Pravděpodobnost chyby v páru - Pairwise error probability

Část série na statistika
Teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní axiomy
Pravděpodobný prostor Ukázkový prostor Základní událost událost Náhodná proměnná Míra pravděpodobnosti
Doplňková akce Společná pravděpodobnost Mezní pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost
Nezávislost Podmíněná nezávislost Zákon celkové pravděpodobnosti Zákon velkých čísel Bayesova věta Booleova nerovnost
Vennův diagram Stromový diagram

Pravděpodobnost chyby v páru je pravděpodobnost chyby to pro a přenášeno signál (${ displaystyle X}$) jeho odpovídající ale zkreslená verze (${ displaystyle { widehat {X}}}$) bude přijato. Tento typ pravděpodobnosti se nazývá ″ párová pravděpodobnost chyby ″, protože pravděpodobnost existuje u dvojice signálních vektorů v signální konstelaci.^[1] Používá se hlavně v komunikačních systémech.^[1]

Rozšíření definice

Přijatý signál je obecně zkreslenou verzí vysílaného signálu. Představujeme tedy pravděpodobnost chyby symbolu, což je pravděpodobnost ${ displaystyle P (e)}$ že demodulátor udělá špatný odhad ${ displaystyle ({ widehat {X}})}$ přenášeného symbolu ${ displaystyle (X)}$ na základě přijatého symbolu, který je definován takto:

${ displaystyle P (e) triangleq { frac {1} {M}} součet _ {x} mathbb {P} (X neq { widehat {X}} | X)}$

kde M je velikost konstelace signálu.

Pravděpodobnost párové chyby ${ displaystyle P (X až { widehat {X}})}$ je definován jako pravděpodobnost to když ${ displaystyle X}$ se přenáší, ${ displaystyle { widehat {X}}}$ je přijat.

${ displaystyle P (e | X)}$ lze vyjádřit jako pravděpodobnost, že alespoň jeden ${ displaystyle { widehat {X}} neq X}$ je blíže než ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle Y}$.

Pomocí horní meze pravděpodobnosti sjednocení událostí lze napsat:

${ displaystyle P (e | X) leq sum _ {{ widehat {X}} neq X} P (X do { widehat {X}})}$

Konečně:

${ displaystyle P (e) = { tfrac {1} {M}} součet _ {X v S} P (e | X) leq { tfrac {1} {M}} součet _ {X in S} sum _ {{ widehat {X}} neq X} P (X do { widehat {X}})}$

Výpočet uzavřené formy

Pro jednoduchý případ aditivní bílý gaussovský šum Kanál (AWGN):

${ displaystyle Y = X + Z, Z_ {i} sim { mathcal {N}} (0, { tfrac {N_ {0}} {2}} I_ {n}) , !}$

PEP lze vypočítat v uzavřené formě následovně:

${ displaystyle { begin {aligned} P (X to { widehat {X}}) & = mathbb {P} (|| Y - { widehat {X}} || ^ {2} <|| YX || ^ {2} | X) & = mathbb {P} (|| (X + Z) - { widehat {X}} || ^ {2} <|| (X + Z) - X || ^ {2}) & = mathbb {P} (|| (X - { widehat {X}}) + Z || ^ {2} <|| Z || ^ {2}) & = mathbb {P} (|| X - { widehat {X}} || ^ {2} + || Z || ^ {2} +2 (Z, X - { widehat {X} }) <|| Z || ^ {2}) & = mathbb {P} (2 (Z, X - { widehat {X}}) <- || X - { widehat {X}} || ^ {2}) & = mathbb {P} ((Z, X - { widehat {X}}) <- || X - { widehat {X}} || ^ {2} / 2) end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle (Z, X - { widehat {X}})}$ je Gaussian náhodná proměnná s znamenat 0 a rozptyl ${ displaystyle N_ {0} || X - { widehat {X}} || ^ {2} / 2}$.

Pro nulový průměr, rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2} = 1}$ Gaussova náhodná proměnná:

${ displaystyle P (X> x) = Q (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {x} ^ {+ infty} e ^ {-} { tfrac {t ^ {2}} {2}} dt}$

Proto,

${ displaystyle { begin {aligned} P (X to { widehat {X}}) & = Q { bigg (} { tfrac { tfrac {|| X - { widehat {X}} || ^ {2}} {2}} { sqrt { tfrac {N_ {0} || X - { widehat {X}} || ^ {2}} {2}}}} { bigg)} = Q { bigg (} { tfrac {|| X - { widehat {X}} || ^ {2}} {2}}. { Sqrt { tfrac {2} {N_ {0} || X - { widehat {X}} || ^ {2}}}} { bigg)} & = Q { bigg (} { tfrac {|| X - { widehat {X}} ||} { sqrt {2N_ {0}}}} { bigg)} end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Zpracování signálu
• Telekomunikace
• Elektrotechnika
• Náhodná proměnná

Reference

Další čtení

• Prasad, 5. mezinárodní sympozium IEEE o osobní, vnitřní a mobilní rádiové komunikaci (PIMRC '94), Haag, Nizozemsko, 18. – 22. Září 1994; Regionální setkání ICCC o bezdrátových počítačových sítích (WCN), Haag, Nizozemsko, 21. – 23. Září 1994; editoval Jos H. Weber, Jens C. Arnbak a Ramjee (1994). Bezdrátové sítě: chytání mobilní budoucnosti: řízení. Amsterdam: IOS Press. 564–575. ISBN  9051991932.
• Simon, Marvin K .; Alouini, Mohamed-Slim (2005). Digitální komunikace přes blednoucí kanály (2. vyd.). Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN  0471715239.