Noether nerovnost - Noether inequality - Wikipedia

v matematika, Noether nerovnost, pojmenoval podle Max Noether, je majetkem společnosti kompaktní minimální složité povrchy který omezuje topologický typ podkladové topologické 4-potrubí. Obecněji platí pro minimální projektivní povrchy obecného typu přes algebraicky uzavřené pole.

Formulace nerovnosti

Nechat X být hladký minimální projektivní povrch obecného typu definované přes algebraicky uzavřené pole (nebo hladký minimální kompaktní komplexní povrch obecného typu) s kanonickým dělitelem K. = −C₁(X) a nechte p_G = h⁰(K.) být tedy dimenzí prostoru holomorfních dvou forem

${ displaystyle p_ {g} leq { frac {1} {2}} c_ {1} (X) ^ {2} +2.}$

U složitých povrchů vyjadřuje alternativní formulace tuto nerovnost, pokud jde o topologické invarianty základního čtyřnásobně orientovaného reálného. Protože povrch obecného typu je a Kähler povrchu je dimenze maximálního pozitivního podprostoru v průsečíku na druhé kohomologii dána vztahem b₊ = 1 + 2p_G. Navíc tím, že Hirzebruchova věta o podpisu C₁² (X) = 2E + 3σ, kde E = C₂(X) je topologická Eulerova charakteristika a σ = b₊ − b₋ je podpis křižovatka. Proto lze Noetherovu nerovnost vyjádřit také jako

${ displaystyle b _ {+} leq 2e + 3 sigma +5}$

nebo ekvivalentní použití E = 2 – 2 b₁ + b₊ + b₋

${ displaystyle b _ {-} + 4b_ {1} leq 4b _ {+} + 9.}$

Kombinace nerovnosti Noether s Noetherův vzorec 12χ =C₁²+C₂ dává

${ displaystyle 5c_ {1} (X) ^ {2} -c_ {2} (X) +36 geq 12q}$

kde q je nerovnost povrchu, což vede k mírně slabší nerovnosti, které se také často říká Noetherova nerovnost:

${ displaystyle 5c_ {1} (X) ^ {2} -c_ {2} (X) +36 geq 0 quad (c_ {1} ^ {2} (X) { text {sudý}})}$

${ displaystyle 5c_ {1} (X) ^ {2} -c_ {2} (X) +30 geq 0 quad (c_ {1} ^ {2} (X) { text {odd}}). }$

Jsou volány povrchy, kde platí rovnost (tj. Na řádku Noether) Horikawa povrchy.

Důkazní skica

Z minimální obecné podmínky vyplývá, že K.² > 0. Můžeme tedy předpokládat, že p_G > 1, protože nerovnost je jinak automatická. Zejména můžeme předpokládat, že existuje efektivní dělitel D zastupující K.. Pak máme přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až H ^ {0} ({ mathcal {O}} _ {X}) až H ^ {0} (K) až H ^ {0} (K | _ {D}) do H ^ {1} ({ mathcal {O}} _ {X}) do}$

tak ${ displaystyle p_ {g} -1 leq h ^ {0} (K | _ {D}).}$

Předpokládat, že D je hladký. Podle adjunkční vzorec D má kanonický řadový svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {D} (2 kB)}$, proto ${ displaystyle K | _ {D}}$ je zvláštní dělitel a Cliffordova nerovnost platí, což dává

${ displaystyle h ^ {0} (K | _ {D}) - 1 leq { frac {1} {2}} mathrm {deg} _ {D} (K) = { frac {1} { 2}} K ^ {2}.}$

Obecně platí v podstatě stejný argument s použitím obecnější verze Cliffordovy nerovnosti pro lokální úplné křižovatky s duálním svazkem čar a jednorozměrnými řezy ve svazku triviálních čar. Tyto podmínky jsou pro křivku splněny D přídavným vzorcem a skutečností, že D je číselně spojen.

Reference

• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN  978-3-540-00832-3, PAN  2030225
• Liedtke, Christian (2008), "Algebraické povrchy obecného typu s malým c₁² v pozitivní charakteristice ", Nagojská matematika. J., 191: 111–134
• Noether, Max (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Matematika. Ann., 8 (4): 495–533, doi:10.1007 / BF02106598