  (1972 ) zkoumáno třídění podle sítí komínů,[6] zatímco Vaughan Pratt  (1973 ) ukázal, že permutaci π lze třídit podle deque právě tehdy, když pro všechny k, π vyhýbá se 5,2,7,4, ..., 4k+1,4k−2,3,4k, 1 a 5,2,7,4, ..., 4k+3,4k,1,4k+2,3 a každá permutace, kterou lze získat z kteréhokoli z nich záměnou posledních dvou prvků nebo 1 a 2.[7] Protože tato kolekce permutací je nekonečná (ve skutečnosti se jedná o první publikovaný příklad nekonečna antichain permutací), není okamžitě jasné, jak dlouho trvá rozhodnout, zda lze permutaci třídit podle deque. Rosenstiehl & Tarjan (1984) později představil lineární (v délce π) časový algoritmus, který určuje, zda lze π řadit podle deque.[8]

Ve svém příspěvku Pratt poznamenal, že toto pořadí permutačních vzorů „se zdá být jediným částečným řádem permutace, který vzniká jednoduchým a přirozeným způsobem“, a uzavírá tím, že „z abstraktního hlediska“ je pořadí permutačních vzorů „ ještě zajímavější než sítě, které jsme charakterizovali “.[7]

Enumerativní počátky

Hlavní článek: Výčty konkrétních permutačních tříd

Prominentním cílem při studiu permutačních vzorů je výčet permutací, které se vyhýbají fixní (a obvykle krátké) permutaci nebo sadě permutací. Nechat Avn(B) označuje množinu permutací délky n které se vyhýbají všem permutacím v sadě B (v případě B je singleton, řekněme β, zkratka AvnMísto toho se používá (β). Jak je uvedeno výše, MacMahon a Knuth ukázali, že |Avn(123)| = |Avn(231)| = Cn, nth katalánské číslo. Jsou tedy izomorfní kombinatorické třídy.

Simion & Schmidt (1985) byl prvním příspěvkem, který se zaměřil pouze na výčet. Mimo jiné počítali Simion a Schmidt sudé a liché permutace vyhýbání se vzoru délky tři, počítání permutací vyhýbání dva vzory délky tři, a poskytl první bijektivní důkaz, že permutace vyhýbající se 123 a 231 jsou rovnocenné.[9] Od jejich příspěvku bylo dáno mnoho dalších bijekcí, viz Claesson & Kitaev (2008) pro průzkum.[10]

Obecně, pokud |Avn(β) | = |Avn(σ) | pro všechny n, pak se říká, že β a σ jsou Wilf-ekvivalent. Mnoho Wilfových ekvivalentů vyplývá z triviálního faktu, že |Avn(β) | = |Avn(β−1)| = |Avn(βrev) | pro všechny n, kde β-1 označuje inverzní β a βrev označuje opak β. (Tyto dvě operace generují Vzepětí skupina D8 s přirozeným působením na permutační matice.) Existuje však také řada příkladů netriviálních Wilfových ekvivalentů (například mezi 123 a 231):

Z těchto dvou Wilfových ekvivalentů a inverzní a reverzní symetrie vyplývá, že existují tři různé sekvence |Avn(β) | kde β má délku čtyři:

βvýčet sekvence Avn(β)OEIS odkazpřesný odkaz na výčet
 1342 1, 2, 6, 23, 103, 512, 2740, 15485, 91245, 555662, ...A022558Bóna (1997)[14]
 1234 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, 94359, 586590, ...A005802Gessel (1990)[15]
 1324 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2762, 15793, 94776, 591950, ...A061552bez výčtu

Na konci 80. let Richard Stanley a Herbert Wilf domníval se, že pro každou permutaci β existuje nějaká konstanta K. takové, že |Avn(β) | < K.n. Toto bylo známé jako Domněnka Stanleyho a Wilfa dokud to nebylo prokázáno Adam Marcus a Gábor Tardos.[16]

Uzavřené třídy

Hlavní článek: Permutační třída

A uzavřená třída, také známý jako a třída vzoru, permutační třídanebo jednoduše třída permutací je a rozrušený v pořadí permutačních vzorů. Každá třída může být definována minimálními obměnami, které v ní neleží základ. Základem pro permutace s možností řazení do zásobníku je tedy {231}, zatímco základ pro permutace s možností řazení do fronty je nekonečný. The generující funkce pro třídu je Σ x| π | kde součet převezme všechny permutace π ve třídě.

Möbiova funkce

Vzhledem k tomu, že soubor permutací v rámci příkazu k zadržení obsahuje a poset je přirozené se na to zeptat Möbiova funkce, cíl poprvé výslovně předložený Wilf (2002).[17]Cílem těchto výzkumů je najít vzorec pro Möbiovu funkci intervalu [σ, π] v posetu permutačního vzoru, který je účinnější než naivní rekurzivní definice. První takový výsledek stanovil Sagan a Vatter (2006), který dal vzorec pro Möbiovu funkci intervalu vrstvené permutace.[18]Později, Burstein a kol. (2011) zobecnil tento výsledek na intervaly oddělitelné obměny.[19]

Je známo, že asymptoticky alespoň 39,95% všech permutací π délky n uspokojit μ (1, π) = 0 (tj. hlavní Möbiova funkce se rovná nule)[20], ale pro každého n existují permutace π takové, že μ (1, π) je exponenciální funkcí n[21].

Výpočetní složitost

Vzhledem k obměně (volal text) délky a další permutace délky (volal vzor), shoda permutačních vzorů (PPM) problém se ptá, zda je obsažen v . Když obojí a jsou považovány za proměnné, o problému je známo, že je NP-kompletní a problém spočítat počet takových shod je # P-kompletní.[22] PPM však lze vyřešit v lineární čas když k je konstanta. Opravdu, Guillemot a Marx[23] ukázal, že PPM lze vyřešit včas , což znamená, že je fixovatelný parametr s ohledem na .

Podle průzkumu Brunera a Lacknera existuje několik variant problému PPM.[24] Například pokud je požadováno, aby se shoda skládala ze souvislých záznamů, lze problém vyřešit v polynomiálním čase.[25]

Další variantou je situace, kdy jsou vzor i text omezeny na správnou třídu permutací , v takovém případě se problém nazývá -PPM. Například Guillemot a Vialette[26] to ukázal -PPM lze vyřešit v čas. Albert, Lackner, Lackner a Vatter[27] později to snížil na a ukázal, že stejné vázané platí pro třídu šikmé sloučené permutace. Dále se zeptali, zda -PPM problém lze vyřešit v polynomiálním čase pro každou pevnou třídu správné permutace .

Hustoty balení

Permutace π se říká β-optimální pokud žádná permutace stejné délky jako π nemá více kopií β. Ve svém projevu na zasedání SIAM o diskrétní matematice v roce 1992 Wilf definoval hustota balení permutace β délky k tak jako

Nepublikovaný argument Fred Galvin ukazuje, že množství uvnitř omezit se nezvyšuje pro n ≥ k, a tak limit existuje. Když β je monotónní, jeho hustota balení je jasně 1 a hustoty balení jsou neměnné ve skupině symetrií generovaných inverzní a reverzní, takže pro permutace délky tři existuje pouze jedna netriviální hustota balení. Walter Stromquist (nepublikovaný) vyřešil tento případ tím, že ukázal, že hustota balení 132 je 2√3 - 3, přibližně 0,46410.

U permutací β délky čtyři existuje (kvůli symetrii) sedm případů, které je třeba vzít v úvahu:

βhustota baleníodkaz
 1234 1triviální
 1432 kořen X3 − 12X2 + 156X − 64 ≅ 0.42357Cena (1997)[28]
 2143 ⅜ = 0.375Cena (1997)[28]
 1243 ⅜ = 0.375Albert a kol. (2002)[29]
 1324 Předpokládá se ≅ 0,244
 1342 Předpokládá se ≅ 0,19658
 2413 Předpokládá se ≅ 0,10474

Pro tři neznámé permutace existují hranice a domněnky. Cena (1997) použil aproximační algoritmus, který naznačuje, že hustota balení 1324 je kolem 0,244.[28] Birzhan Batkeyev (nepublikovaný) zkonstruoval rodinu permutací, které ukazují, že hustota balení 1342 je přinejmenším produktem hustoty balení 132 a 1432, přibližně 0,19658. Předpokládá se, že jde o přesnou hustotu balení 1342. Presutti & Stromquist (2010) za předpokladu dolní meze hustoty náplně 2413. Tato dolní mez, která může být vyjádřena jako integrál, je přibližně 0,10474 a předpokládá se, že je skutečnou hustotou náplně.[30]

Supervzorky

Hlavní článek: Superpattern

A k-supervzor je permutace, která obsahuje všechny permutace délky k. Například 25314 je 3-superpattern, protože obsahuje všech 6 permutací délky 3. Je známo, že k-superpatterns musí mít délku alespoň k2/E2, kde E ≈ 2,71828 je Eulerovo číslo,[31] a že existují k-vzorky délky ⌈ (k2 + 1)/2⌉.[32]Tato horní hranice je považována za nejlepší možnou, a to až do podmínek nižšího řádu.[33]

Zobecnění

Existuje několik způsobů, jak se pojem „vzor“ zobecnil. Například a vinkulární vzor je permutace obsahující pomlčky označující položky, které se nemusí vyskytovat postupně (v definici normálního vzoru se žádné položky nemusí vyskytovat postupně). Například permutace 314265 má dvě kopie přerušovaného vzoru 2-31-4, dané položkami 3426 a 3425. U přerušovaného vzoru β a jakékoli permutace π zapíšeme β (π) pro počet kopií β v π. Počet inverzí v π je tedy 2-1 (π), zatímco počet sestupů je 21 (π). Jít dále, počet údolí v π je 213 (π) + 312 (π), zatímco počet vrcholy je 231 (π) + 132 (π). Tyto vzory byly zavedeny Babson & Steingrímsson (2000), který ukázal, že téměř všichni známí Mahonské statistiky lze vyjádřit jako vinkulární permutace.[34] Například Hlavní index π se rovná 1-32 (π) + 2-31 (π) + 3-21 (π) + 21 (π).

Další zobecnění je to a promlčený vzor, ve kterém jsou některé položky blokovány. Aby se π vyhnulo promlčenému vzoru β znamená, že každá sada položek π, která tvoří kopii nonbared položek β, může být rozšířena tak, aby vytvořila kopii všech položek β. West (1993) představil tyto typy vzorů ve své studii permutací, které lze třídit tak, že je dvakrát projdeme hromádkou.[35] (Všimněte si, že Westova definice třídění dvakrát přes hromádku není stejná jako třídění se dvěma hromádkami v sérii.) Další příklad zamlčených vzorů se vyskytuje v práci Bousquet-Mélou & Butler (2007), který ukázal, že Odrůda Schubert odpovídající π je místně faktoriál právě když π se vyhne 1324 a 21354.[36]

Reference

  1. ^ MacMahon, Percy A. (1915), Kombinovaná analýza, Londýn: Cambridge University Press, svazek I, oddíl III, kapitola V.
  2. ^ MacMahon (1915), Položky 97 a 98.
  3. ^ Knuth, Donald E. (1968), Umění počítačového programování sv. 1, Boston: Addison-Wesley, ISBN  0-201-89683-4, PAN  0286317, OCLC  155842391..
  4. ^ Knuth (1968), Oddíl 2.2.1, Cvičení 4 a 5.
  5. ^ Knuth (1968), Sekce 2.2.1, Cvičení 13, hodnotilo M49 v prvním tisku a M48 v druhém.
  6. ^ Tarjan, Robert (1972), "Řazení pomocí sítí front a zásobníků", Deník ACM, 19 (2): 341–346, doi:10.1145/321694.321704, PAN  0298803, S2CID  13608929.
  7. ^ A b Pratt, Vaughan R. (1973), "Výpočet permutací s dvojitě zakončenými frontami. Paralelní komíny a paralelní fronty", Proc. Páté výroční ACM symposium o teorii práce na počítači (Austin, Tex., 1973), str. 268–277, doi:10.1145/800125.804058, PAN  0489115, S2CID  15740957.
  8. ^ Rosenstiehl, Pierre; Tarjan, Robert (1984), „Gaussovy kódy, rovinné hamiltonovské grafy a permutace s možností řazení do zásobníku“, Journal of Algorithms, 5 (3): 375–390, doi:10.1016 / 0196-6774 (84) 90018-X, PAN  0756164.
  9. ^ Simion, Rodica; Schmidt, Frank W. (1985), „Omezené permutace“, European Journal of Combinatorics, 6 (4): 383–406, doi:10.1016 / s0195-6698 (85) 80052-4, PAN  0829358.
  10. ^ Claesson, Anders; Kitaev, Sergey (2008), „Klasifikace překážek mezi 321 a 132 - vyhýbání se permutacím“ (PDF), Seminář Lotharingien de Combinatoire, 60: B60d, arXiv:0805.1325, Bibcode:2008arXiv0805.1325C, PAN  2465405.
  11. ^ Stanková, Zvezdelina (1994), „Zakázané subsekvence“, Diskrétní matematika, 132 (1–3): 291–316, doi:10.1016 / 0012-365X (94) 90242-9, PAN  1297387.
  12. ^ Stanková, Zvezdelina; West, Julian (2002), „Nová třída Wilf-ekvivalentních permutací“, Journal of Algebraic Combinatorics, 15 (3): 271–290, arXiv:matematika / 0103152, doi:10.1023 / A: 1015016625432, PAN  1900628, S2CID  13921676.
  13. ^ Backelin, Jörgen; West, Juliane; Xin, Guoce (2007), „Wilfova ekvivalence pro jednotlivé třídy“, Pokroky v aplikované matematice, 38 (2): 133–149, doi:10.1016 / j.aam.2004.11.006, PAN  2290807.
  14. ^ Bóna, Miklósi (1997), „Přesný výčet 1342 vyhýbajících se permutací: úzké spojení se značenými stromy a rovinnými mapami“, Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 80 (2): 257–272, arXiv:matematika / 9702223, Bibcode:1997math ...... 2223B, doi:10.1006 / jcta.1997.2800, PAN  1485138, S2CID  18352890.
  15. ^ Gessel, Ira M. (1990), „Symetrické funkce a P-rekurzivita ", Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 53 (2): 257–285, doi:10.1016 / 0097-3165 (90) 90060-A, PAN  1041448.
  16. ^ Marcus, Adam; Tardos, Gábor (2004), „Vyloučené permutační matice a hypotéza Stanley-Wilf“, Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 107 (1): 153–160, doi:10.1016 / j.jcta.2004.04.002, PAN  2063960.
  17. ^ Wilf, Herbert (2002), „Patterns of permutations“, Diskrétní matematika, 257 (2): 575–583, doi:10.1016 / S0012-365X (02) 00515-0, PAN  1935750.
  18. ^ Sagan, Bruce; Vatter, Vince (2006), „Möbiova funkce kompoziční posety“, Journal of Algebraic Combinatorics, 24 (2): 117–136, arXiv:matematika / 0507485, doi:10.1007 / s10801-006-0017-4, PAN  2259013, S2CID  11283347.
  19. ^ Burstein, Alexander; Jelínek, Vit; Jelínková, Eva; Steingrimsson, Einar (2011), „Möbiova funkce oddělitelných a rozložitelných permutací“, Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 118 (1): 2346–2364, doi:10.1016 / j.jcta.2011.06.002, PAN  2834180, S2CID  13978488.
  20. ^ Brignall, Robert; Jelínek, Vit; Kynčl, Jan; Marchant, David (2019), „Nuly Möbiovy funkce permutací“ (PDF), Mathematika, 65 (4): 1074–1092, doi:10.1112 / S0025579319000251, PAN  3992365, S2CID  53366318
  21. ^ Marchant, David (2020), „permutace balónů 2413 a růst Möbiovy funkce“, Electronic Journal of Combinatorics, 27 (1): P1,7, doi:10.37236/8554
  22. ^ Bose, Prosenjit; Buss, Jonathan F .; Lubiw, Anna (Březen 1998), "Porovnávání vzorů pro permutace", Dopisy o zpracování informací, 65 (5): 277–283, doi:10.1016 / S0020-0190 (97) 00209-3
  23. ^ Guillemot, Sylvain; Marx, Daniel (2014). "Hledání malých vzorů v permutacích v lineárním čase". Sborník z dvacátého pátého výročního sympozia ACM-SIAM o diskrétních algoritmech: 20. arXiv:1307.3073. doi:10.1137/1.9781611973402.7. ISBN  978-1-61197-338-9. S2CID  1846959.
  24. ^ Bruner, Marie-Louise; Lackner, Martin (2013), „Výpočetní krajina permutačních vzorů“, Čistá matematika a aplikace, 24 (2): 83–101, arXiv:1301.0340, Bibcode:2013arXiv1301.0340B
  25. ^ Kubica, M .; Kulczyński, T .; Radoszewski, J .; Rytter, W .; Waleń, T. (2013), „Lineární časový algoritmus pro postupné porovnávání permutačních vzorů“, Dopisy o zpracování informací, 113 (12): 430–433, doi:10.1016 / j.ipl.2013.03.015
  26. ^ Guillemot, Sylvain; Vialette, Stéphane (2009), „Matching for 321-avoiding permutations“, Algoritmy a výpočet, Přednášky v informatice, 5878, str. 1064–1073, arXiv:1511.01770, doi:10.1007/978-3-642-10631-6_107
  27. ^ Albert, Michael; Lackner, Marie-Louise; Lackner, Martin; Vatter, Vincent (2016), „The complexity of pattern matching for 321-avoiding and skew-merged permutations“, Diskrétní matematika a teoretická informatika, 18 (2), arXiv:1510.06051, Bibcode:2015arXiv151006051A
  28. ^ A b C Cena, Alkes (1997), Hustoty balení vrstvených vzorů, Ph.D. práce, University of Pennsylvania.
  29. ^ Albert, Michael H.; Atkinson, M. D .; Handley, C. C .; Holton, D. A .; Stromquist, W. (2002), „O hustotách balení permutací“, Electronic Journal of Combinatorics, 9: Výzkumný článek 5, 20 stran, doi:10.37236/1622, PAN  1887086.
  30. ^ Presutti, Cathleen Battiste; Stromquist, Walter (2010), „Balicí míry opatření a domněnka hustoty balení 2413“, Linton, Steve; Ruškuc, Nik; Vatter, Vincent (eds.), Permutační vzory, London Math. Soc. Poznámky z přednášky, 376, Cambridge University Press, s. 287–316, doi:10.1017 / CBO9780511902499.015.
  31. ^ Arratia, Richard (1999), „O hypotéze Stanley-Wilf o počtu permutací, které se vyhýbají danému vzoru“, Electronic Journal of Combinatorics, 6: N1, doi:10.37236/1477, PAN  1710623.
  32. ^ Engen, Michael; Vatter, Vincent (2019), Obsahuje všechny permutace, arXiv:1810.08252, Bibcode:2018arXiv181008252E.
  33. ^ Eriksson, Henrik; Eriksson, Kimmo; Linusson, Svante; Wästlund, Johan (2007), „Husté balení vzorů v permutaci“, Annals of Combinatorics, 11 (3–4): 459–470, doi:10.1007 / s00026-007-0329-7, PAN  2376116, S2CID  2021533.
  34. ^ Babson, Erik; Steingrímsson, Einar (2000), „Zobecněné permutační vzorce a klasifikace mahonských statistik“, Seminář Lotharingien de Combinatoire, 44: Výzkumný článek B44b, 18 pp, PAN  1758852.
  35. ^ West, Juliane (1993), "Třídit dvakrát do stohu", Teoretická informatika, 117 (1–2): 303–313, doi:10.1016 / 0304-3975 (93) 90321-J, PAN  1235186.
  36. ^ Bousquet-Mélou, Mireille; Butler, Steve (2007), „Forest-like permutations“, Annals of Combinatorics, 11 (3–4): 335–354, arXiv:matematika / 0603617, doi:10.1007 / s00026-007-0322-1, PAN  2376109, S2CID  31236417.

externí odkazy

Konala se konference o permutačních vzorcích koná se každoročně od roku 2003:

  1. Permutační vzory 2003, 10. – 14. Února 2003, University of Otago, Dunedin, Nový Zéland.
  2. Permutační vzory 2004, 5. – 9. Července 2004, Malaspina University-College, Nanaimo, Britská Kolumbie, Kanada.
  3. Permutační vzory 2005, 7. – 11. Března 2005, University of Florida, Gainesville, Florida, USA.
  4. Permutační vzory 2006, 12. – 16. Června 2006, Univerzita v Reykjavíku, Reykjavík, Island.
  5. Permutační vzory 2007, 11. – 15. Června 2007, University of St. Andrews, St. Andrews, Skotsko.
  6. Permutační vzory 2008, 16. – 20. Června 2008, University of Otago, Dunedin, Nový Zéland.
  7. Permutační vzory 2009, 13. – 17. Července 2009, Università di Firenze, Florencie, Itálie.
  8. Permutační vzory 2010, 9. – 13. Srpna 2010, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
  9. Permutační vzory 2011, 20. – 24. Června 2011, Kalifornská polytechnická státní univerzita, San Luis Obispo, Kalifornie, USA.
  10. Permutační vzory 2012, 11. – 15. Června 2012, University of Strathclyde, Glasgow, Skotsko.
  11. Permutační vzory 2013, 1. – 5. Července 2013, Université Paris Diderot, Paříž, Francie.
  12. Permutační vzory 2014, 7. – 11. Července 2014, Státní univerzita ve východním Tennessee, Johnson City, Tennessee, USA.
  13. Permutační vzory 2015, 15. – 19. Června 2015, De Morgan House, Londýn, Anglie.
  14. Permutační vzory 2016, 27. června - 1. července 2016, Howard University, Washington, DC, USA.
  15. Permutační vzory 2017, 26. – 30. Června 2017, Univerzita v Reykjavíku, Reykjavík, Island.
  16. Permutační vzory 2018, 9. – 13. Července 2018, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
  17. Permutační vzory 2019, 17. – 21. Června 2019, Universität Zürich, Curych, Švýcarsko.
  18. Virtuální workshop Permutation Patterns 2020, 30. června - 1. července 2020, hostitelem Univerzita Valparaiso, Valparaiso, Indiana, USA.

Americká matematická společnost Na následujících schůzkách se konala zvláštní zasedání týkající se vzorů v permutacích:

Další schůzky s permutačními vzory:

Další odkazy: