Shapiro nerovnost - Shapiro inequality

v matematika, Shapiro nerovnost je nerovnost navrhl H. Shapiro v roce 1954.

Prohlášení o nerovnosti

Předpokládat ${displaystyle n}$ je přirozené číslo a ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}}$ jsou kladná čísla a:

• ${displaystyle n}$ je sudé a menší nebo rovno ${displaystyle 12}$nebo
• ${displaystyle n}$ je liché a menší nebo rovno ${displaystyle 23}$.

Pak Shapiro nerovnost tvrdí, že

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {x_ {i}} {x_ {i + 1} + x_ {i + 2}}} geq {frac {n} {2}}}$

kde ${displaystyle x_ {n + 1} = x_ {1}, x_ {n + 2} = x_ {2}}$.

Pro vyšší hodnoty ${displaystyle n}$ nerovnost neplatí a přísná dolní mez je ${displaystyle gamma {frac {n} {2}}}$ s ${displaystyle gamma cca 0,9891 bodů}$.

Počáteční důkazy o nerovnosti v klíčových případech ${displaystyle n = 12}$ (Godunova a Levin, 1976) a ${displaystyle n = 23}$ (Troesch, 1989) spoléhají na numerické výpočty. V roce 2002 P. J. Bushell a J. B. McLeod zveřejnili analytický důkaz pro${displaystyle n = 12}$.

Hodnota ${displaystyle gamma}$ byla stanovena v roce 1971 Vladimír Drinfeld. Konkrétně dokázal, že přísná dolní mez ${displaystyle gamma}$ je dána ${displaystyle {frac {1} {2}} psi (0)}$, kde funkce ${displaystyle psi}$ je konvexní trup ${displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$ a ${displaystyle g (x) = {frac {2} {e ^ {x} + e ^ {frac {x} {2}}}}}$. (To znamená, že oblast nad grafem ${displaystyle psi}$ je konvexní obal spojení regionů nad grafy „${displaystyle f}$ a ${displaystyle g}$.)^[1]

Vnitřní místní minima na levé straně jsou vždy${displaystyle geq {frac {n} {2}}}$ (Nowosad, 1968).

Protiklady pro vyšší ${displaystyle n}$

První protiklad byl nalezen Lighthillem v roce 1956 pro ${displaystyle n = 20}$:

${displaystyle x_ {20} = (1 + 5epsilon, 6epsilon, 1 + 4epsilon, 5epsilon, 1 + 3epsilon, 4epsilon, 1 + 2epsilon, 3epsilon, 1 + epsilon, 2epsilon, 1 + 2epsilon, epsilon, 1 + 3epsilon, 2epsilon, 1 + 4epsilon, 3epsilon, 1 + 5epsilon, 4epsilon, 1 + 6epsilon, 5epsilon)}$ kde ${displaystyle epsilon}$ je blízko 0.

Pak se levá strana rovná ${displaystyle 10-epsilon ^ {2} + O (epsilon ^ {3})}$, tedy nižší než 10, když ${displaystyle epsilon}$ je dost malý.

Následující protiklad pro ${displaystyle n = 14}$ je Troesch (1985):

${displaystyle x_ {14} = (0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$ (Troesch, 1985)

Reference

• Fink, A.M. (1998). „Shapirova nerovnost“. V Gradimir V. Milovanović, G. V. (ed.). Nedávný pokrok v oblasti nerovností. Věnováno prof. Dragoslava S. Mitrinoviće. Matematika a její aplikace (Dordrecht). 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 241–248. ISBN  0-7923-4845-1. Zbl  0895.26001.
• Bushell, P.J .; McLeod, J. B. (2002). "Shapirova cyklická nerovnost i pro n" (PDF). J. Nerovný. Appl. 7 (3): 331–348. ISSN  1029-242X. Zbl  1018.26010. Poskytují analytický důkaz vzorce pro sudé ${displaystyle nleq 12}$, z čehož je výsledek pro všechny ${displaystyle nleq 12}$ následuje. Uvádějí ${displaystyle n = 23}$ jako otevřený problém.

externí odkazy

• Diskuse na síti Usenet v roce 1999 (Poznámky Davea Rusina)
• PlanetMath