Maxwell-Blochovy rovnice - Maxwell–Bloch equations

The Maxwell-Blochovy rovnice, také nazývaný optické Blochovy rovnice^[1] popsat dynamiku a dvoustavový kvantový systém interakce s elektromagnetickým režimem optického rezonátoru. Jsou analogické (ale vůbec ne ekvivalentní) Blochovy rovnice které popisují pohyb nukleární magnetický moment v elektromagnetickém poli. Rovnice lze odvodit buď poloklasicky nebo s polem plně kvantovaným, když jsou provedeny určité aproximace.

Poloklasická formulace

Odvození poloklasických optických Blochových rovnic je téměř identické s řešením dvoustavový kvantový systém (viz diskuse tam). Obvykle však tyto rovnice vrhá do matice hustoty. Systém, se kterým máme co do činění, lze popsat vlnovou funkcí:

{ displaystyle psi = c_ {g} psi _ {g} + c_ {e} psi _ {e}}

{ displaystyle left | c_ {g} right | ^ {2} + left | c_ {e} right | ^ {2} = 1}

The matice hustoty je

{ displaystyle rho = { begin {bmatrix} rho _ {ee} & rho _ {eg} rho _ {ge} & rho _ {gg} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} c_ {e} c_ {e} ^ {*} & c_ {e} c_ {g} ^ {*} c_ {g} c_ {e} ^ {*} & c_ {g} c_ {g} ^ {*} end {bmatrix}}}

(jiné konvence jsou možné; toto navazuje na odvození v Metcalf (1999)).^[2] Nyní lze vyřešit Heisenbergovu pohybovou rovnici nebo přeložit výsledky z řešení Schrödingerovy rovnice do matice hustoty. Jeden dospěje k následujícím rovnicím, včetně spontánní emise:

{ displaystyle { frac {d rho _ {gg}} {dt}} = gamma rho _ {ee} + { frac {i} {2}} ( Omega ^ {*} { bar { rho}} _ {eg} - Omega { bar { rho}} _ {ge})}

{ displaystyle { frac {d rho _ {ee}} {dt}} = - gamma rho _ {ee} + { frac {i} {2}} ( Omega { bar { rho} } _ {ge} - Omega ^ {*} { bar { rho}} _ {eg})}

{ displaystyle { frac {d { bar { rho}} _ {ge}} {dt}} = - left ({ frac { gamma} {2}} + i delta right) { panel { rho}} _ {ge} + { frac {i} {2}} Omega ^ {*} ( rho _ {ee} - rho _ {gg})}

{ displaystyle { frac {d { bar { rho}} _ {eg}} {dt}} = - left ({ frac { gamma} {2}} - i delta right) { lišta { rho}} _ {eg} + { frac {i} {2}} Omega ( rho _ {gg} - rho _ {ee})}

V odvození těchto vzorců definujeme ${ displaystyle { bar { rho}} _ {ge} equiv rho _ {ge} e ^ {- i delta t}}$ a ${ displaystyle { bar { rho}} _ {eg} equiv rho _ {eg} e ^ {i delta t}}$ . Rovněž se výslovně předpokládalo, že spontánní emise je popsána exponenciálním poklesem koeficientu ${ displaystyle rho _ {eg} (t)}$ s konstantou rozpadu ${ displaystyle { frac { gamma} {2}}}$ . ${ displaystyle Omega}$ je Frekvence Rabi, který je

{ displaystyle Omega = { vec {d_ {g, e}}} cdot { vec {E_ {0}}} / hbar}

,

a ${ displaystyle delta = omega - omega _ {0}}$ je detuning a měří, jak daleko světelná frekvence, ${ displaystyle omega}$ , je z přechodu, ${ displaystyle omega _ {0}}$ . Tady, ${ displaystyle scriptstyle {{ vec {d}} _ {g, e}}}$ je přechodový dipólový moment pro ${ displaystyle scriptstyle {g rightarrow e}}$ přechod a ${ displaystyle scriptstyle {{ vec {E}} _ {0} = { hat { epsilon}} E_ {0}}}$ je vektor elektrické pole amplituda včetně polarizace (v tom smyslu ${ displaystyle { vec {E}} = { frac { vec {E_ {0}}} {2}} e ^ {- i omega t} + c.c.}$ ).

Odvození z dutiny kvantové elektrodynamiky

Počínaje Jaynes – Cummings Hamiltonian pod koherentní pohon

{ displaystyle H = omega _ {c} a ^ { dagger} a + omega _ {a} sigma ^ { dagger} sigma + ig (a ^ { dagger} sigma -a sigma ^ { dagger}) + iJ (a ^ { dagger} e ^ {- i omega _ {l} t} -ae ^ {i omega _ {l} t})}

kde ${ displaystyle a}$ je spouštěcí operátor pro pole dutiny a ${ displaystyle sigma = { frac {1} {2}} vlevo ( sigma _ {x} -i sigma _ {y} vpravo)}$ je atomový spouštěcí operátor psaný jako kombinace Pauliho matice. Časovou závislost lze odstranit transformací vlnové funkce podle ${ displaystyle | psi rangle rightarrow operatorname {e} ^ {- i omega _ {l} t left (a ^ { dagger} a + sigma ^ { dagger} sigma right)} | psi rangle}$ , což vedlo k transformované Hamiltonian

{ displaystyle H = Delta _ {c} a ^ { dagger} a + Delta _ {a} sigma ^ { dagger} sigma + ig (a ^ { dagger} sigma -a sigma ^ { dagger}) + iJ (a ^ { dagger} -a)}

kde ${ displaystyle Delta _ {i} = omega _ {i} - omega _ {l}}$ . V současné době má Hamiltonian čtyři termíny. První dva jsou vlastní energie atomu (nebo jiné dvouúrovňové soustavy) a pole. Třetí člen je energeticky úsporný interakční člen umožňující dutině a atomu vyměňovat si populaci a soudržnost. Samotné tyto tři pojmy vedou k Jaynes-Cummingsovu žebříčku oblečených stavů a související anharmoničnosti v energetickém spektru. Poslední termín modeluje vazbu mezi režimem dutiny a klasickým polem, tj. Laserem. Síla pohonu ${ displaystyle J}$ se udává jako síla přenášená prázdnou oboustrannou dutinou jako ${ displaystyle J = { sqrt {2P ( Delta _ {c} ^ {2} + kappa ^ {2}) / ( omega _ {c} kappa)}}}$ , kde ${ displaystyle 2 kappa}$ je šířka čáry dutiny. To přináší na světlo zásadní bod týkající se role rozptylu při provozu laseru nebo jiného CQED přístroj; rozptyl je prostředek, kterým systém (spojený atom / dutina) interaguje s okolním prostředím. Za tímto účelem je rozptyl zahrnut do rámce problému z hlediska hlavní rovnice, kde poslední dva výrazy jsou v Lindblad forma

{ displaystyle { dot { rho}} = - i [H, rho] +2 kappa left (a rho a ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left ( a ^ { dagger} a rho + rho a ^ { dagger} a right) right) +2 gamma left ( sigma rho sigma ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left ( sigma ^ { dagger} sigma rho + rho sigma ^ { dagger} sigma right) right)}

Pohybové rovnice pro očekávané hodnoty operátorů lze odvodit z hlavní rovnice pomocí vzorců ${ displaystyle langle O rangle = operatorname {tr} left (O rho right)}$ a ${ displaystyle langle { dot {O}} rangle = operatorname {tr} left (O { dot { rho}} right)}$ . Pohybové rovnice pro ${ displaystyle langle a rangle}$ , ${ displaystyle langle sigma rangle}$ , a ${ displaystyle langle sigma _ {z} rangle}$ , pole dutiny, atomová koherence a atomová inverze jsou

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle a rangle = i left (- Delta _ {c} langle a rangle -ig langle sigma rangle -iJ right) - kappa langle a rangle}

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle sigma rangle = i left (- Delta _ {a} langle sigma rangle -ig langle a sigma _ {z} rangle right) - gamma langle sigma rangle}

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle sigma _ {z} rangle = -2g left ( langle a ^ { dagger} sigma rangle + langle a sigma ^ { dýka} rangle vpravo) -2 gamma langle sigma _ {z} rangle -2 gamma}

V tomto okamžiku jsme vytvořili tři z nekonečného žebříčku spojených rovnic. Jak je patrné ze třetí rovnice, jsou nutné korelace vyššího řádu. Diferenciální rovnice pro časový vývoj ${ displaystyle langle a ^ { dagger} sigma rangle}$ bude obsahovat očekávané hodnoty produktů vyššího řádu operátorů, což povede k nekonečné množině spojených rovnic. Heuristicky provedeme aproximaci, že očekávaná hodnota produktu operátorů se rovná součinu hodnot očekávání jednotlivých operátorů. To se podobá předpokladu, že operátoři nesouvisejí, a je to dobrá aproximace v klasickém limitu. Ukazuje se, že výsledné rovnice poskytují správné kvalitativní chování i v režimu jediné excitace. Pro zjednodušení rovnic navíc provádíme následující nahrazení

{ displaystyle langle a rangle = ( gamma / { sqrt {2}} g) x}

{ displaystyle langle sigma rangle = -p / { sqrt {2}}}

{ displaystyle langle sigma _ {z} rangle = -D}

{ displaystyle Theta = Delta _ {c} / kappa}

{ displaystyle C = g ^ {2} / 2 kappa gamma}

{ displaystyle y = { sqrt {2}} gJ / kappa gamma}

{ displaystyle Delta = Delta _ {a} / gamma}

A Maxwellovy-Blochovy rovnice lze psát v konečné podobě

{ displaystyle { dot {x}} = kappa vlevo (-2Cp + y- (i Theta +1) x vpravo)}

{ displaystyle { dot {p}} = gama doleva (- (1 + i Delta) p + xD doprava)}

{ displaystyle { dot {D}} = gamma vlevo (2 (1-D) - (x ^ {*} p + xp ^ {*}) vpravo)}

Aplikace: Atom-Laser Interaction

V rámci dipólové aproximace a aproximace rotujících vln „je dynamika matice atomové hustoty při interakci s laserovým polem popsána optickou Blochovou rovnicí, jejíž účinek lze rozdělit na dvě části^[3]: Optická dipólová síla a rozptylová síla^[4].

Viz také

Reference

^ Arecchi, F .; Bonifacio, R. (1965). "Teorie optických maserových zesilovačů". IEEE Journal of Quantum Electronics. 1 (4): 169–178. doi:10.1109 / JQE.1965.1072212. ISSN 0018-9197.
^ Metcalf, Harold. Laserové chlazení a trapping Springer 1999 str. 24-
^ Roy, Richard (2017). „Ytterbiové a lithiové kvantové plyny: Heteronukleární molekuly a Bose-Fermiho superfluidní směsi“ (PDF). Výzkum ultracoldových atomů a molekul na Washingtonské univerzitě.
^ Foot, Christopher (2005). Atomová fyzika. Oxford University Press. str.137, 198–199.

[ArecchiBonifacio1965-1] Arecchi, F .; Bonifacio, R. (1965). "Teorie optických maserových zesilovačů". IEEE Journal of Quantum Electronics. 1 (4): 169–178. doi:10.1109 / JQE.1965.1072212. ISSN 0018-9197.

[metcalf-2] Metcalf, Harold. Laserové chlazení a trapping Springer 1999 str. 24-

[3] Roy, Richard (2017). „Ytterbiové a lithiové kvantové plyny: Heteronukleární molekuly a Bose-Fermiho superfluidní směsi“ (PDF). Výzkum ultracoldových atomů a molekul na Washingtonské univerzitě.

[4] Foot, Christopher (2005). Atomová fyzika. Oxford University Press. str.137, 198–199.

[1]

[2]

[3]

[4]