Monogenní pole - Monogenic field

v matematika, a monogenní pole je algebraické číslo pole K. pro které existuje prvek A takové, že kruh celých čísel Ó_K. je podřetězec Z[A] z K. generováno uživatelem A. Pak Ó_K. je podíl z polynomiální kruh Z[X] a pravomoci A tvoří a výkonový integrální základ.

V monogenním poli K., polní diskriminátor z K. se rovná diskriminující z minimální polynom α.

Příklady

Mezi příklady monogenních polí patří:

• Kvadratická pole:

-li ${displaystyle K = mathbf {Q} ({sqrt {d}})}$ s ${displaystyle d}$ A celé číslo bez čtverců, pak ${displaystyle O_ {K} = mathbf {Z} [a]}$ kde ${displaystyle a = (1+ {sqrt {d}}) / 2}$ -li d ≡ 1 (mod 4) a ${displaystyle a = {sqrt {d}}}$ -li d ≡ 2 nebo 3 (mod 4).

• Cyklomtomická pole:

-li ${displaystyle K = mathbf {Q} (zeta)}$ s ${displaystyle zeta}$ A kořen jednoty, pak ${displaystyle O_ {K} = mathbf {Z} [zeta].}$ Také maximální skutečné podpole ${displaystyle mathbf {Q} (zeta) ^ {+} = mathbf {Q} (zeta + zeta ^ {- 1})}$ je monogenní, s kruhem celých čísel ${displaystyle mathbf {Z} [zeta + zeta ^ {- 1}].}$

Zatímco všechna kvadratická pole jsou monogenní, již mezi kubickými poli je mnoho těch, která nejsou monogenní. První příklad nemonogenního číselného pole, který byl nalezen, je kubické pole generované kořenem polynomu ${displaystyle X ^ {3} -X ^ {2} -2X-8}$, kvůli Richard Dedekind.

Reference

• Narkiewicz, Władysław (2004). Základní a analytická teorie algebraických čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. str. 64. ISBN  3-540-21902-1. Zbl  1159.11039.
• Gaál, István (2002). Diophantine rovnice a výkonové integrační základny. Boston, MA: Birkhäuser Verlag. ISBN  978-0-8176-4271-6. Zbl  1016.11059.

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.