Peano povrch - Peano surface

Model povrchu Peano ve sbírce Drážďany

V matematice je Peano povrch je graf z funkce dvou proměnných

${ displaystyle f (x, y) = (2x ^ {2} -y) (y-x ^ {2}).}$

Navrhl to Giuseppe Peano v roce 1899 jako protiklad na domnělé kritérium pro existenci maxima a minima funkcí dvou proměnných.^[1][2]

Povrch byl pojmenován Peano povrch (Němec: Peanosche Fläche) od Georg Scheffers ve své knize z roku 1920 Lehrbuch der darstellenden Geometrie.^[1][3] To bylo také nazýváno Peano sedlo.^[4][5]

Vlastnosti

Peano povrch a jeho křivky úrovně pro úroveň 0 (paraboly, zelená a fialová)

Funkce ${ displaystyle f (x, y) = (2x ^ {2} -y) (y-x ^ {2})}$ jehož grafem je povrch, má mezi nimi kladné hodnoty paraboly ${ displaystyle y = x ^ {2}}$ a ${ displaystyle y = 2x ^ {2}}$a záporné hodnoty jinde (viz diagram). Na původ, trojrozměrný bod ${ displaystyle (0,0,0)}$ na povrchu, který odpovídá průsečíku dvou paraboly, má povrch a sedlový bod.^[6] Samotný povrch má pozitivní Gaussovo zakřivení v některých částech a záporné zakřivení v jiných, oddělené jinou parabolou,^[4][5] z čehož vyplývá, že jeho Gaussova mapa má Whitney hrot.^[5]

Průsečík povrchu Peano se svislou rovinou. Průniková křivka má lokální maximum na počátku, napravo od obrázku a globální maximum na levé straně obrázku, mělce se ponoří mezi tyto dva body.

Ačkoli povrch nemá v počátku lokální maximum, jeho průsečík s libovolnou svislou rovinou skrz počátek (rovina s rovnicí ${ displaystyle y = mx}$ nebo ${ displaystyle x = 0}$) je křivka, která má na počátku lokální maximum,^[1] vlastnost popsaná uživatelem Earle Raymond Hedrick jako „paradoxní“.^[7] Jinými slovy, pokud bod začíná počátkem ${ displaystyle (0,0)}$ roviny a pohybuje se od počátku podél libovolné přímky, hodnota ${ displaystyle (2x ^ {2} -y) (y-x ^ {2})}$ se sníží na začátku pohybu. Nicméně, ${ displaystyle (0,0)}$ není místní maximum funkce, protože pohyb po parabole, jako je ${ displaystyle y = { sqrt {2}} , x ^ {2}}$ (ve schématu: červená) způsobí zvýšení hodnoty funkce.

Povrch Peano je a křemenný povrch.

Jako protiklad

V roce 1886 Joseph Alfred Serret vydal učebnici^[8] s navrhovanými kritérii pro extrémní body povrchu dané vztahem ${ displaystyle z = f (x_ {0} + h, y_ {0} + k)}$

"maximum nebo minimum nastává, když pro hodnoty ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$ pro který ${ displaystyle d ^ {2} f}$ a ${ displaystyle d ^ {3} f}$ (třetí a čtvrtý výraz) zmizí, ${ displaystyle d ^ {4} f}$ (pátý termín) má neustále znaménko -, nebo znaménko +. “

Zde se předpokládá, že lineární členy zmizí a Taylor série z ${ displaystyle f}$ má formu${ displaystyle z = f (x_ {0}, y_ {0}) + Q (h, k) + C (h, k) + F (h, k) + cdots}$kde ${ displaystyle Q (h, k)}$ je kvadratická forma jako ${ displaystyle ah ^ {2} + bhk + ck ^ {2}}$,${ displaystyle C (h, k)}$ je kubická forma s kubickými výrazy v ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$,a ${ displaystyle F (h, k)}$ je kvartová forma s a homogenní kvartický polynom v ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$Serret navrhuje, že pokud ${ displaystyle F (h, k)}$ má konstantní znaménko pro všechny body, kde ${ displaystyle Q (h, k) = C (h, k) = 0}$ pak je místní maximum nebo minimum povrchu v ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$.

Ve svých poznámkách z roku 1884 k Angelo Genocchi italská učebnice na počet, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano již poskytl různé správné podmínky pro funkci k dosažení místního minima nebo místního maxima.^[1][9] V německém překladu stejné učebnice z roku 1899 poskytl tento povrch jako protiklad Serretova stavu. Na místě ${ displaystyle (0,0,0)}$„Serretovy podmínky jsou splněny, ale tento bod je sedlovým bodem, nikoli lokálním maximem.^[1][2] Související stav k Serret byl také kritizován Ludwig Scheeffer [de ], který použil Peanov povrch jako protiklad k němu v publikaci z roku 1890, připsán Peanovi.^[6][10]

Modely

Modely povrchu Peano jsou zahrnuty ve Göttingenově sbírce matematických modelů a nástrojů na Univerzita v Göttingenu,^[11] a ve sbírce matematických modelů TU Drážďany (ve dvou různých modelech).^[12] Model Göttingen byl prvním novým modelem přidaným do kolekce po první světová válka a jeden z posledních přidaných do sbírky celkově.^[6]

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Peano Surface". MathWorld.