Numerické modelování (geologie) - Numerical modeling (geology)

v geologie, numerické modelování je široce používanou technikou pro řešení složitých geologických problémů pomocí výpočetní simulace geologických scénářů.
Numerické modelování používá matematické modely popsat fyzikální podmínky geologických scénářů pomocí čísel a rovnic.[2] Nicméně některé z jejich rovnic je obtížné přímo vyřešit, například parciální diferenciální rovnice. S numerickými modely mohou geologové používat metody, jako např metody konečných rozdílů, abychom se přiblížili řešení těchto rovnic. Na těchto modelech lze poté provádět numerické experimenty, které přinesou výsledky, které lze interpretovat v kontextu geologického procesu.[2] Těmito experimenty lze rozvíjet kvalitativní i kvantitativní porozumění různým geologickým procesům.[3]
Při studiu bylo použito numerické modelování mechanika hornin, tepelná historie hornin, pohyby tektonických desek a zemského pláště. Tok tekutin je simulován pomocí numerických metod a to ukazuje, jak na to spodní vody pohyby, nebo jak pohyby roztaveného vnějšího jádra dávají geomagnetické pole.
Dějiny
Před vývojem numerického modelování analogové modelování, který simuluje přírodu se zmenšenými měřítky hmotnosti, délky a času, byl jedním z hlavních způsobů řešení geologických problémů,[4][5] například modelovat vznik přítlačné pásy.[6] Ke kvantitativnímu řešení relativně jednoduchých geologických problémů byly použity také jednoduché analytické nebo semianalytické matematické modely.[2]
V pozdních šedesátých a sedmdesátých letech po vývoji metody konečných prvků při řešení mechanika kontinua problémy pro stavební inženýrství, byly upraveny numerické metody pro modelování složitých geologických jevů,[5][7] například, skládací[8][9] a konvekce pláště.[10] S pokroky v počítačové technologii se zlepšila přesnost numerických modelů.[2] Numerické modelování se stalo důležitým nástrojem pro řešení geologických problémů,[2] zejména pro části Země, které je obtížné přímo pozorovat, jako například plášť a jádro. Přesto je analogové modelování stále užitečné při modelování geologických scénářů, které je obtížné zachytit v numerických modelech, a kombinace analogového a numerického modelování může být užitečná pro lepší pochopení procesů Země.[11]
Součásti

Obecná numerická modelová studie se obvykle skládá z následujících složek:[12][2]
- Matematický model je zjednodušený popis geologického problému, jako jsou rovnice a okrajové podmínky.[2] Tyto řídící rovnice modelu jsou často parciální diferenciální rovnice které je obtížné přímo vyřešit, protože zahrnuje derivát z funkce,[13] například vlnová rovnice.[2]
- Diskretizační metody a numerické metody převádějí ty, které řídí rovnice v matematických modelech, na diskrétní rovnice.[2] Tyto diskrétní rovnice mohou aproximovat řešení řídících rovnic.[2] Mezi běžné metody patří konečný element, konečný rozdíl nebo metoda konečných objemů které rozdělují předmět zájmu na menší kousky (prvek) sítí. Tyto diskrétní rovnice lze poté v každém prvku vyřešit numericky.[2] The metoda diskrétních prvků používá jiný přístup, tato metoda znovu sestavuje předmět zájmu z mnoha drobných částic. Na interakce mezi částicemi se poté použijí jednoduché řídící rovnice.
- Algoritmy jsou počítačové programy, které počítají řešení pomocí myšlenky výše uvedených numerických metod.[2]
- Interpretace jsou prováděny z řešení daných numerickými modely.[2]
Vlastnosti
Dobrý numerický model má obvykle některé z následujících vlastností:[12][2]
- Důsledné: Numerické modely často rozdělují objekt na menší prvky. Pokud je model konzistentní, je výsledek numerického modelu téměř stejný jako to, co matematický model předpovídá, když je velikost prvku téměř nulová. Jinými slovy, chyba mezi diskrétními rovnicemi použitými v numerickém modelu a řídícími rovnicemi v matematickém modelu má sklon k nule, když se prostor sítě (velikost prvku) přiblíží nule.[2]
- Stabilní: Ve stabilním numerickém modelu se chyba během výpočtu numerických metod nezesiluje.[2] Chyba nestabilního modelu se rychle nahromadí a povede k nesprávnému výsledku. A stabilní a konzistentní numerický model má stejný výstup jako přesné řešení v matematickém modelu, když je rozteč sítě (velikost prvku) extrémně malá.[2]
- Konvergující: Výstup numerického modelu se blíží skutečnému řešení řídících rovnic v matematických modelech, když se zmenší rozteč ok (velikost prvku), což se obvykle kontroluje provedením numerických experimentů.[2]
- Konzervované: Fyzikální veličiny v modelech, jako je hmotnost a hybnost, jsou zachovány.[2] Protože rovnice v matematických modelech jsou obvykle odvozeny z různých zákonů zachování, výsledek modelu by neměl tyto předpoklady porušovat.[2]
- Ohraničený: Řešení dané numerickým modelem má rozumné fyzické hranice vzhledem k matematickým modelům, například hmotnost a objem by měly být pozitivní.[2]
- Přesný: Řešení dané numerickými modely je blízké reálnému řešení předpovězenému matematickým modelem.[2]
Výpočet
Následuje několik klíčových aspektů myšlenek při vývoji numerických modelů v geologii. Nejprve by měl být rozhodnut způsob popisu objektu a pohybu (kinematický popis). Poté jsou psány řídící rovnice, které popisují geologické problémy, například tepelné rovnice popsat tok tepla v systému. Protože některé z těchto rovnic nelze přímo vyřešit, používají se k aproximaci řešení řídících rovnic numerické metody.
Kinematické popisy
V numerických modelech a matematických modelech existují dva různé přístupy k popisu pohybu hmoty: Eulerian a Lagrangian.[14] V geologii se oba přístupy běžně používají k modelování proudění tekutin, jako je konvekce pláště, kde se pro výpočet používá Eulerova mřížka a pro vizualizaci pohybu se používají Lagrangeovy značky.[2] V poslední době existují modely, které se pokoušejí popsat různé části pomocí různých přístupů a kombinovat výhody těchto dvou přístupů. Tento kombinovaný přístup se nazývá libovolný lagrangicko-eulerovský přístup.[15]
Eulerian
Eulerianský přístup bere v úvahu změny fyzikálních veličin, jako je hmotnost a rychlost, a pevné umístění s časem.[14] Je to podobné, jako když se díváme na to, jak říční voda teče přes most. Matematicky lze fyzikální veličiny vyjádřit jako funkci polohy a času. Tento přístup je užitečný pro tekuté a homogenní (uniformní) materiály, které nemají žádné přirozené hranice.[16]
Lagrangian
Lagrangeův přístup na druhé straně bere v úvahu změnu fyzikálních veličin, jako je například objem pevné prvky hmoty v průběhu času.[14] Je to podobné jako při pohledu na určitou sbírku molekul vody, které proudí po proudu v řece. Pomocí Lagrangeova přístupu je snazší sledovat pevné objekty, které mají přirozenou hranici a oddělují je od okolí.[16]
- Kinematické popisy
Eulerian přístup Oranžové pole na obrázku označuje oblast zájmu. V Eulerianově přístupu je umístění červeného rámečku pevné, zatímco změna barvy tohoto rámečku ilustruje měnící se hodnotu na dané pozici.
Lagrangeův přístup. Oranžové pole na obrázku označuje oblast zájmu. V Lagrangeově přístupu není umístění červeného rámečku pevné, pohybuje se v čase. Oblast zájmu je vždy stejný prvek.
Řídící rovnice
Následuje několik základních rovnic, které se běžně používají k popisu fyzikálních jevů, například jak se hmota v geologickém systému pohybuje nebo proudí a jak je v systému distribuována tepelná energie. Tyto rovnice jsou obvykle jádrem matematického modelu.
Rovnice spojitosti
The rovnice spojitosti je matematická verze konstatování, že geologický objekt nebo médium je spojité, což znamená, že v objektu nelze najít žádné prázdné místo.[17] Tato rovnice se běžně používá při numerickém modelování v geologii.[17]
Jedním příkladem je rovnice kontinuity hmotnosti tekutiny. Na základě zákona z zachování hmoty, pro kapalinu s hustotou v poloze v pevném objemu tekutiny se rychlost změny hmotnosti rovná průtoku tekutiny ven přes hranici :
kde je prvek hlasitosti a je rychlost při .
V Lagrangeově formě:[2]
V euleriánské formě:[2]
Tato rovnice je užitečná, když model zahrnuje kontinuální tok tekutin, jako je plášť přes geologické časové stupnice.[2]
Momentová rovnice
Rovnice hybnosti popisuje, jak se hmota pohybuje v reakci na aplikovanou sílu. Je to výraz Newtonův druhý zákon pohybu.[17]
Zvažte pevný objem hmoty. Podle zákona zachování hybnosti, rychlost změny objemu se rovná:[2]
- Vnější síla aplikováno na prvek
- plus normální napětí a smykové napětí působící na povrch ohraničující prvek
- minus hybnost pohybující se ven z prvku na tomto povrchu
kde je objemový prvek, je rychlost.
Po zjednodušení a integraci pro jakýkoli svazek , Eulerian forma této rovnice je:[2][17]
Tepelná rovnice
Tepelné rovnice popisují, jak tepelná energie toky v systému.
Ze zákona zachování energie je rychlost změny energie pevného objemu hmotnosti se rovná:[2]
- práce na hranici
- plus práce vykonaná vnější silou v objemu
- minus teplo vedení přes hranici
- minus teplo proudění přes hranici
- plus teplo vyrobené interně
Matematicky:
kde je objemový prvek, je rychlost, je teplota, je koeficient vodivosti a je rychlost výroby tepla.[2]
Numerické metody

Numerické metody jsou techniky k aproximaci řídících rovnic v matematických modelech.
Mezi běžné numerické metody patří Metoda konečných prvků, spektrální metoda, metoda konečné diference, a metoda konečných objemů. Tyto metody se používají k aproximaci řešení vládnutí diferenciální rovnice v matematickém modelu rozložením domény do sítí nebo mřížek a aplikací jednodušších rovnic na jednotlivé prvky nebo uzly v síti.[2][18]
The metoda diskrétních prvků používá jiný přístup. Objekt je považován za soubor malých částic.[19]
Metoda konečných prvků
The Metoda konečných prvků rozděluje objekt (nebo doménu) na menší nepřekrývající se prvky (nebo subdomény) a tyto prvky jsou spojeny v uzlech. Řešení pro parciální diferenciální rovnice jsou pak aproximovány jednoduššími rovnicemi prvků, obvykle polynomy.[2][20][21] Pak se tyto rovnice prvků spojí do rovnic pro celý objekt, tj. Příspěvek každého prvku se sčítá k modelování odezvy celého objektu.[2][20][21] Tato metoda se běžně používá k řešení mechanických problémů.[21] Následuje obecný postup použití metody konečných prvků:[21]
- Vyberte typ prvku a rozdělte objekt. Běžný typy prvků zahrnují trojúhelníkový, čtyřstranný, čtyřboký atd.[21] Pro různé problémy je třeba zvolit různé typy prvků.
- Rozhodněte o funkci posunutí. Funkce posunu určuje, jak se prvky pohybují. Lineární, kvadratické nebo kubický polynom funkce se běžně používají.[21]
- Rozhodněte o vztahu posunutí-deformace. Posunutí prvku mění nebo deformuje tvar prvku v tom, co se technicky nazývá kmen. Tento vztah vypočítá, kolik napětí prvek zažil v důsledku posunutí.[21]
- Rozhodněte o vztahu napětí-napětí. Deformace prvku vyvolává stres k prvku, kterým je platnost aplikován na prvek. Tento vztah vypočítá míru napětí, které prvek prožívá v důsledku přetvoření. Jedním z příkladů tohoto vztahu je Hookeův zákon.[21]
- Odvozte rovnice tuhosti a matice tuhosti pro prvky. Napětí také způsobí deformaci prvku; the ztuhlost (tuhost) prvků udává, jak moc se deformuje v reakci na napětí. Je zde znázorněna tuhost prvků v různých směrech matice formulář pro jednodušší ovládání během výpočtu.[21]
- Spojte rovnice prvků do globálních rovnic. Příspěvky každého prvku se sečtou do sady rovnic, které popisují celý systém.[21]
- Použijte okrajové podmínky. Předdefinované podmínky na hranici, jako je teplota, napětí a další fyzikální veličiny, jsou zavedeny na hranici systému.[21]
- Řešení pro posunutí. Jak se čas vyvíjí, posunutí prvků se řeší krok za krokem.[21]
- Řešte napětí a stres. Po výpočtu posunutí se napětí a napětí vypočítají pomocí vztahů v krocích 3 a 4.[21]

Spektrální metoda
The spektrální metoda je podobný metodě konečných prvků.[22][23] Hlavní rozdíl spočívá v tom, že se používá spektrální metoda základní funkce, případně pomocí a Rychlá Fourierova transformace (FFT) který aproximuje funkci součtem mnoha jednoduchých funkcí.[22][23] Tyto druhy základních funkcí lze poté aplikovat na celou doménu a přiblížit vládnutí parciální diferenciální rovnice.[2][22][23] Proto každý výpočet bere v úvahu informace z celé domény, zatímco metoda konečných prvků bere pouze informace z okolí.[22][23] Výsledkem je, že spektrální metoda konverguje exponenciálně a je vhodná pro řešení problémů zahrnujících vysokou variabilitu v čase nebo prostoru.[22][23]
Metoda konečného objemu
The metoda konečných objemů je také podobný metodě konečných prvků. Rovněž rozděluje předmět zájmu na menší objemy (nebo prvky), poté se fyzikální veličiny řeší přes kontrolní objem jako toky těchto veličin přes různé tváře.[2][24] Použité rovnice jsou obvykle založeny na zachování nebo vyvážení fyzikálních veličin, jako je hmotnost a energie.[24][25]
Metodu konečných objemů lze použít na nepravidelné sítě, jako je metoda konečných prvků. Rovnice prvků jsou stále fyzicky smysluplné. Je však obtížné dosáhnout lepší přesnosti, protože verze rovnic prvků vyššího řádu není dobře definována.[2][24][25]
Metoda konečných rozdílů
The metoda konečné diference přibližný diferenciální rovnice aproximací derivát s rozdílová rovnice, což je hlavní metoda řešení parciální diferenciální rovnice.[26][27][28][29]

Zvažte funkci s deriváty s jednou hodnotou, které jsou spojitou a konečnou funkcí , podle Taylorova věta:[30]
a
Shrnutí výše uvedených výrazů:[30]
Ignorujte výrazy s výkonem vyšším než 4 , pak:[30]
Výše uvedené je centrální rozdíl aproximace derivátů,[30] které lze také aproximovat pomocí dopředný rozdíl:
nebo zpětný rozdíl:
Přesnost konečných rozdílů lze zlepšit, pokud se použije více výrazů vyššího řádu.
Metoda diskrétních prvků

The metoda diskrétních prvků, někdy nazývaná metoda odlišných prvků, se obvykle používá k modelování diskontinuálních materiálů, jako jsou horniny se zlomeninami, jako jsou klouby a podestýlka, protože může explicitně modelovat vlastnosti diskontinuit.[19] Tato metoda byla vyvinuta pro simulaci mechanika hornin problémy na začátku.[19][31]
Hlavní myšlenkou této metody je modelovat objekty jako soubor menších částic,[19] který je podobný budově a hrad z písku. Tyto částice mají jednoduchou geometrii, například kouli. Fyzikální veličiny každé částice, například rychlost, jsou průběžně aktualizovány na kontaktech mezi nimi.[19] Tento model je relativně výpočetně náročný, protože je třeba použít velké množství částic,[19] zejména pro velké modely, jako je svah.[32] Proto se tento model obvykle používá na objekty malého rozsahu.
Model vázaných částic
Existují objekty, které nejsou složeny z granulovaných materiálů, jako jsou krystalické horniny složené z minerálních zrn, které se k sobě lepí nebo se vzájemně spojují. K modelování této soudržnosti nebo cementace mezi částicemi se přidává určité spojení mezi částicemi. Tento druh modelu se také nazývá model vázaných částic.[33][34][35]
Aplikace
Numerické modelování lze použít k modelování problémů v různých geologických oborech v různých měřítcích, například inženýrská geologie, geofyzika, geomechanika, geodynamika, mechanika hornin, a hydrogeologie. Následuje několik příkladů aplikací numerického modelování v geologii.
Vzorek k vyvýšenině
Rocková mechanika
Numerické modelování bylo široce používáno v různých oblastech mechanika hornin.[3] Skála je materiál, který se obtížně modeluje, protože skála je obvykle:[3]
- Přerušovaný: Ve skalním masivu je mnoho zlomenin a mikrozlomenin[36] a prostor ve skalním masivu může být vyplněn jinými látkami, jako je vzduch a voda.[3] K úplnému zachycení těchto diskontinuit je zapotřebí složitý model, protože diskontinuity mají velký vliv na skalní masiv.[3]
- Anizotropní: Vlastnosti horninového masivu, jako např propustnost (schopnost umožnit průtok tekutiny) se může lišit v různých směrech.[3][36]
- Nehomogenní: Vlastnosti různých částí horninového masivu se mohou lišit.[3][36] Například fyzikální vlastnosti křemen zrna a živce zrna se liší v žula.[37][38]
- Není elastický: Po odstranění napětí se kámen nemůže dokonale vrátit do původního tvaru.[36][3]
K modelování chování hornin je zapotřebí složitý model, který zohledňuje všechny výše uvedené charakteristiky.[3] Existuje mnoho modelů modelování horniny jako kontinua pomocí podobných metod konečný rozdíl, konečný element, a metody hraničních prvků. Jednou z nevýhod je, že u těchto modelů je obvykle omezena schopnost modelování trhlin a dalších diskontinuit.[39] Modely, které modelují rock jako diskontinuum pomocí metod jako diskrétní prvek a síť diskrétních zlomenin jsou také běžně používány metody.[3][35] Byly také vyvinuty kombinace obou metod.[3]
Numerické modelování zvyšuje porozumění mechanickým procesům ve skále prováděním numerických experimentů a je užitečné pro konstrukční a konstrukční práce.[3]
Regionální měřítko
Termochronologie
K předpovědi a popisu bylo použito numerické modelování tepelná historie Země kůra, což umožňuje geologům zlepšit jejich interpretaci termochronologických dat.[40] Termochronologie může indikovat čas, kdy se hornina ochladí pod určitou teplotu.[41] Geologické události, jako je vývoj poruch a povrchové eroze, mohou změnit termochronologický vzor vzorků shromážděných na povrchu a je možné omezit geologické události těmito daty.[41] K předpovědi vzoru lze použít numerické modelování.
Obtíže tepelného modelování zemské kůry zahrnují hlavně nepravidelnosti a změny zemského povrchu (hlavně eroze ) časem. Proto za účelem modelování morfologické změny zemského povrchu, modely musí řešit rovnice tepla s okrajovými podmínkami, které se mění s časem a mají nepravidelné sítě.[42]
Pecube
Pecube je jedním z numerických modelů vyvinutých pro predikci termochronologického vzoru.[42] Řeší následující zobecněnou rovnici přenosu tepla s advekce pomocí metody konečných prvků.[40] První tři termíny na pravé straně jsou teplo přenášené vedení v , a směry, zatímco je advection.

Hydrogeologie
v hydrogeologie „Průtok podzemní vody je často modelován numericky metodou konečných prvků[45][46][47] a metoda konečných rozdílů.[48] Ukázalo se, že tyto dvě metody produkují podobné výsledky, pokud je síť dostatečně jemná.[49][50]

MODFLOW
Jedním ze známých programů modelování proudění podzemní vody je MODFLOW, vyvinutý společností Geologický průzkum Spojených států. Je to zdarma a open-source program který používá metodu konečných rozdílů jako rámec pro modelování podmínek podzemní vody. Nedávný vývoj souvisejících programů nabízí více funkcí, včetně:[51][52]
- Interakce mezi systémy podzemní vody a povrchové vody[51]
- Přeprava rozpuštěné látky[51]
- Průtok kapaliny s proměnnou hustotou, jako je slaná voda[51]
- Zhutnění vodonosných systémů[51]
- Pokles půdy[51]
- Hospodaření s podzemními vodami[51]
Dynamika kůry
The reologie (reakce materiálů na napětí) kůry a litosféry je složitá, protože volný povrch (povrch země) a plasticita a pružnost je třeba vzít v úvahu krustové materiály.[2] Většina modelů používá metody konečných prvků s Lagrangeovou sítí.[2] Jedním z použití je studium deformace a kinematiky subdukce.[53][54]
FLAC
The Rychlá Lagrangeova analýza kontinua (FLAC) je jedním z nejpopulárnějších přístupů v modelování dynamiky kůry.[2] Přístup je rychle jak řeší rovnice hybnost a kontinuita bez použití matice je tedy rychlá, ale časové kroky musí být dostatečně malé.[55] Tento přístup byl použit ve 2D,[56][57][58] 2.5D,[59] a 3D[60] studie dynamiky kůry, ve kterých byly výsledky 2.5D generovány kombinací více řezů dvourozměrných výsledků.[2]

Globální měřítko
Konvekční plášť

Existuje mnoho pokusů modelovat konvekci pláště.
Konečný element,[64] konečný objem, konečný rozdíl[65] a spektrální metody všechny byly použity při modelování konvekce pláště a téměř každý model používal euleriánskou mřížku.[2] Kvůli jednoduchosti a rychlosti metod konečných rozdílů a spektrálních metod byly použity v některých raných modelech, ale metody konečných prvků nebo konečných objemů byly obecně přijaty v 2010s.[2] Mnoho srovnávacích prací zkoumalo platnost těchto numerických modelů.[2][66][67][68][69][70][71] Současné přístupy většinou používají pevnou a jednotnou mřížku.[2] Upřesnění mřížky, ve kterém je zmenšena velikost prvků v části, která vyžaduje přesnější aproximaci, je možná směr budoucího vývoje v numerickém modelování konvekce pláště.[2][72]
Konečný rozdíl
V šedesátých až sedmdesátých letech se modely konvekčních plášťů využívající přístup konečných rozdílů obvykle používaly druhého řádu konečné rozdíly.[2][66] Streamovací funkce byly použity k odstranění vlivu tlaku a ke snížení složitosti algoritmu.[2] Kvůli pokroku v počítačové technologii se nyní k dosažení přesnějšího výsledku používají konečné rozdíly s výrazy vyššího řádu.[2][73]
Konečný objemový přístup
Konvekce pláště modelovaná metodou konečného objemu je často založena na rovnováze mezi tlakem a hybnost. Odvozené rovnice jsou stejné jako metoda konečných rozdílů pomocí mřížky s rozloženou rychlostí a tlakem, ve které jsou hodnoty rychlosti a tlaku každého prvku umístěny v různých bodech.[2] Tento přístup může udržovat vazbu mezi rychlostí a tlakem.[2]
Na základě tohoto přístupu konečných rozdílů / konečných objemů je vyvinuto více kódů.[2][74][75][76][77][65][78] Při modelování trojrozměrné geometrie Země, protože parametry plášťů se liší v různých měřítcích, multigrid, což znamená použití různých velikostí mřížky pro různé proměnné, se používá k překonání obtíží.[2] Mezi příklady patří mřížka s krychlovými koulemi,[79][80] Mřížka „Yin-Yang“,[81][82][83] a spirálová mřížka.[84]
Metoda konečných prvků
V přístupu konečných prvků funkce streamu se také často používají ke snížení složitosti rovnic.[2] Podvodník,[85] modelování dvourozměrného nestlačitelného toku v plášti, byl jedním z populárních kódů pro modelování konvekce pláště v 90. letech.[86][2] Citcom, model konečných prvků Eulerian mutlgrid, je jedním z nejpopulárnějších programů[2] modelovat konvekci pláště ve 2D[87] a 3D.[88]
Spektrální metoda
Spektrální metoda v konvekci pláště rozkládá trojrozměrnou řídící rovnici na několik jednorozměrných rovnic, které řeší rovnice mnohem rychleji. Byl to jeden z populárních přístupů v raných modelech konvekce pláště.[2] Mnoho programů bylo vyvinuto pomocí této metody během 80. let do začátku 2000.[2][89][90][91][92][93][94][95] V tomto přístupu je však obtížné zvládat boční změny viskozity pláště a v 2010s se další metody staly populárnějšími.[2]

Tektonika desek
Tektonika desek je teorie naznačující, že Země litosféra je v podstatě složen z desek plovoucích na plášti.[96] Konvekční model pláště má zásadní význam pro modelování desek plovoucích na něm a existují dva hlavní přístupy k začlenění desek do tohoto modelu: přístup tuhého bloku a reologický přístup.[2] Přístup tuhého bloku předpokládá, že desky jsou tuhé, což znamená, že desky si zachovají svůj tvar a nedeformují se, stejně jako některé dřevěné bloky plovoucí na vodě. Na rozdíl od toho, reologický přístup modeluje desky jako vysoce viskózní tekutinu, ve které rovnice aplikované na litosféru dole platí také pro desky nahoře.[2]
Geodynamo
Byly provedeny číselné modely k ověření geodynamická teorie, teorie, která předpokládá, že geomagnetické pole je generováno pohybem vodivého železa a niklové tekutiny v zemském jádro.[2][97]
Modelování toku kapalného vnějšího jádra Země je obtížné, protože:[2]
- the Coriolisův efekt kvůli rotaci Země nelze ignorovat
- the magnetické pole generováno také vygeneruje Lorentzova síla, který ovlivní pohyb vodivé tekutiny ve vnějším jádru kapaliny
- nízká viskozita kapaliny žehlička ztěžuje modelování toku tekutiny
Většina modelů používá spektrální metoda simulovat geodynamo,[2][98] například model Glatzmaier-Roberts.[99][100] Metodu konečných rozdílů v modelu použili také Kageyama a Sato.[98][101] Některé studie také vyzkoušely jiné metody, například konečný objem[102] a metody konečných prvků.[103]

Seismologie

Metody konečných rozdílů byly široce používány v simulacích šíření seismické vlny.[105][106][107] Kvůli omezení výpočetního výkonu je však u některých modelů rozteč sítě příliš velká (ve srovnání s vlnovou délkou seismických vln), takže výsledky jsou nepřesné kvůli mřížková disperze, ve kterém se oddělují seismické vlny s různými frekvencemi.[105][108] Někteří vědci navrhují použít spektrální metodu k modelování šíření seismických vln.[105][109]
Chyby a omezení
Zdroje chyb
Zatímco numerické modelování poskytuje přesný kvantitativní odhad geologických problémů, existuje vždy rozdíl mezi skutečným pozorováním a výsledky modelování v důsledku:[2]
- zjednodušení skutečného problému při sestavování numerického modelu.[2] Jelikož na geologický systém může mít vliv mnoho faktorů, je téměř nemožné vzít v úvahu vše. Numerický model proto obvykle zjednodušuje skutečný systém tím, že vynechává méně významné faktory. For instance, the Earth is often modeled as a sphere, despite the undulation of Earth's surface.
- the approximations or idealizations of the governing equations.[2] Many objects in nature are complex. It is impossible to capture all the characteristics using equations. For instance, rocks are diskontinuální, but modeling rock as a continuous material is reasonable at large scale as it describes the properties accurately enough.
- the approximations in the discretization process.[2] Since the governing equations in the model cannot be solved directly, approximations to these equations are made using discretization and numerical methods.
- the uncertainty in physical parameters.[2] For example, the models of the viskozita of mantle and core are not accurate.[110]
Omezení
Apart from the errors, there are some limitations in using numerical models:
- Users of the models need a high level of knowledge and experience to prevent misuse and misinterpretation of results.[111]
Viz také
Reference
- ^ A b "Stampede Charges Computational Science Forward in Tackling Complex Societal Challenges".
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát ae af ag ah ai aj ak al dopoledne an ao ap vod ar tak jako na au av aw sekera ano az ba bb před naším letopočtem bd být bf bg bh bi bj bk bl bm bn bo bp Ismail-Zadeh, A.; Tackley, P. (2010). Výpočetní metody pro geodynamiku. Cambridge University Press.
- ^ A b C d E F G h i j k l Jing, L. (2003). "A review of techniques, advances and outstanding issues in numerical modelling for rock mechanics and rock engineering". International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 40 (3): 283–353. doi:10.1016/s1365-1609(03)00013-3.
- ^ Koyi, H. (1997-04-01). "Analogue Modelling: From a Qualitative to a Quantitative Technique — a Historical Outline". Journal of Petroleum Geology. 20 (2): 223–238. Bibcode:1997JPetG..20..223K. doi:10.1111/j.1747-5457.1997.tb00774.x. ISSN 1747-5457.
- ^ A b Barnichon, J. D. (1998). "Finite element modelling in structural and petroleum geology" (PDF). Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Malavieille, J. (1984). "Modélisation expérimentale des chevauchements imbriqués : application aux chaines de montagnes". Bulletin de la Société Géologique de France. XXVI (1): 129–138. doi:10.2113/gssgfbull.S7-XXVI.1.129.
- ^ Zhong, S.; Yuen, D. A .; Moresi, L. N .; Schubert, G (2007). "Numerical methods for mantle convection". Treatise in Geophysics.
- ^ PARRISH, D.K. (1973). "A non-linear finite element fold model". American Journal of Science. 273 (4): 318–334. Bibcode:1973AmJS..273..318P. doi:10.2475/ajs.273.4.318. hdl:1911/14887.
- ^ De Bremaecker, J. -Cl.; Becker, Eric B. (1978-10-10). "Finite element models of folding". Tektonofyzika. 50 (2): 349–367. Bibcode:1978Tectp..50..349D. doi:10.1016/0040-1951(78)90142-7.
- ^ Turcotte, D. L .; Torrance, K. E.; Hsui, A. T. (1973). "Convection in the earth's mantle". Methods in Computational Physics. Methods in Computational Physics: Advances in Research and Applications. 13. New York: Academic Press. pp. 431–454. Bibcode:1973mcpr...13..431T. doi:10.1016/B978-0-12-460813-9.50016-3. ISBN 9780124608139.
- ^ Ranalli, Giorgio (2001). "Experimental tectonics: from Sir James Hall to the present". Žurnál geodynamiky. 32 (1–2): 65–76. Bibcode:2001JGeo...32...65R. doi:10.1016/s0264-3707(01)00023-0.
- ^ A b Computational Methods for Fluid Dynamics | Joel H. Ferziger | Springer. Springer. 2002. ISBN 9783540420743.
- ^ Polyanin, Andrei; Schiesser, William; Zhurov, Alexei (2008-10-10). "Partial differential equation". Scholarpedia. 3 (10): 4605. Bibcode:2008SchpJ...3.4605P. doi:10.4249/scholarpedia.4605. ISSN 1941-6016.
- ^ A b C Batchelor, G. K. (2000-02-28). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. ISBN 9780521663960.
- ^ Ghosh, Somnath; Kikuchi, Noboru (1991). "An arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element method for large deformation analysis of elastic-viscoplastic solids". Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 86 (2): 127–188. Bibcode:1991CMAME..86..127G. doi:10.1016/0045-7825(91)90126-q. hdl:2027.42/29426.
- ^ A b Hu, Y .; Randolph, M. F. (1998-05-01). "A practical numerical approach for large deformation problems in soil". International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. 22 (5): 327–350. doi:10.1002/(sici)1096-9853(199805)22:5<327::aid-nag920>3.0.co;2-x. ISSN 1096-9853.
- ^ A b C d Taras., Gerya (2010). Introduction to numerical geodynamic modelling. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN 9780521887540. OCLC 664028049.
- ^ Atkinson, Kendall (2007-08-29). "Numerical analysis". Scholarpedia. 2 (8): 3163. Bibcode:2007SchpJ...2.3163A. doi:10.4249/scholarpedia.3163. ISSN 1941-6016.
- ^ A b C d E F Jing, L .; Hudson, J. A. (2002-06-01). "Numerical methods in rock mechanics". International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. Numerical Methods in Rock Mechanics. 39 (4): 409–427. doi:10.1016/S1365-1609(02)00065-5.
- ^ A b Oden, J. (2010-05-20). "Finite element method". Scholarpedia. 5 (5): 9836. Bibcode:2010SchpJ...5.9836O. doi:10.4249/scholarpedia.9836. ISSN 1941-6016.
- ^ A b C d E F G h i j k l m Logan, Daryl L. (2016-01-01). A First Course in the Finite Element Method. Cengage Learning. ISBN 9781305635111.
- ^ A b C d E Boyd, John P. (2001-12-03). Chebyshev and Fourier Spectral Methods: Second Revised Edition. Courier Corporation. ISBN 9780486411835.
- ^ A b C d E Gottlieb, David; Gottlieb, Sigal (2009-09-02). "Spectral methods". Scholarpedia. 4 (9): 7504. Bibcode:2009SchpJ...4.7504G. doi:10.4249/scholarpedia.7504. ISSN 1941-6016.
- ^ A b C Eymard, Robert; Gallouët, Thierry; Herbin, Raphaèle (2000-01-01). "Finite volume methods" (PDF). Příručka numerické analýzy. Solution of Equation in ℝ (Part 3), Techniques of Scientific Computing (Part 3). 7. Elsevier. pp. 713–1018. doi:10.1016/S1570-8659(00)07005-8. ISBN 9780444503503.
- ^ A b Eymard, Robert; Gallouët, Thierry; Herbin (2010-06-23). "Finite volume method". Scholarpedia. 5 (6): 9835. Bibcode:2010SchpJ...5.9835E. doi:10.4249/scholarpedia.9835. ISSN 1941-6016.
- ^ Fornberg, Bengt (2011-10-19). "Finite difference method". Scholarpedia. 6 (10): 9685. Bibcode:2011SchpJ...6.9685F. doi:10.4249/scholarpedia.9685. ISSN 1941-6016.
- ^ Numerical Treatment of Partial Differential Equations | Christian Grossmann | Springer. Universitext. Springer. 2007. ISBN 9783540715825.
- ^ "D. Matrix Powers and Exponentials". Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Other Titles in Applied Mathematics. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. 01.01.2007. pp. 285–310. doi:10.1137/1.9780898717839.appd. ISBN 9780898716290.
- ^ Morton, K. W.; Mayers, D. F. (2005-04-11). Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 9781139443203.
- ^ A b C d Smith, Gordon D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Clarendon Press. ISBN 9780198596509.
- ^ CUNDALL, P. A. (1971). "A computer model for simulating progressive, large scale movement in blocky rock systems". Symp. ISRM, Nancy, France, Proc. 2: 129–136.
- ^ Cundall, P. A. (2001-01-01). "A discontinuous future for numerical modelling in geomechanics?". Proceedings of the Institution of Civil Engineers – Geotechnical Engineering. 149 (1): 41–47. doi:10.1680/geng.2001.149.1.41. ISSN 1353-2618.
- ^ Potyondy, D. O.; Cundall, P. A. (2004-12-01). "A bonded-particle model for rock". International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. Rock Mechanics Results from the Underground Research Laboratory, Canada. 41 (8): 1329–1364. doi:10.1016/j.ijrmms.2004.09.011.
- ^ Zhang, Xiao-Ping; Wong, Louis Ngai Yuen (2013-09-01). "Crack Initiation, Propagation and Coalescence in Rock-Like Material Containing Two Flaws: a Numerical Study Based on Bonded-Particle Model Approach". Skalní mechanika a skalní inženýrství. 46 (5): 1001–1021. Bibcode:2013RMRE...46.1001Z. doi:10.1007/s00603-012-0323-1. ISSN 0723-2632.
- ^ A b Zhang, Xiao-Ping; Wong, Louis Ngai Yuen (2012-09-01). "Cracking Processes in Rock-Like Material Containing a Single Flaw Under Uniaxial Compression: A Numerical Study Based on Parallel Bonded-Particle Model Approach". Skalní mechanika a skalní inženýrství. 45 (5): 711–737. Bibcode:2012RMRE...45..711Z. doi:10.1007/s00603-011-0176-z. ISSN 0723-2632.
- ^ A b C d Harrison, John P. (2001-01-26). Engineering Rock Mechanics: Part 2: Illustrative Worked Examples. Elsevier. ISBN 9780080530932.
- ^ "Quartz: Quartz mineral information and data". www.mindat.org. Citováno 2017-11-17.
- ^ "Feldspar Group: Feldspar Group mineral information and data". www.mindat.org. Citováno 2017-11-17.
- ^ Wu, Zhijun; Wong, Louis Ngai Yuen (2012). "Frictional crack initiation and propagation analysis using the numerical manifold method". Počítače a geotechnika. 39: 38–53. doi:10.1016/j.compgeo.2011.08.011.
- ^ A b C d Braun, Jean; van der Beek, Peter; Valla, Pierre; Robert, Xavier; Herman, Frédéric; Glotzbach, Christoph; Pedersen, Vivi; Perry, Claire; Simon-Labric, Thibaud (2012-02-20). "Quantifying rates of landscape evolution and tectonic processes by thermochronology and numerical modeling of crustal heat transport using PECUBE". Tektonofyzika. 524 (Supplement C): 1–28. Bibcode:2012Tectp.524....1B. doi:10.1016/j.tecto.2011.12.035.
- ^ A b Reiners, Peter W .; Ehlers, Todd A .; Zeitler, Peter K. (2005-01-01). "Past, Present, and Future of Thermochronology". Recenze v mineralogii a geochemii. 58 (1): 1–18. Bibcode:2005RvMG...58....1R. doi:10.2138/rmg.2005.58.1. ISSN 1529-6466.
- ^ A b C d E Braun, Jean (2003-07-01). "Pecube: a new finite-element code to solve the 3D heat transport equation including the effects of a time-varying, finite amplitude surface topography". Počítače a geovědy. 29 (6): 787–794. Bibcode:2003CG.....29..787B. doi:10.1016/S0098-3004(03)00052-9.
- ^ A b Braun, Jean; Beek, Peter van der; Valla, Pierre; Robert, Xavier; Herman, Frédéric; Glotzbach, Christoph; Pedersen, Vivi; Perry, Claire; Simon-Labric, Thibaud (2012). "Quantifying rates of landscape evolution and tectonic processes by thermochronology and numerical modeling of crustal heat transport using PECUBE". Tektonofyzika. 524–525: 1–28. Bibcode:2012Tectp.524....1B. doi:10.1016/j.tecto.2011.12.035.
- ^ Coutand, Isabelle; Whipp, David M.; Grujic, Djordje; Bernet, Matthias; Fellin, Maria Giuditta; Bookhagen, Bodo; Landry, Kyle R.; Ghalley, S. K.; Duncan, Chris (2014-02-01). "Geometry and kinematics of the Main Himalayan Thrust and Neogene crustal exhumation in the Bhutanese Himalaya derived from inversion of multithermochronologic data". Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 119 (2): 2013JB010891. Bibcode:2014JGRB..119.1446C. doi:10.1002/2013JB010891. ISSN 2169-9356.
- ^ Diersch, Hans-Jörg G. (2013-11-22). FEFLOW: Finite Element Modeling of Flow, Mass and Heat Transport in Porous and Fractured Media. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642387395.
- ^ Huyakorn, Peter S. (2012-12-02). Computational Methods in Subsurface Flow. Akademický tisk. ISBN 9780323137973.
- ^ Pinder, George F.; Gray, William G. (2013-09-03). Finite Element Simulation in Surface and Subsurface Hydrology. Elsevier. ISBN 9781483270425.
- ^ Irwin., Remson; M., Hornberger, George; J., Molz, Fred (1971). "Numerical methods in subsurface hydrology". AGRIS: Mezinárodní informační systém pro zemědělskou vědu a technologii.
- ^ Pinder, George F.; Gray, William G. (1976-02-01). "Is there a difference in the finite element method?". Výzkum vodních zdrojů. 12 (1): 105–107. Bibcode:1976WRR....12..105P. doi:10.1029/WR012i001p00105. ISSN 1944-7973.
- ^ Anderson, Mary P.; Woessner, William W.; Hunt, Randall J. (2015-08-13). Aplikované modelování podzemních vod: simulace toku a výhodný transport. Akademický tisk. ISBN 9780080916385.
- ^ A b C d E F G Groundwater, USGS – U.S. Geological Survey Office of. "Information for New MODFLOW Users". water.usgs.gov. Citováno 2017-10-12.
- ^ McDonald, Michael G.; Harbaugh, Arlen W.; the original authors of MODFLOW (2003-03-01). "The History of MODFLOW". Spodní vody. 41 (2): 280–283. doi:10.1111/j.1745-6584.2003.tb02591.x. ISSN 1745-6584. PMID 12656294.
- ^ A b C d E F G Zuo, Xuran; Chan, Lung Sang; Gao, Jian-Feng (2017-02-09). "Compression-extension transition of continental crust in a subduction zone: A parametric numerical modeling study with implications on Mesozoic-Cenozoic tectonic evolution of the Cathaysia Block". PLOS One. 12 (2): e0171536. Bibcode:2017PLoSO..1271536Z. doi:10.1371/journal.pone.0171536. ISSN 1932-6203. PMC 5300286. PMID 28182640.
- ^ Liao, Jie; Gerya, Taras; Thielmann, Marcel; Webb, A. Alexander G.; Kufner, Sofia-Katerina; Yin, An (2017). "3D geodynamic models for the development of opposing continental subduction zones: The Hindu Kush–Pamir example". Dopisy o Zemi a planetách. 480: 133–146. Bibcode:2017E&PSL.480..133L. doi:10.1016/j.epsl.2017.10.005.
- ^ Cundall, P. A. (1989-03-01). "Numerical experiments on localization in frictional materials". Ingenieur-Archiv. 59 (2): 148–159. doi:10.1007/BF00538368. ISSN 0020-1154.
- ^ Poliakov, A. N. B; van Balen, R; Podladchikov, Yu; Daudre, B; Cloetingh, S; Talbot, C (1993-11-15). "Numerical analysis of how sedimentation and redistribution of surficial sediments affects salt diapirism". Tektonofyzika. The origin of sedimentary basins: Inferences from quantitative modelling and basin analysis. 226 (1): 199–216. Bibcode:1993Tectp.226..199P. doi:10.1016/0040-1951(93)90118-4.
- ^ Poliakov, A. N. B.; Podladchikov, Yu.; Talbot, C. (1993-12-30). "Initiation of salt diapirs with frictional overburdens: numerical experiments". Tektonofyzika. 228 (3): 199–210. Bibcode:1993Tectp.228..199P. doi:10.1016/0040-1951(93)90341-G.
- ^ Poliakov, A. N. B.; Cundall, P. A.; Podladchikov, Y. Y.; Lyakhovsky, V. A. (1993). Flow and Creep in the Solar System: Observations, Modeling and Theory. Řada NATO ASI. Springer, Dordrecht. pp. 175–195. doi:10.1007/978-94-015-8206-3_12. ISBN 9789048142453.
- ^ Sobolev, S. V.; Petrunin, A.; Garfunkel, Z.; Babeyko, A. Y. (2005-09-30). "Thermo-mechanical model of the Dead Sea Transform". Dopisy o Zemi a planetách. 238 (1): 78–95. Bibcode:2005E&PSL.238...78S. doi:10.1016/j.epsl.2005.06.058.
- ^ Choi, Eun-seo; Lavier, Luc; Gurnis, Michael (2008-12-01). "Thermomechanics of mid-ocean ridge segmentation". Fyzika Země a planetární interiéry. Recent Advances in Computational Geodynamics: Theory, Numerics and Applications. 171 (1): 374–386. Bibcode:2008PEPI..171..374C. doi:10.1016/j.pepi.2008.08.010.
- ^ Wang, Yuejun; Zhang, Feifei; Fan, Weiming; Zhang, Guowei; Chen, Shiyue; Cawood, Peter A .; Zhang, Aimei (2010-12-01). „Tektonické nastavení jihočínského bloku v raném paleozoiku: řešení modelů mezikontinentálního uzavření oceánů z geochronologie detritického zirkonu U-Pb“. Tektonika. 29 (6): TC6020. Bibcode:2010Tecto..29,6020W. doi:10.1029 / 2010TC002750. ISSN 1944-9194.
- ^ A b C Wolfgang, Bangerth; Juliane, Dannberg; Rene, Gassmoeller; Timo, Heister; others (2017-04-12). "ASPECT: Advanced Solver for Problems in Earth's ConvecTion, User Manual". Fík. doi:10.6084/m9.figshare.4865333.
- ^ Kronbichler, Martin; Heister, Timo; Bangerth, Wolfgang (2012-10-01). "High accuracy mantle convection simulation through modern numerical methods" (PDF). Geophysical Journal International. 191 (1): 12–29. Bibcode:2012GeoJI.191...12K. doi:10.1111/j.1365-246x.2012.05609.x. ISSN 0956-540X.
- ^ Stadler, Georg; Gurnis, Michael; Burstedde, Carsten; Wilcox, Lucas C.; Alisic, Laura; Ghattas, Omar (2010-08-27). "The Dynamics of Plate Tectonics and Mantle Flow: From Local to Global Scales". Věda. 329 (5995): 1033–1038. Bibcode:2010Sci...329.1033S. doi:10.1126/science.1191223. ISSN 0036-8075. PMID 20798311.
- ^ A b Gerya, Taras V.; Yuen, David A. (2003-12-30). "Characteristics-based marker-in-cell method with conservative finite-differences schemes for modeling geological flows with strongly variable transport properties". Fyzika Země a planetární interiéry. 140 (4): 293–318. Bibcode:2003PEPI..140..293G. doi:10.1016/j.pepi.2003.09.006.
- ^ A b Blankenbach, B.; Busse, F.; Christensen, U.; Cserepes, L.; Gunkel, D.; Hansen, U.; Harder, H.; Jarvis, G.; Koch, M. (1989-07-01). "A benchmark comparison for mantle convection codes". Geophysical Journal International. 98 (1): 23–38. Bibcode:1989GeoJI..98...23B. doi:10.1111/j.1365-246X.1989.tb05511.x. ISSN 1365-246X.
- ^ Travis, B. J.; Anderson, C.; Baumgardner, J.; Gable, C. W.; Hager, B. H.; O'Connell, R. J .; Olson, P .; Raefsky, A.; Schubert, G. (1990-12-01). "A benchmark comparison of numerical methods for infinite Prandtl number thermal convection in two-dimensional Cartesian geometry". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 55 (3–4): 137–160. doi:10.1080/03091929008204111. ISSN 0309-1929.
- ^ Busse, F. H.; Christensen, U.; Clever, R.; Cserepes, L.; Gable, C.; Giannandrea, E.; Guillou, L.; Houseman, G.; Nataf, H. C. (1994-08-01). "3D convection at infinite Prandtl number in Cartesian geometry — a benchmark comparison". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 75 (1): 39–59. doi:10.1080/03091929408203646. ISSN 0309-1929.
- ^ Stemmer, K.; Harder, H.; Hansen, U. (2006-08-31). "A new method to simulate convection with strongly temperature- and pressure-dependent viscosity in a spherical shell: Applications to the Earth's mantle". Fyzika Země a planetární interiéry. 157 (3): 223–249. Bibcode:2006PEPI..157..223S. doi:10.1016/j.pepi.2006.04.007.
- ^ van Keken, P. E.; King, S. D .; Schmeling, H.; Christensen, U. R.; Neumeister, D.; Doin, M.-P. (1997-10-10). "A comparison of methods for the modeling of thermochemical convection". Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 102 (B10): 22477–22495. Bibcode:1997JGR...10222477V. doi:10.1029/97JB01353. ISSN 2156-2202.
- ^ Tackley, Paul J.; King, Scott D. (2003-04-01). "Testing the tracer ratio method for modeling active compositional fields in mantle convection simulations". Geochemie, geofyzika, geosystémy. 4 (4): 8302. Bibcode:2003GGG.....4.8302T. doi:10.1029/2001GC000214. ISSN 1525-2027.
- ^ Davies, D. R.; Davies, J. H .; Hassan, O .; Morgan, K .; Nithiarasu, P. (2007-05-01). "Investigations into the applicability of adaptive finite element methods to two-dimensional infinite Prandtl number thermal and thermochemical convection" (PDF). Geochemie, geofyzika, geosystémy. 8 (5): Q05010. Bibcode:2007GGG.....8.5010D. doi:10.1029/2006GC001470. ISSN 1525-2027.
- ^ Larsen, Tine B.; Yuen, David A.; Moser, Jiří; Fornberg, Bengt (1997-04-01). "A high-order finite-difference method applied to large Rayleigh number mantle convection". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 84 (1–2): 53–83. doi:10.1080/03091929708208973. ISSN 0309-1929.
- ^ Trompert, R. A.; Hansen, U. (1996-12-01). "The application of a finite volume multigrid method to three-dimensional flow problems in a highly viscous fluid with a variable viscosity". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 83 (3–4): 261–291. doi:10.1080/03091929608208968. ISSN 0309-1929.
- ^ Auth, C.; Harder, H. (1999-06-01). "Multigrid solution of convection problems with strongly variable viscosity". Geophysical Journal International. 137 (3): 793–804. Bibcode:1999GeoJI.137..793A. doi:10.1046/j.1365-246x.1999.00833.x. ISSN 0956-540X.
- ^ Albers, Michael (2000-05-01). "A Local Mesh Refinement Multigrid Method for 3-D Convection Problems with Strongly Variable Viscosity". Journal of Computational Physics. 160 (1): 126–150. Bibcode:2000JCoPh.160..126A. doi:10.1006/jcph.2000.6438.
- ^ Kameyama, Masanori; Kageyama, Akira; Sato, Tetsuya (2005-06-10). "Multigrid iterative algorithm using pseudo-compressibility for three-dimensional mantle convection with strongly variable viscosity". Journal of Computational Physics. 206 (1): 162–181. arXiv:physics/0410249. Bibcode:2005JCoPh.206..162K. doi:10.1016/j.jcp.2004.11.030.
- ^ Gerya, Taras V.; Yuen, David A. (2007-08-15). "Robust characteristics method for modelling multiphase visco-elasto-plastic thermo-mechanical problems". Fyzika Země a planetární interiéry. Computational Challenges in the Earth Sciences. 163 (1): 83–105. Bibcode:2007PEPI..163...83G. doi:10.1016/j.pepi.2007.04.015.
- ^ Choblet, Gaël (2005-05-01). "Modelling thermal convection with large viscosity gradients in one block of the 'cubed sphere'". Journal of Computational Physics. 205 (1): 269–291. Bibcode:2005JCoPh.205..269C. doi:10.1016/j.jcp.2004.11.005.
- ^ Hernlund, John W.; Tackley, Paul J. (2008-12-01). "Modeling mantle convection in the spherical annulus". Fyzika Země a planetární interiéry. Recent Advances in Computational Geodynamics: Theory, Numerics and Applications. 171 (1): 48–54. Bibcode:2008PEPI..171...48H. doi:10.1016/j.pepi.2008.07.037.
- ^ Kageyama, Akira; Sato, Tetsuya (2004-09-01). ""Yin-Yang grid": An overset grid in spherical geometry". Geochemie, geofyzika, geosystémy (Vložený rukopis). 5 (9): Q09005. arXiv:physics/0403123. Bibcode:2004GGG.....5.9005K. doi:10.1029/2004GC000734. ISSN 1525-2027.
- ^ Kameyama, Masanori; Kageyama, Akira; Sato, Tetsuya (2008). "Multigrid-based simulation code for mantle convection in spherical shell using Yin–Yang grid". Fyzika Země a planetární interiéry. 171 (1–4): 19–32. Bibcode:2008PEPI..171...19K. doi:10.1016/j.pepi.2008.06.025.
- ^ Tackley, Paul J. (2008). "Modelling compressible mantle convection with large viscosity contrasts in a three-dimensional spherical shell using the yin-yang grid". Fyzika Země a planetární interiéry. 171 (1–4): 7–18. Bibcode:2008PEPI..171....7T. doi:10.1016/j.pepi.2008.08.005.
- ^ Hüttig, Christian; Stemmer, Kai (2008-02-01). "The spiral grid: A new approach to discretize the sphere and its application to mantle convection". Geochemie, geofyzika, geosystémy. 9 (2): Q02018. Bibcode:2008GGG.....9.2018H. doi:10.1029/2007GC001581. ISSN 1525-2027.
- ^ "Computational Infrastructure for Geodynamics :: Software". geodynamika.org.
- ^ King, Scott D.; Raefsky, Arthur; Hager, Bradford H. (1990-01-01). "Conman: vectorizing a finite element code for incompressible two-dimensional convection in the Earth's mantle". Fyzika Země a planetární interiéry. 59 (3): 195–207. Bibcode:1990PEPI...59..195K. doi:10.1016/0031-9201(90)90225-M.
- ^ Moresi, L.‐N.; Solomatov, V. S. (1995-09-01). "Numerical investigation of 2D convection with extremely large viscosity variations". Fyzika tekutin. 7 (9): 2154–2162. Bibcode:1995PhFl....7.2154M. doi:10.1063/1.868465. ISSN 1070-6631.
- ^ Moresi, Louis; Gurnis, Michael (1996-02-01). "Constraints on the lateral strength of slabs from three-dimensional dynamic flow models". Dopisy o Zemi a planetách. 138 (1): 15–28. Bibcode:1996E&PSL.138...15M. doi:10.1016/0012-821X(95)00221-W.
- ^ Frick, H.; Busse, F. H.; Clever, R. M. (1983-02-01). "Steady three-dimensional convection at high Prandtl numbers". Journal of Fluid Mechanics. 127: 141–153. Bibcode:1983JFM...127..141F. doi:10.1017/S0022112083002669. ISSN 0022-1120.
- ^ Cserepes, L.; Rabinowicz, M.; Rosemberg-Borot, C. (1988-10-10). "Three-dimensional infinite Prandtl number convection in one and two layers with implications for the Earth's gravity field". Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 93 (B10): 12009–12025. Bibcode:1988JGR....9312009C. doi:10.1029/JB093iB10p12009. ISSN 2156-2202.
- ^ Gable, Carl W.; O'Connell, Richard J.; Travis, Bryan J. (1991-05-10). "Convection in three dimensions with surface plates: Generation of toroidal flow". Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 96 (B5): 8391–8405. Bibcode:1991JGR....96.8391G. doi:10.1029/90JB02743. ISSN 2156-2202.
- ^ Young, Richard E. (1974). "Finite-amplitude thermal convection in a spherical shell". Journal of Fluid Mechanics. 63 (4): 695–721. Bibcode:1974JFM....63..695Y. doi:10.1017/S0022112074002151. ISSN 1469-7645.
- ^ Glatzmaier, Gary A. (1988-12-01). "Numerical simulations of mantle convection: Time-dependent, three-dimensional, compressible, spherical shell". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 43 (2): 223–264. doi:10.1080/03091928808213626. ISSN 0309-1929.
- ^ Monnereau, Marc; Quéré, Sandrine (2001-01-30). "Spherical shell models of mantle convection with tectonic plates". Dopisy o Zemi a planetách. 184 (3): 575–587. Bibcode:2001E&PSL.184..575M. doi:10.1016/S0012-821X(00)00334-4.
- ^ Monnereau, Marc; Quéré, Sandrine (2001). "Spherical shell models of mantle convection with tectonic plates". Dopisy o Zemi a planetách. 184 (3–4): 575–587. Bibcode:2001E&PSL.184..575M. doi:10.1016/s0012-821x(00)00334-4.
- ^ C., Condie, Kent (1997). Desková tektonika a vývoj kůry. Condie, Kent C. (4. vydání). Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750633864. OCLC 174141325.
- ^ Christensen, U.R.; Wicht, J. (2015). Pojednání o geofyzice. pp. 245–277. doi:10.1016/b978-0-444-53802-4.00145-7. ISBN 9780444538031.
- ^ A b Christensen, U.R.; Aubert, J .; Cardin, P.; Dormy, E.; Gibbons, S .; Glatzmaier, G.A.; Grote, E.; Honkura, Y .; Jones, C. (2001). "A numerical dynamo benchmark". Fyzika Země a planetární interiéry. 128 (1–4): 25–34. Bibcode:2001PEPI..128...25C. doi:10.1016/s0031-9201(01)00275-8.
- ^ Glatzmaier, Gary A .; Roberts, Paul H. (1995). „Trojrozměrné konvekční dynamo řešení s rotujícím a konečně vodivým vnitřním jádrem a pláštěm“. Fyzika Země a planetární interiéry. 91 (1–3): 63–75. Bibcode:1995PEPI...91...63G. doi:10.1016/0031-9201(95)03049-3.
- ^ Soward, Andrew M. (2002-11-28). Magnetohydrodynamics and the Earth's Core: Selected Works by Paul Roberts. CRC Press. ISBN 9780415272223.
- ^ Kageyama, Akira; Sato, Tetsuya (1995-05-01). "Computer simulation of a magnetohydrodynamic dynamo. II". Fyzika plazmatu. 2 (5): 1421–1431. Bibcode:1995PhPl....2.1421K. doi:10.1063/1.871485. ISSN 1070-664X.
- ^ Helmut, Harder; Ulrich, Hansen (2005-05-01). "A finite-volume solution method for thermal convection and dynamo problems in spherical shells". Geophysical Journal International. 161 (2): 522. Bibcode:2005GeoJI.161..522H. doi:10.1111/j.1365-246X.2005.02560.x. ISSN 0956-540X.
- ^ Chan, Kit H.; Zhang, Keke; Li, Ligang; Liao, Xinhao (2007). "A new generation of convection-driven spherical dynamos using EBE finite element method". Fyzika Země a planetární interiéry. 163 (1–4): 251–265. Bibcode:2007PEPI..163..251C. doi:10.1016/j.pepi.2007.04.017.
- ^ "Geodynamo". webové stránky.pmc.ucsc.edu. Citováno 2017-10-13.
- ^ A b C Komatitsch, Dimitri; Vilotte, Jean-Pierre (1998-04-01). "The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures". Bulletin of Seismological Society of America. 88 (2): 368–392. ISSN 0037-1106.
- ^ Virieux, J. (1986-04-01). "P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity‐stress finite‐difference method". Geofyzika. 51 (4): 889–901. Bibcode:1986Geop...51..889V. doi:10.1190/1.1442147. ISSN 0016-8033.
- ^ Bohlen, Thomas (2002). "Parallel 3-D viscoelastic finite difference seismic modelling". Počítače a geovědy. 28 (8): 887–899. Bibcode:2002CG.....28..887B. doi:10.1016/s0098-3004(02)00006-7.
- ^ Javaherian, Abdolrahim (1994-08-01). "Grid dispersion in generating finite-differences synthetic seismograms". Acta Seismologica Sinica. 7 (3): 397–407. Bibcode:1994AcSSn...7..397J. doi:10.1007/BF02650677. ISSN 1000-9116.
- ^ Komatitsch, Dimitri; Tromp, Jeroen (2002-07-01). "Spectral-element simulations of global seismic wave propagation—II. Three-dimensional models, oceans, rotation and self-gravitation". Geophysical Journal International. 150 (1): 303–318. Bibcode:2002GeoJI.150..303K. doi:10.1046/j.1365-246X.2002.01716.x. ISSN 0956-540X.
- ^ Rudolph, Maxwell L.; Lekić, Vedran; Lithgow-Bertelloni, Carolina (2015-12-11). "Viscosity jump in Earth's mid-mantle". Věda. 350 (6266): 1349–1352. Bibcode:2015Sci...350.1349R. doi:10.1126/science.aad1929. ISSN 0036-8075. PMID 26659053.
- ^ Stead, D.; Eberhardt, E.; Coggan, J.S. (2006). "Developments in the characterization of complex rock slope deformation and failure using numerical modelling techniques". Inženýrská geologie. 83 (1–3): 217–235. doi:10.1016/j.enggeo.2005.06.033.