Podskupina Omega a agemo - Omega and agemo subgroup

v matematika, nebo konkrétněji teorie skupin, omega a agemo podskupiny popsal takzvanou „mocenskou strukturu“ a konečný p-skupina. Byly představeny v (Hall 1933 ) kde byly použity k popisu třídy konečných p-skupiny, jejichž struktura byla dostatečně podobná struktuře konečné abelian p-skupiny, tzv., pravidelné p-skupiny. Vztah mezi mocí a komutátor struktura tvoří ústřední téma v moderním studiu p-skupiny, jak je uvedeno v práci na jednotně silné p-skupiny.

Slovo „agemo“ je jen „omega“ hláskováno dozadu a podskupina agemo je označována vzhůru nohama.

Definice

Omega podskupiny jsou série podskupin konečné p-skupiny, G, indexováno přirozenými čísly:

${displaystyle Omega _ {i} (G) = langle {g: g ^ {p ^ {i}} = 1} úhel.}$

Agemo podskupiny jsou série podskupin:

${displaystyle mho ^ {i} (G) = langle {g ^ {p ^ {i}}: gin G} úhel.}$

Když i = 1 a p je tedy zvláštní i je z definice obvykle vynechán. Když p je sudý, vynechán i může znamenat buď i = 1 nebo i = 2 v závislosti na místní konvenci. V tomto článku používáme konvenci, kterou jsme vynechali i vždy označuje i = 1.

Příklady

The dvojitá skupina řádu 8, G, vyhovuje: ℧ (G) = Z (G) = [ G, G ] = Φ (G) = Soc (G) je jedinečná normální podskupina řádu 2, obvykle realizovaná jako podskupina obsahující identitu a rotaci o 180 °. Nicméně Ω (G) = G je celá skupina, protože G je generován odrazy. To ukazuje, že Ω (G) nemusí být množina prvků objednávky p.

The čtveřice skupina objednávky 8, H, vyhovuje Ω (H) = ℧(H) = Z (H) = [ H, H ] = Φ (H) = Soc (H) je jedinečná podskupina řádu 2, obvykle realizovaná jako podskupina obsahující pouze 1 a -1.

The Sylow p- podskupina, P, z symetrická skupina na p² body je věnec produkt ze dvou cyklické skupiny hlavního řádu. Když p = 2, toto je jen vzepětí skupina řádu 8. Také splňuje Ω (P) = P. Opět ℧ (P) = Z (P) = Soc (P) je cyklický řádu p, ale [ P, P ] = Φ (G) je elementární abelian řádu p^p−1.

The polopřímý produkt cyklické skupiny řádu 4 působící netriviálně na cyklickou skupinu řádu 4,

${displaystyle K = jazyk a, b: a ^ {4} = b ^ {4} = 1, ba = ab ^ {3} úhel,}$

má ℧ (K.) elementární abelian řádu 4, ale množina čtverců je jednoduše {1, aa, bb }. Tady prvek aabb z ℧ (K.) není čtverec, což ukazuje, že ℧ není jen sada čtverců.

Vlastnosti

V této části pojďme G být konečný p-skupina objednat |G| = pⁿ a exponent exp (G) = p^k mají řadu užitečných vlastností.

Obecné vlastnosti

• Oba Ω_i(G) a ℧ⁱ(G) jsou charakteristické podskupiny z G pro všechna přirozená čísla, i.
• Podskupiny omega a agemo tvoří dvě normální série:

G = ℧⁰(G) ≥ ℧¹(G) ≥ ℧²(G) ≥ ... ≥ ℧^k−2(G) ≥ ℧^k−1(G) > ℧^k(G) = 1

G = Ω_k(G) ≥ Ω_k−1(G) ≥ Ω_k−2(G) ≥ ... ≥ Ω₂(G) ≥ Ω₁(G)> Ω₀(G) = 1

a série jsou volně propletené: Pro všechny i mezi 1 a k:

℧ⁱ(G) ≤ Ω_k−i(G), ale

℧ⁱ⁻¹(G) není obsažen v Ω_k−i(G).

Chování v rámci kvocientů a podskupin

Li H ≤ G je podskupina z G a N ⊲ G je normální podskupina z G, pak:

• ℧ⁱ(H) ≤ H ∩ ℧ⁱ(G)
• Ω_i(H) = H ∩ Ω_i(G)
• ℧ⁱ(N) ⊲ G
• Ω_i(N) ⊲ G
• ℧ⁱ(G/N) = ℧ⁱ(G)N/N
• Ω_i(G/N) ≥ Ω_i(G)N/N

Vztah k dalším důležitým podskupinám

• Soc (G) = Ω (Z (G)), podskupina skládající se z centrálních prvků objednávky p je sokl, Soc (G), ze dne G
• Φ(G) = ℧(G)[G,G], podskupina generovaná všemi pth pravomoci a komutátory je Frattini podskupina, Φ (G), ze dne G.

Vztahy ve speciálních třídách skupin

• V abelian p-skupina, nebo obecněji v pravidelných p-skupina:

|℧ⁱ(G) | ⋅ | Ω_i(G)| = |G|

[℧ⁱ(G):℧ⁱ⁺¹(G)] = [Ω_i(G): Ω_i+1(G)],

kde |H| je objednat z H a [H:K.] = |H|/|K.| označuje index podskupin K. ≤ H.

Aplikace

První aplikací podskupin omega a agemo bylo nakreslit analogii pravidelný p-skupiny s abelian p-skupiny v (Hall 1933 ).

Skupiny, ve kterých Ω (G) ≤ Z (G) byly studovány uživatelem John G. Thompson a viděli několik novějších aplikací.

Dvojí představa, skupiny s [G,G] ≤ ℧(G) se nazývají silné p-skupiny a byly představeny Avinoam Mann. Tyto skupiny byly rozhodující pro prokázání coclass dohady který představil důležitý způsob, jak porozumět struktuře a klasifikaci konečné p-skupiny.

Reference

• Dixon, J. D .; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A .; Segal, D. (1991), Analytické pro-p-skupiny, Cambridge University Press, ISBN  0-521-39580-1, PAN  1152800
• Hall, Philip (1933), „Příspěvek k teorii skupin řádu nejvyšší moci“, Proceedings of the London Mathematical Society, 36: 29–95, doi:10,1112 / plms / s2-36.1.29
• Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), Struktura skupin hlavního mocenského řádu, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 27, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853548-5, PAN  1918951
• McKay, Susan (2000), Konečné p-skupinyMatematické poznámky královny Marie, 18University of London, ISBN  978-0-902480-17-9, PAN  1802994