Jaynes – Cummingsův model - Jaynes–Cummings model

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: článek byl nedávno sloučen, mohou být přítomny duplicitní informace Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Srpna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ilustrace modelu Jaynes-Cummings. An atom v optické dutině je zobrazen jako červená tečka vlevo nahoře. Energetické hladiny atomu, které se v dutině spojí s polním režimem, jsou zobrazeny v kruhu vpravo dole. Přenos mezi dvěma stavy způsobuje foton emise (absorpce) atomem do (mimo) dutinového režimu.

The Jaynes – Cummingsův model (někdy zkráceno JCM) je teoretický model v kvantová optika. Popisuje systém a dvouúrovňový atom interakce s kvantovaným režimem optické dutiny (nebo a bosonic pole), s nebo bez přítomnosti světla (ve formě lázně elektromagnetického záření, které může způsobit spontánní vyzařování a absorpci). Původně byl vyvinut ke studiu interakce atomy s kvantizovaným elektromagnetické pole za účelem vyšetřování jevů spontánní emise a absorpce fotony v dutina.

Model Jaynes – Cummings je velmi zajímavý atomová fyzika, kvantová optika, fyzika pevných látek a kvantové informační obvody experimentálně i teoreticky.^[1] Má také aplikace v koherentní řízení a kvantové zpracování informací.

Historický vývoj

1963: Edwin Jaynes a Fred Cummings

Model byl původně vyvinut v článku z roku 1963 autorem Edwin Jaynes a Fred Cummings k úplnému objasnění účinků dávání kvantově mechanické léčba chování atomů interagujících s elektromagnetické pole. Za účelem zjednodušení matematiky a umožnění použitelného výpočtu omezili Jaynes a Cummings svou pozornost na interakci atomu s jeden režim kvantového elektromagnetického pole.^[2][3] (Další matematické podrobnosti viz níže.)

Tento přístup je v kontrastu s dřívější semi-klasickou metodou, ve které je pouze dynamika atomu zpracována kvantově mechanicky, zatímco se předpokládá, že pole, se kterým interaguje, se bude chovat podle klasické elektromagnetické teorie. Kvantová mechanická úprava pole v modelu Jaynes – Cummings odhaluje řadu nových rysů, včetně:

• Existence Rabiho oscilace mezi stavy dvouúrovňového systému při interakci s kvantovým polem. Toto bylo původně považováno za čistě kvantově mechanický efekt, ačkoli později bylo poskytnuto poloklasické vysvětlení, pokud jde o lineární disperzi a absorpci^[4]
• Žebřík kvantovaných energetických hladin, nazývaný Jaynes-Cummingsův žebřík, který se nelineárně mění v energii jako ${displaystyle {sqrt {n}}}$ kde ${displaystyle n}$ je celkový počet kvant ve sdruženém systému. Tato kvantizace energií a nelineární škálování je čistě kvantově mechanické povahy.
• Sbalení a následné probuzení pravděpodobnosti detekovat dvoustupňový systém v daném stavu, když je pole zpočátku v soudržný stav. Zatímco kolaps má jednoduché klasické vysvětlení, probuzení lze vysvětlit pouze pomocí diskrétnost energetického spektra kvůli kvantové povaze pole.^[5][6]

Realizace dynamiky předpovězené modelem Jaynes-Cummings experimentálně vyžaduje kvantový mechanický rezonátor s velmi vysokou faktor kvality takže přechody mezi stavy v dvoustupňovém systému (obvykle dvě energetické podúrovně v atomu) jsou velmi silně spojeny interakcí atomu s polním režimem. To současně potlačuje jakoukoli vazbu mezi jinými podúrovněmi v atomu a vazbu na jiné režimy pole, a tím činí jakékoli ztráty dostatečně malé, aby sledovaly dynamiku předpovídanou Jaynes-Cummingsovým modelem. Kvůli obtížnosti realizace takového zařízení zůstal model po nějakou dobu matematickou kuriozitou. V roce 1985 používalo několik skupin Rydbergovy atomy spolu s a maser v mikrovlnná dutina demonstroval předpokládané Rabiho oscilace.^[7][8] Jak však bylo uvedeno výše, později se ukázalo, že tento efekt má poloklasické vysvětlení.^[4]

1987: Rempe, Walther & Klein

To nebylo až do roku 1987 Rempe, Walther & Klein byli konečně schopni použít masku s jedním atomem k předvedení probuzení pravděpodobností předpovězených modelem.^[9] Do té doby nebyly výzkumné skupiny schopny vytvořit experimentální uspořádání schopné zlepšit spojení atomu s režimem jednoho pole a současně potlačit další režimy. Experimentálně musí být faktor kvality dutiny dostatečně vysoký, aby se dynamika systému mohla považovat za ekvivalentní dynamice pole s jedním režimem. Tato úspěšná demonstrace dynamiky, kterou lze vysvětlit pouze kvantově mechanickým modelem pole, podnítila další vývoj vysoce kvalitních dutin pro použití v tomto výzkumu.

S příchodem masérů s jedním atomem bylo možné studovat interakci jednoho atomu (obvykle a Atom Rydberg ) s jediným rezonančním režimem elektromagnetického pole v dutině z experimentálního hlediska,^[10][11] a studovat různé aspekty modelu Jaynes – Cummings.

Bylo zjištěno, že geometrii přesýpacích hodin lze použít k maximalizaci objemu obsazeného režimem, při současném zachování faktoru vysoké kvality, aby se maximalizovala pevnost vazby, a tím se lépe aproximovaly parametry modelu.^[12] Chcete-li pozorovat silnou vazbu atomového pole ve frekvencích viditelného světla, mohou být užitečné optické režimy typu hodinového skla kvůli jejich velkému objemu režimu, který se nakonec shoduje se silným polem uvnitř dutiny.^[12] Kvantová tečka uvnitř nano-dutiny fotonického krystalu je také slibným systémem pro pozorování kolapsu a oživení Rabiho cyklů ve frekvencích viditelného světla.^[13]

Další vývoj

Mnoho nedávných experimentů se zaměřilo na aplikaci modelu na systémy s potenciálními aplikacemi při zpracování kvantové informace a koherentní kontrole. Různé experimenty prokázaly dynamiku modelu Jaynes – Cummings ve spojení kvantová tečka do režimů mikrodutiny, což potenciálně umožňuje její aplikaci ve fyzickém systému mnohem menší velikosti.^{[14][15][16][17]} Další experimenty se zaměřily na demonstraci nelineární povahy energetického žebříčku Jaynes-Cummings přímým spektroskopickým pozorováním. Tyto experimenty nalezly přímé důkazy o nelineárním chování předpovídaném z kvantové povahy pole v obou supravodivých obvodech obsahujících "umělý atom "ve spojení s velmi kvalitním oscilátorem ve formě supravodiče." RLC obvod a ve sbírce Rydbergových atomů spojených prostřednictvím jejich točí se.^[18][19] V druhém případě přítomnost nebo nepřítomnost kolektivního Rydbergova buzení v souboru slouží roli dvouúrovňového systému, zatímco roli režimu bosonického pole hraje celkový počet otočení, ke kterým dochází.^[19]

Teoretická práce rozšířila původní model tak, aby zahrnoval účinky rozptýlení a tlumení, obvykle prostřednictvím fenomenologického přístupu.^[20][21][22] Navrhovaná rozšíření také zahrnovala zahrnutí více režimů kvantového pole, což umožňuje spojení s dalšími energetickými hladinami v atomu nebo přítomnost více atomů interagujících se stejným polem. Byl také učiněn pokus překročit takzvanou aproximaci rotujících vln, která se obvykle používá (viz matematická derivace níže).^[23][24][25] Spojení režimu jednoho kvantového pole s více (${displaystyle N> 1}$) dvoustavové subsystémy (ekvivalentní k rotacím vyšším než 1/2) jsou známé jako Dickeho model nebo Model Tavis – Cummings. Platí například pro vysoce kvalitní rezonanční dutinu obsahující více identických atomů s přechody poblíž rezonance dutiny nebo pro rezonátor spojený s více kvantovými tečkami na supravodivém obvodu. Snižuje se na model Jaynes – Cummings pro případ ${displaystyle N = 1}$.

Model poskytuje možnost realizovat několik exotických teoretických možností v experimentálním prostředí. Bylo například zjištěno, že během období zhroucených Rabiho kmitů existuje systém atom-dutina v a kvantová superpozice stav v makroskopickém měřítku. Takový stav se někdy označuje jako „Schrödinger kat ", protože umožňuje prozkoumat čítač intuitivní účinky jak Kvantové zapletení se projevuje v makroskopických systémech.^[26] Lze jej také použít k modelování jak kvantová informace se přenáší v kvantovém poli.^[27]

Matematická formulace 1

Hamiltonian, který popisuje celý systém,

${displaystyle {hat {H}} = {hat {H}} _ {ext {field}} + {hat {H}} _ {ext {atom}} + {hat {H}} _ {ext {int}} }$

se skládá z Hamiltonianova pole volného pole, Hamiltonianova atomového buzení a Jayian-Cummingsovy interakce Hamiltonian:

${displaystyle {egin {aligned} {hat {H}} _ {ext {field}} & = hbar omega _ {c} {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} {hat {H} } _ {ext {atom}} & = hbar omega _ {a} {frac {{hat {sigma}} _ {z}} {2}} {hat {H}} _ {ext {int}} & = {frac {hbar Omega} {2}} {hat {E}} {hat {S}}. end {aligned}}}$

Zde je pro pohodlí nastavena energie vakua ${displaystyle 0}$.

Pro odvození hamiltoniánské interakce JCM se kvantované pole záření skládá z jediného bosonic režim s operátorem pole${displaystyle {hat {E}} = E_ {ZPF} vlevo ({hat {a}} + {hat {a}} ^ {dagger} ight)}$, kde operátoři ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger}}$ a ${displaystyle {hat {a}}}$ jsou bosonic operátory tvorby a zničení a ${displaystyle omega _ {c}}$ je úhlová frekvence režimu. Na druhé straně je dvouúrovňový atom ekvivalentní a spin-half jehož stav lze popsat pomocí trojrozměrného Bloch vektor. (Mělo by být zřejmé, že „dvouúrovňový atom“ zde není skutečný atom s spin, ale spíše obecný dvouúrovňový kvantový systém, jehož Hilbertův prostor je izomorfní na Atom je spojen s polem prostřednictvím svého polarizačního operátoru ${displaystyle {hat {S}} = {hat {sigma}} _ {+} + {hat {sigma}} _ {-}}$. Provozovatelé ${displaystyle {hat {sigma}} _ {+} = | eangle langle g |}$ a ${displaystyle {hat {sigma}} _ {-} = | gangle langle e |}$ jsou zvedání a spouštění operátorů atomu. Operátor ${displaystyle {hat {sigma}} _ {z} = | eangle langle e | - | gangle langle g |}$ je operátor atomové inverze a ${displaystyle omega _ {a}}$ je atomová přechodová frekvence.

JCM Hamiltonian

Stěhování z Schrödingerův obrázek do interakční obrázek (aka rotující rám) definovaný volbou${displaystyle {hat {H}} _ {0} = {hat {H}} _ {ext {field}} + {hat {H}} _ {ext {atom}}}$, získáváme

${displaystyle {hat {H}} _ {ext {int}} (t) = {frac {hbar Omega} {2}} vlevo ({hat {a}} {hat {sigma}} _ {-} e ^ { -i (omega _ {c} + omega _ {a}) t} + {hat {a}} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {+} e ^ {i (omega _ {c} + omega _ {a}) t} + {hat {a}} {hat {sigma}} _ {+} e ^ {i (-omega _ {c} + omega _ {a}) t} + {hat {a} } ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} e ^ {- i (-omega _ {c} + omega _ {a}) t} ight).}$

Tento Hamiltonian obsahuje obojí rychle ${displaystyle (omega _ {c} + omega _ {a})}$ a pomalu${displaystyle (omega _ {c} -omega _ {a})}$ oscilační komponenty. Získat řešitelný model, když${displaystyle | omega _ {c} -omega _ {a} | ll omega _ {c} + omega _ {a}}$rychle oscilující „protiběžné“ podmínky lze ignorovat. Toto se označuje jako aproximace rotujících vln Při transformaci zpět do Schrödingerova obrázku je tedy JCM Hamiltonian zapsán jako

${displaystyle {hat {H}} _ {ext {JC}} = hbar omega _ {c} {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + hbar omega _ {a} {frac {{hat {sigma}} _ {z}} {2}} + {frac {hbar Omega} {2}} vlevo ({hat {a}} {hat {sigma}} _ {+} + {hat {a}} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} ight).}$

Vlastní státy

Je možné a často velmi užitečné napsat Hamiltonián celého systému jako součet dvou částí dojíždějících:

${displaystyle {hat {H}} _ {ext {JC}} = {hat {H}} _ {I} + {hat {H}} _ {II},}$

kde

${displaystyle {egin {aligned} {hat {H}} _ {I} & = hbar omega _ {c} vlevo ({hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + {frac {{hat { sigma}} _ {z}} {2}} ight) {hat {H}} _ {II} & = hbar delta {frac {{hat {sigma}} _ {z}} {2}} + {frac {hbar Omega} {2}} vlevo ({hat {a}} {hat {sigma}} _ {+} + {hat {a}} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} ight) konec {zarovnaný}}}$

s ${displaystyle delta = omega _ {a} -omega _ {c}}$ volal rozladění (frekvence) mezi polem a dvoustupňovým systémem.

Vlastní státy ${displaystyle {hat {H}} _ {I}}$, protože mají formu tenzorového produktu, lze snadno vyřešit a označit pomocí ${displaystyle | n + 1, gangle, | n, eangle}$,kde ${displaystyle nin mathbb {N}}$ označuje počet radiačních kvant v režimu.

Jako státy${displaystyle | psi _ {1n} úhel: = | n, eangle}$ a${displaystyle | psi _ {2n} úhel: = | n + 1, gangle}$ jsou zdegenerované s ohledem na ${displaystyle {hat {H}} _ {I}}$ pro všechny ${displaystyle n}$, stačí diagonalizovat${displaystyle {hat {H}} _ {ext {JC}}}$ v podprostorech ${displaystyle {ext {span}} {| psi _ {1n} úhel, | psi _ {2n} úhel}}$. Maticové prvky ${displaystyle {hat {H}} _ {ext {JC}}}$ v tomto podprostoru, ${displaystyle {H} _ {ij} ^ {(n)}: = langle psi _ {in} | {hat {H}} _ {ext {JC}} | psi _ {jn} úhel,}$ číst

${displaystyle H ^ {(n)} = hbar {egin {pmatrix} nomega _ {c} + {frac {omega _ {a}} {2}} & {frac {Omega} {2}} {sqrt {n + 1}} [8pt] {frac {Omega} {2}} {sqrt {n + 1}} & (n + 1) omega _ {c} - {frac {omega _ {a}} {2}} konec {pmatrix}}}$

Za dané ${displaystyle n}$, vlastní čísla energie z ${displaystyle H ^ {(n)}}$ jsou

${displaystyle E_ {pm} (n) = hbar omega _ {c} left (n + {frac {1} {2}} ight) pm {frac {1} {2}} hbar Omega _ {n} (delta), }$

kde ${displaystyle Omega _ {n} (delta) = {sqrt {delta ^ {2} + Omega ^ {2} (n + 1)}}}$ je Frekvence Rabi pro konkrétní parametr detuning. Vlastní státy ${displaystyle | n, pm úhel ~}$ spojené s vlastními hodnotami energie jsou dány vztahem

${displaystyle | n, + angle = cos left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | psi _ {1n} úhel + sin left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | psi _ {2n} úhel}$

${displaystyle | n, -angle = sin left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | psi _ {1n} úhel -cos left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | psi _ {2n} úhel}$

kde úhel ${displaystyle alpha _ {n}}$ je definováno prostřednictvím${displaystyle alpha _ {n}: = an ^ {- 1} left ({frac {Omega {sqrt {n + 1}}} {delta}} ight)}$

Dynamika obrazu Schrödinger

Nyní je možné získat dynamiku obecného stavu jejím rozšířením na uvedené vlastní stavy. Za počáteční stav pole považujeme superpozici stavů čísel, ${displaystyle ~ | psi _ {ext {field}} (0) angle = sum _ {n} {C_ {n} | nangle} ~}$, a předpokládejme, že do pole je vstříknut atom v excitovaném stavu. Počáteční stav systému je

${displaystyle | psi _ {ext {tot}} (0) úhel = součet _ {n} {C_ {n} | n, eangle} = součet _ {n} C_ {n} vlevo [cos vlevo ({frac {alfa _ {n}} {2}} ight) | n, + úhel + sin vlevo ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | n, -angle ight].}$

Protože ${displaystyle ~ | n, pm úhel ~}$ jsou stacionární stavy systému pole-atom, potom stavový vektor pro časy${displaystyle ~ t> 0 ~}$ je právě dáno

${displaystyle | psi _ {ext {tot}} (t) angle = e ^ {- i {hat {H}} _ {ext {JC}} t / hbar} | psi _ {ext {tot}} (0) angle = sum _ {n} C_ {n} left [cos left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | n, + angle e ^ {- iE _ {+} (n) t / hbar } + sin left ({frac {alpha _ {n}} {2}} ight) | n, -angle e ^ {- iE _ {-} (n) t / hbar} ight].}$

Oscilace Rabi lze snadno vidět ve funkcích sin a cos ve vektoru stavu. V různých počtech fotonů se vyskytují různá období. Experiment je pozorován jako součet mnoha periodických funkcí, které mohou být velmi široce oscilační a destruktivně součet na nulu v určitém okamžiku, ale v dalších okamžicích budou opět nenulové. Konečnost tohoto okamžiku vyplývá právě z diskrétnosti argumentů periodicity. Pokud by amplituda pole byla spojitá, oživení by se nikdy nestalo v konečném čase.

Dynamika obrazu Heisenberg

V Heisenbergově zápisu je možné přímo určit operátor jednotné evoluce z hamiltoniánu:^[28]

${displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} {hat {U}} (t) & = e ^ {- i {hat {H}} _ {ext {JC}} t / hbar} & = {egin {pmatrix} e ^ {- iomega _ {c} t ({hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + {frac {1} {2}})} vlevo (cos t {sqrt {{ hat {varphi}} + g ^ {2}}} - idelta / 2 {frac {sin t {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}} {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}} ight) & - ige ^ {- iomega _ {c} t ({hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + {frac {1} {2}}) } {frac {sin t {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}} {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}}, {hat {a}} -ige ^ {- iomega _ {c} t ({hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} - {frac {1} {2}})}} {frac {sin t {sqrt {hat { varphi}}}} {sqrt {hat {varphi}}}} {hat {a}} ^ {dagger} & e ^ {- iomega _ {c} t ({hat {a}} ^ {dagger} {hat {a }} - {frac {1} {2}})} vlevo (cos t {sqrt {hat {varphi}}} + idelta / 2 {frac {sin t {sqrt {hat {varphi}}}} {sqrt {hat {varphi}}}} ight) end {pmatrix}} end {aligned}} end {matrix}}}$

kde operátor ${displaystyle ~ {hat {varphi}} ~}$ je definován jako

${displaystyle {hat {varphi}} = g ^ {2} {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + delta ^ {2} / 4}$

a ${displaystyle ~ g ~}$ darováno

${displaystyle g = {frac {Omega} {hbar}}}$

Unitarita ${displaystyle ~ {hat {U}} ~}$ je zaručena identitami

${displaystyle {frac {sin t, {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}} {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}}; {hat {a} } = {hat {a}}; {frac {sin t, {sqrt {hat {varphi}}}} {sqrt {hat {varphi}}}},}$

${displaystyle cos t, {sqrt {{hat {varphi}} + g ^ {2}}}; {hat {a}} = {hat {a}}; cos t {sqrt {hat {varphi}}},}$

a jejich hermitovské konjugáty.

Jednotkovým operátorem evoluce lze vypočítat časový vývoj stavu systému popsaného jeho matice hustoty ${displaystyle ~ {hat {ho}} (t) ~}$, a odtud očekávaná hodnota jakéhokoli pozorovatelného vzhledem k počátečnímu stavu:

${displaystyle {hat {ho}} (t) = {hat {U}} ^ {dagger} (t) {hat {ho}} (0) {hat {U}} (t)}$

${displaystyle langle {hat {Theta}} angle _ {t} = {ext {Tr}} [{hat {ho}} (t) {hat {Theta}}]}$

Počáteční stav systému je označen ${displaystyle ~ {hat {ho}} (0) ~}$ a ${displaystyle ~ {hat {Theta}} ~}$ je operátor označující pozorovatelný.

Matematická formulace 2

Pro snadnější ilustraci zvažte interakci dvou energetických podúrovní atomu s kvantovaným elektromagnetickým polem. Chování jakéhokoli jiného dvoustavového systému spojeného s bosonickým polem bude izomorfní k této dynamice. V takovém případě Hamiltonian pro systém atomového pole je:

${displaystyle {hat {H}} = {hat {H}} _ {A} + {hat {H}} _ {F} + {hat {H}} _ {AF}}$^[29]

Kde jsme provedli následující definice:

• ${displaystyle {hat {H}} _ {A} = E_ {g} | gangle langle g | + E_ {e} | eangle langle e |}$ je hamiltonián atomu, kde jsou písmena ${displaystyle e, g}$ se používají k označení excitovaného a základního stavu. Nastavení nuly energie na energii základního stavu atomu to zjednodušuje ${displaystyle {hat {H}} _ {A} = E_ {e} | eangle langle e | = hbar omega _ {eg} | eangle langle e |}$ kde ${displaystyle omega _ {eg}}$ je rezonanční frekvence přechodů mezi dílčími úrovněmi atomu.
• ${displaystyle {hat {H}} _ {F} = sum _ {{vec {k}}, lambda} hbar omega _ {vec {k}} {Bigg (} {hat {a}} _ {{vec {k }}, lambda} ^ {dagger} {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} + {frac {1} {2}} {Bigg)}}$ je Hamiltonián kvantovaného elektromagnetického pole. Všimněte si nekonečného součtu všech možných vlnových vektorů ${displaystyle {vec {k}}}$ a dva možné stavy ortogonální polarizace ${displaystyle lambda}$. Provozovatelé ${displaystyle {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} ^ {dagger}}$ a ${displaystyle {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda}}$ jsou operátory vytváření a zničení fotonů pro každý indexovaný režim pole. Jednoduchost modelu Jaynes – Cummings pochází z potlačení tohoto obecného součtu uvažováním pouze a singl režim pole, což nám umožňuje psát ${displaystyle {hat {H}} _ {F} = hbar omega _ {c} {Bigg (} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c} + {frac {1} {2}} {Bigg)}}$ kde dolní index ${displaystyle c}$ naznačuje, že uvažujeme pouze o rezonančním režimu dutiny.
• ${displaystyle {hat {H}} _ {AF} = - {hat {vec {d}}} cdot {hat {vec {E}}} ({vec {R}})}$ je interakce dipólu atom-pole Hamiltonian (zde ${displaystyle {vec {R}}}$ je poloha atomu). Operátor elektrického pole kvantovaného elektromagnetického pole je dán vztahem ${displaystyle {hat {vec {E}}} ({vec {R}}) = isum _ {{vec {k}}, lambda} {sqrt {frac {2pi hbar omega _ {vec {k}}} {V }}} {vec {u}} _ {{vec {k}}, lambda} vlevo ({hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} e ^ {i {vec {k}} cdot {vec {R}}} - {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} ^ {dagger} e ^ {- i {vec {k}} cdot {vec {R}}} ight) }$ a operátor dipólu je dán ${displaystyle {hat {vec {d}}} = {hat {sigma}} _ {+} langle e | {hat {vec {d}}} | gangle + {hat {sigma}} _ {-} langle g | {hat {vec {d}}} | eangle}$. Nastavení ${displaystyle {vec {R}} = {vec {0}}}$ a definici ${displaystyle hbar g _ {{vec {k}}, lambda} = i {sqrt {frac {2pi hbar omega _ {vec {k}}} {V}}} jazyk e | {hat {vec {d}}} | gangle cdot {vec {u}} _ {{vec {k}}, lambda}}$, Kde ${displaystyle {vec {u}} _ {{vec {k}}, lambda}}$s jsou režimy ortonormálního pole, můžeme psát ${displaystyle {hat {H}} _ {AF} = - sum _ {{vec {k}}, lambda} hbar {ig (} g _ {{vec {k}}, lambda} {hat {sigma}} _ { +} {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} -g _ {{vec {k}}, lambda} ^ {*} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a} } _ {{vec {k}}, lambda} ^ {dagger} -g _ {{vec {k}}, lambda} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {{vec {k }}, lambda} ^ {dagger} + g _ {{vec {k}}, lambda} ^ {*} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {{vec {k}}, lambda} {ig)}}$, kde ${displaystyle {hat {sigma}} _ {+} = | eangle langle g |}$ a ${displaystyle {hat {sigma}} _ {-} = | gangle langle e |}$ jsou zvedání a spouštění operátorů působící v ${displaystyle {| eangle, | gangle}}$ podprostor atomu. Aplikace modelu Jaynes-Cummings umožňuje potlačení tohoto součtu a omezení pozornosti na jediný režim pole. Tak se hamiltonián atomového pole stává: ${displaystyle {hat {H}} _ {AF} = hbar {ig [} (g_ {c} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} -g_ {c} ^ { *} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger}) + (- g_ {c} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} + g_ {c} ^ {*} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c}) {ig]}}$.

Rotující rám a aproximace rotující vlny

Dále může být analýza zjednodušena provedením a pasivní transformace do takzvaného „souběžného“ rámu. K tomu používáme interakční obrázek. Vzít ${displaystyle {hat {H}} _ {0} = {hat {H}} _ {A} + {hat {H}} _ {F}}$. Pak se interakce Hamiltonian stane:

${displaystyle {hat {H}} _ {AF} (t) = e ^ {i {hat {H}} _ {0} t / hbar} {hat {H}} _ {AF} e ^ {- i { hat {H}} _ {0} t / hbar} = hbar {ig (} g_ {c} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} e ^ { i (omega _ {c} + omega _ {eg}) t} + g_ {c} ^ {*} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} e ^ {- i (omega _ {c} + omega _ {eg}) t} -g_ {c} ^ {*} {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} e ^ {-i (omega _ {eg} -omega _ {c}) t} -g_ {c} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} e ^ {i (omega _ {eg} -omega _ {c}) t} {ig)}}$

Nyní předpokládáme, že rezonanční frekvence dutiny se blíží přechodové frekvenci atomu, tj. Předpokládáme ${displaystyle | omega _ {eg} -omega _ {c} | ll omega _ {eg} + omega _ {c}}$. Za této podmínky exponenciální členy oscilují na ${displaystyle omega _ {eg} -omega _ {c} simeq 0}$ jsou téměř rezonanční, zatímco ostatní exponenciální členy oscilují na ${displaystyle omega _ {eg} + omega _ {c} simeq 2omega _ {c}}$ jsou téměř antirezonanční. Včas ${displaystyle au = {frac {2pi} {Delta}}, Delta equiv omega _ {eg} -omega _ {c}}$ že trvá, než rezonanční termíny dokončí jednu úplnou oscilaci, antirezonanční termíny dokončí mnoho celých cyklů. Protože během každého celého cyklu ${displaystyle {frac {2pi} {2omega _ {c}}} ll au}$ antirezonančních oscilací je účinek antirezonančních členů 0, čistý účinek rychle oscilujících antirezonančních členů má v průměru tendenci k 0 v časových stupnicích, během nichž chceme analyzovat rezonanční chování. Můžeme tedy zcela opomenout antirezonanční termíny, protože jejich hodnota je ve srovnání s téměř rezonančními termíny zanedbatelná. Tato aproximace je známá jako aproximace rotujících vln a je v souladu s intuicí, že energii je třeba šetřit. Pak interakce Hamiltonian (přičemž ${displaystyle g_ {c}}$ být skutečný pro jednoduchost) je:

${displaystyle {hat {H}} _ {AF} (t) = - hbar g_ {c} {ig (} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} e ^ {i (omega _ {eg} -omega _ {c}) t} + {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} e ^ {- i (omega _ {eg } -omega _ {c}) t} {ig)}}$

S touto aproximací v ruce (a absorbováním negativního znaménka do ${displaystyle g_ {c}}$), můžeme se transformovat zpět na Schrödingerův obrázek:

${displaystyle {hat {H}} _ {AF} = e ^ {- i {hat {H}} _ {0} t / hbar} {hat {H}} _ {AF} (t) e ^ {i { hat {H}} _ {0} t / hbar} = hbar g_ {c} {ig (} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} + {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {ig)}}$

Jaynes-Cummings Hamiltonian

Pomocí výsledků shromážděných v posledních dvou částech můžeme nyní zapsat celý Jaynes-Cummings Hamiltonian:

${displaystyle {hat {H}} _ {JC} = hbar omega _ {c} {Bigg (} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c} + {frac {1} {2}} {Bigg)} + hbar omega _ {eg} | eangle langle e | + hbar g_ {c} {ig (} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} + {hat {sigma}} _ {-} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger})}$^[29]

Konstantní termín ${displaystyle {frac {1} {2}} hbar omega _ {c}}$ představuje energie nulového bodu pole. Nepřispěje k dynamice, takže ji lze zanedbávat, protože:

${displaystyle {hat {H}} _ {JC} = hbar omega _ {c} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c} + hbar omega _ {eg} | eangle langle e | + hbar g_ {c} {ig (} {hat {sigma}} _ {+} {hat {a}} _ {c} + {hat {sigma}} _ {-} {hat {a }} _ {c} ^ {dagger})}$

Dále definujte tzv operátor čísla podle:

${displaystyle {hat {N}} = | eangle langle e | + {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c}}$.

Zvažte komutátor tohoto operátoru s hamiltoniánem atomového pole:

${displaystyle {egin {aligned} {ig [} {hat {H}} _ {AF}, {hat {N}} {ig]} & = hbar g_ {c} {Big (} {ig [} {hat { a}} _ {c} {hat {sigma}} _ {+}, | eangle langle e | + {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c} {ig ]} + {ig [} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-}, | eangle langle e | + {hat {a}} _ {c} ^ { dagger} {hat {a}} _ {c} {ig]} {Big)} & = hbar g_ {c} {Big (} {hat {a}} _ {c} {ig [} {hat {sigma }} _ {+}, | eangle langle e | {ig]} + {ig [} {hat {a}} _ {c}, {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a }} _ {c} {ig]} {hat {sigma}} _ {+} + {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {ig [} {hat {sigma}} _ {-}, | eangle langle e | {ig]} + {ig [} {hat {a}} _ {c} ^ {dagger}, {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {a}} _ {c} {ig]} {hat {sigma}} _ {-} {Big)} & = hbar g_ {c} {Big (} - {hat {a}} _ {c} {hat {sigma}} _ {+} + {hat {a}} _ {c} {hat {sigma}} _ {+} + {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} - {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} {Big)} & = {hat {0}} end {aligned}}}$

Operátor čísla tak dojíždí s hamiltoniánem atomového pole. Základem jsou vlastní čísla provozovatele čísel tenzorový produkt státy${displaystyle {ig {} | g, 0angle; | e, 0angle, | g, 1angle; cdots; | e, n-1angle, | g, nangle {ig}}}$ kde státy ${displaystyle {ig {} | nangle {ig}}}$ pole jsou ty s určitým počtem ${displaystyle n}$ fotonů. Operátor čísla ${displaystyle {hat {N}}}$ počítá celkový číslo ${displaystyle n}$ kvant v systému atomového pole.

Na tomto základě vlastní stavy státu ${displaystyle {hat {N}}}$ (celkový počet států), Hamiltonian přebírá blokovou diagonální strukturu:

${displaystyle {hat {H}} _ {JC} = {egin {bmatrix} H_ {0} & 0 & 0 & 0 & cdots & cdots & cdots 0 & {hat {H}} _ {1} & {hat {0}} & {hat {0} } & ddots & ddots & ddots 0 & {hat {0}} & {hat {H}} _ {2} & {hat {0}} & ddots & ddots & ddots vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots vdots & ddots & ddots & {hat {0 }} & {hat {H}} _ {n} & {hat {0}} & ddots vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots end {bmatrix}}}$^[29]

S výjimkou skaláru ${displaystyle H_ {0}}$, každý ${displaystyle {hat {H}} _ {n}}$ na úhlopříčce je sám o sobě ${displaystyle 2 imes 2}$ matice formuláře;

${displaystyle {hat {H}} _ {n} = {egin {bmatrix} hbar omega _ {c} (n-1) + hbar omega _ {eg} & langle e, n-1 | {hat {H}} _ {JC} | g, nangle langle g, n | {hat {H}} _ {JC} | e, n-1angle & nhbar omega _ {c} end {bmatrix}}}$

Nyní pomocí vztahu:

${displaystyle {egin {aligned} langle g, n | {hat {H}} _ {JC} | e, n-1angle & = hbar g_ {c} langle g, n | {hat {a}} _ {c} ^ {dagger} {hat {sigma}} _ {-} | e, n-1angle + hbar g_ {c} langle g, n | {hat {a}} _ {c} {hat {sigma}} _ {+ } | e, n-1angle & = {sqrt {n}} hbar g_ {c} konec {zarovnáno}}}$

Získáme část Hamiltonian, která působí v n^th podprostor jako:

${displaystyle {hat {H}} _ {n} = {egin {bmatrix} nhbar omega _ {c} -hbar Delta & {frac {{sqrt {n}} hbar Omega} {2}} {frac {{sqrt {n}} hbar Omega} {2}} & nhbar omega _ {c} end {bmatrix}}}$

Přesunutím energie z ${displaystyle | eangle}$ na ${displaystyle | gangle}$ s částkou ${displaystyle {frac {1} {2}} hbar Delta}$, můžeme dostat

${displaystyle {hat {H}} _ {n} = {egin {bmatrix} nhbar omega _ {c} - {frac {1} {2}} hbar Delta & {frac {{sqrt {n}} hbar Omega} { 2}} {frac {{sqrt {n}} hbar Omega} {2}} & nhbar omega _ {c} + {frac {1} {2}} hbar Delta end {bmatrix}} = nhbar omega _ {c } {hat {I}} ^ {(n)} - {frac {hbar Delta} {2}} {hat {sigma}} _ {z} ^ {(n)} + {frac {1} {2}} {sqrt {n}} hbar Omega {hat {sigma}} _ {x} ^ {(n)}}$^[29]

kde jsme identifikovali ${displaystyle 2g_ {c} = Omega}$ jako Frekvence Rabi systému a ${displaystyle Delta = omega _ {c} -omega _ {eg}}$ je tzv "detuning" mezi frekvencemi dutiny a atomovým přechodem. Také jsme definovali operátory:

${displaystyle {egin {aligned} {hat {I}} ^ {(n)} & = | e, n-1angle langle e, n-1 | + | g, nangle langle g, n | {hat {sigma} } _ {z} ^ {(n)} & = | e, n-1angle langle e, n-1 | - | g, nangle langle g, n | {hat {sigma}} _ {x} ^ {( n)} & = | e, n-1angle langle g, n | + | g, nangle langle e, n-1 | end {aligned}}}$.

být operátorem identity a operátory Pauli xaz v Hilbertův prostor z n^th energetická úroveň systému atomového pole. Tak jednoduché ${displaystyle 2 imes 2}$ Hamiltonian má stejnou formu jako to, co by se dalo najít v Rabiho problém. Diagonalizace dává energii vlastní čísla a vlastní státy být:

${displaystyle {egin {aligned} E_ {n, pm} & = {Big (} nhbar omega _ {c} - {frac {1} {2}} hbar Delta {Big)} pm {frac {1} {2} } hbar {sqrt {Delta ^ {2} + nOmega ^ {2}}} | n, + úhel & = cos {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | e , n-1angle + sin {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | g, nangle | n, -angle & = cos {Big (} {frac {heta _ { n}} {2}} {Big)} | g, nangle -sin {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | e, n-1angle end {aligned}} }$^[29][30]

Kde úhel ${displaystyle heta _ {n}}$ je definován vztahem ${displaystyle an heta _ {n} = - {frac {{sqrt {n}} Omega} {Delta}}}$.

Vakuové oscilace Rabi

Zvažte atom, který vstupuje do dutiny zpočátku v excitovaném stavu, zatímco dutina je zpočátku v vakuum Stát. Pak je stav systému atomového pole jako funkce času:

${displaystyle | psi (t) angle = cos {Big (} {frac {Omega t} {2}} {Big)} | e, 0angle -isin {Big (} {frac {Omega t} {2}} {Big )} | g, 1 úhel}$

Takže pravděpodobnost nalezení systému v zemi nebo vzrušených stavech po interakci s dutinou na nějaký čas ${displaystyle t}$ jsou:

${displaystyle {egin {aligned} P_ {e} (t) & = | langle e, 0 | psi (t) úhel | ^ {2} = cos ^ {2} {Big (} {frac {Omega t} {2 }} {Big)} P_ {g} (t) & = | langle g, 1 | psi (t) úhel | ^ {2} = sin ^ {2} {Big (} {frac {Omega t} {2 }} {Big)} end {zarovnáno}}}$^[31]

Amplituda pravděpodobnosti k nalezení atomu v kterémkoli stavu tedy osciluje. Toto je kvantově mechanické vysvětlení fenoménu vakuová Rabiho oscilace. V tomto případě existovalo v systému atomového pole pouze jediné kvantum nesené původně excitovaným atomem. Obecně platí, že Rabiho kmitání spojené se systémem atomového pole o ${displaystyle n}$ kvanta bude mít frekvenci ${displaystyle Omega _ {n} = {frac {{sqrt {n}} Omega} {2}}}$. Jak je vysvětleno níže, toto diskrétní spektrum frekvencí je základním důvodem kolapsů a následných probuzení pravděpodobností v modelu.

Jaynes-Cummingsův žebřík

Jak je znázorněno v předchozí podkapitole, pokud je počáteční stav systému atom-dutina ${displaystyle | e, n-1angle}$ nebo ${displaystyle | g, nangle}$, jako je tomu v případě atomu zpočátku v určitém stavu (zemi nebo vzrušení), který vstupuje do dutiny obsahující známý počet fotonů, pak se stav systému atom-dutina později stane superpozicí Nový vlastní stavy systému atom-dutina:

${displaystyle {egin {aligned} | n, + angle & = cos {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | e, n-1angle + sin {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | g, nangle | n, -angle & = cos {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | g, nangle -sin {Big (} {frac {heta _ {n}} {2}} {Big)} | e, n-1angle end {aligned}}}$

Tato změna vlastních stavů kvůli změně Hamiltonianů způsobené interakcí atom-pole se někdy nazývá „oblékání“ atomu a nové vlastní stavy se označují jako oblečené státy.^[29]Rozdíl energie mezi oblečenými stavy je:

${displaystyle delta E = E _ {+} - E _ {-} = hbar {sqrt {Delta ^ {2} + nOmega ^ {2}}}}$

Zvláště zajímavý je případ, kdy frekvence dutiny dokonale rezonuje s přechodovou frekvencí atomu, takže ${displaystyle omega _ {eg} = omega _ {c} znamená Delta = 0}$V rezonančním případě jsou oblečenými stavy:${displaystyle | n, pm angle = {frac {1} {sqrt {2}}} {Big (} | g, nangle mp | e, n-1angle {Big)}}$^[30]

S energetickým rozdílem ${displaystyle delta E = {sqrt {n}} hbar Omega}$. Interakce atomu s polem tedy rozděluje zvrhlost států ${displaystyle | e, n-1angle}$ a ${displaystyle | g, nangle}$ podle ${displaystyle {sqrt {n}} hbar Omega}$. Tato nelineární hierarchie energetických úrovní se mění jako ${displaystyle {sqrt {n}}}$ je známý jako žebřík Jaynes-Cummings. Tento nelineární účinek štěpení je čistě kvantově mechanický a nelze jej vysvětlit žádným poloklasickým modelem.^[19]

Kolaps a oživení pravděpodobností

Consider an atom initially in the ground state interacting with a field mode initially prepared in a soudržný stav, so the initial state of the atom-field system is:

${displaystyle |psi (0)angle =|g,alpha angle =sum _{n=0}^{infty }e^{-|alpha |^{2}/2}{frac {alpha ^{n}}{sqrt {n!}}}|g,nangle }$

For simplicity, take the resonant case (${displaystyle Delta =0}$), then the Hamiltonian for the n^th number subspace is:

${displaystyle {hat {H}}_{n}={Big (}n+{frac {1}{2}}{Big )}{hat {I}}^{(n)}+{frac {hbar {sqrt {n}}Omega }{2}}{hat {sigma }}_{x}^{(n)}}$

Using this, the time evolution of the atom-field system will be:

${displaystyle { egin{aligned}|psi (t)angle &=e^{-i{hat {H}}_{n}t/hbar }|psi (0)angle &=e^{-|alpha |^{2}/2}|g,0angle +sum _{n=1}^{infty }e^{-|alpha |^{2}/2}{frac {alpha ^{n}}{sqrt {n!}}}e^{-inomega _{c}t}{Big (}cos {({sqrt {n}}Omega t/2)}{hat {I}}^{(n)}-isin {({sqrt {n}}Omega t/2)}{hat {sigma }}_{x}^{(n)}{Big )}|g,nangle &=e^{-|alpha |^{2}/2}|g,0angle +sum _{n=1}^{infty }e^{-|alpha |^{2}/2}{frac {alpha ^{n}}{sqrt {n!}}}e^{-inomega _{c}t}{Big (}cos {({sqrt {n}}Omega t/2)}|g,nangle -isin {({sqrt {n}}Omega t/2)}|e,n-1angle {Big )}end{aligned}}}$

Note neither of the constant factors ${displaystyle {frac {hbar omega _{c}}{2}}{hat {I}}^{(n)}}$ ani ${displaystyle {hat {H}}_{0}}$ contribute to the dynamics beyond an overall phase, since they represent the zero-point energy. In this case, the probability to find the atom having flipped to the excited state at a later time ${displaystyle t}$ je:

${displaystyle { egin{aligned}P_{e}(t)&=|langle e|psi (t)angle |^{2}&=sum _{n=1}^{infty }{frac {e^{-|alpha |^{2}}}{n!}}|alpha |^{2n}sin ^{2}({sqrt {n}}Omega t/2)&=sum _{n=1}^{infty }{frac {e^{-langle nangle }langle nangle ^{n}}{n!}}sin ^{2}({sqrt {n}}Omega t/2)&=sum _{n=1}^{infty }{frac {e^{-langle nangle }langle nangle ^{n}}{n!}}sin ^{2}(Omega _{n}t)end{aligned}}}$

Where we have identified ${displaystyle langle nangle =|alpha |^{2}}$ to be the mean photon number in a coherent state. If the mean photon number is large, then since the statistics of the coherent state are Poissonian we have that the variance-to-mean ratio is ${displaystyle langle (Delta n)^{2}angle /langle nangle ^{2}simeq 1/langle nangle }$. Using this result and expanding ${displaystyle Omega _{n}}$ kolem ${displaystyle langle nangle }$ to lowest non-vanishing order in ${displaystyle n}$ dává:

${displaystyle Omega _{n}simeq Omega {sqrt {langle nangle }}{Bigg (}1+{frac {1}{2}}{frac {n-langle nangle }{langle nangle }}{Bigg )}}$

Inserting this into the sum yields a complicated product of exponentials:

${displaystyle P_{e}(t)simeq e^{-langle nangle }e^{i{sqrt {langle nangle }}Omega t}e^{-i{sqrt {langle nangle }}Omega t/2}exp {Bigg [}langle nangle exp {Bigg (}{frac {Omega t}{2{sqrt {langle nangle }}}}{Bigg )}{Bigg ]}}$

A plot of the probability to find the system in the excited state as a function of the unit-less parameter ${displaystyle gt}$ for a system with mean photon number ${displaystyle langle nangle =25}$. Note the initial collapse over short times, followed by revival at longer times. This behavior is attributable to the discrete spectrum of frequencies caused by quantization of the field.

For "small" times such that ${displaystyle {frac {Omega t}{2}}ll {sqrt {langle nangle }}}$, the inner exponential inside the double exponential in the last term can be expanded up second order to obtain:

${displaystyle P_{e}(t)simeq cos {Bigg [}{sqrt {langle nangle }}Omega t{Bigg ]}e^{-Omega ^{2}t^{2}/8}}$

This result shows that the probability of occupation of the excited state osciluje with effective frequency ${displaystyle Omega _{ ext{eff}}={sqrt {langle nangle }}Omega }$. It also shows that it should decay over characteristic time:

${displaystyle au _{c}={frac {sqrt {2}}{2}}Omega }$^[5][6][30]

The collapse can be easily understood as a consequence of destructive interference between the different frequency components as they de-phase and begin to destructively interfere over time.^[30][31] However, the fact that the frequencies have a discrete spectrum leads to another interesting result in the longer time regime; in that case, the periodic nature of the slowly varying double exponential predicts that there should also be a obrození of probability at time:

${displaystyle au _{r}={frac {4pi }{Omega }}{sqrt {langle nangle }}}$.

The revival of probability is due to the re-phasing of the various discrete frequencies. If the field were classical, the frequencies would have a continuous spectrum, and such re-phasing could never occur within a finite time.^[6][30][31]

A plot of the probability to find an atom initially in the ground state to have transitioned to the excited state after interacting with a cavity prepared a in a coherent state vs. the unit-less parameter ${displaystyle gt=Omega t/2}$ is shown to the right. Note the initial collapse followed by the clear revival at longer times.