Borel – Carathéodoryova věta - Borel–Carathéodory theorem

v matematika, Borel – Carathéodoryova věta v komplexní analýza ukazuje, že analytická funkce možná ohraničený podle jeho skutečná část. Jedná se o aplikaci princip maximálního modulu. Je pojmenován pro Émile Borel a Constantin Carathéodory.

Výrok věty

Nechte funkci ${ displaystyle f}$ být analytický na a uzavřený disk z poloměr R soustředěný na původ. Předpokládejme to r < R. Pak máme následující nerovnost:

${ displaystyle | f | _ {r} leq { frac {2r} {Rr}} sup _ {| z | leq R} operatorname {Re} f (z) + { frac {R + r} {Rr}} | f (0) |.}$

Zde norma na levé straně označuje maximální hodnotu F v uzavřeném disku:

${ displaystyle | f | _ {r} = max _ {| z | leq r} | f (z) | = max _ {| z | = r} | f (z) |}$

(kde poslední rovnost je způsobena principem maximálního modulu).

Důkaz

Definovat A podle

${ displaystyle A = sup _ {| z | leq R} operatorname {Re} f (z).}$

Li F je konstantní, nerovnost je od té doby triviální ${ displaystyle (R + r) / (R-r)> 1}$, takže můžeme předpokládat F je nekonstantní. Nejprve nechte F(0) = 0. Protože Re F je harmonický, Re F(0) se rovná průměru jeho hodnot kolem libovolného kruhu se středem na 0. To znamená,

${ displaystyle operatorname {Re} f (0) = { frac {1} {2 pi}} int _ {| z | = R} operatorname {Re} f (z) dz.}$

Od té doby F je analytický a nekonstantní, máme tu Re F je také nekonstantní. Vzhledem k tomu, Re F(0) = 0, musíme mít Re ${ displaystyle f (z)> 0}$ pro některé z na kruhu ${ displaystyle | z | = R}$, abychom si mohli vzít ${ displaystyle A> 0}$. Nyní F mapy do poloroviny P nalevo od X=A čára. Naším cílem je namapovat tuto polorovinu na disk, použít Schwarzovo lemma tam, a zjistit uvedenou nerovnost.

${ displaystyle w mapsto w / A-1}$ posílá P do standardní levé poloroviny. ${ Displaystyle w mapsto R (w + 1) / (w-1)}$ pošle levou polorovinu do kruhu poloměru R soustředěný na počátek. Kompozitní, který mapuje 0 až 0, je požadovaná mapa:

${ displaystyle w mapsto { frac {Rw} {w-2A}}.}$

Ze Schwarzova lemu aplikovaného na kompozit této mapy a F, my máme

${ displaystyle { frac {| Rf (z) |} {| f (z) -2A |}} leq | z |.}$

Vezměte |z| ≤ r. Výše uvedené se stává

${ Displaystyle R | f (z) | leq r | f (z) -2A | leq r | f (z) | + 2Ar}$

tak

${ displaystyle | f (z) | leq { frac {2Ar} {R-r}}}$,

jak tvrdí. V obecném případě můžeme výše uvedené použít na F(z)-F(0):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} | f (z) | - | f (0) | & leq | f (z) -f (0) | leq { frac {2r} {Rr}} sup _ {| w | leq R} operatorname {Re} (f (w) -f (0)) & leq { frac {2r} {Rr}} left ( sup _ {| w | leq R} operatorname {Re} f (w) + | f (0) | right), end {zarovnáno}}}$

který, když je přeskupen, dává nárok.

Reference

• Lang, Serge (1999). Komplexní analýza (4. vydání). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN  0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). Teorie funkcí. Oxford University Press.