Maticová rozdílová rovnice - Matrix difference equation - Wikipedia

A maticová rozdílová rovnice je rozdílová rovnice ve kterém hodnota a vektor (nebo někdy matice) proměnných v jednom okamžiku souvisí s vlastní hodnotou v jednom nebo více předchozích bodech v čase pomocí matice.^[1]^[2] The objednat rovnice je maximální časová mezera mezi libovolnými dvěma indikovanými hodnotami proměnného vektoru. Například,

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t-2}}

je příkladem rozdílové rovnice matice druhého řádu, ve které $X$ je $n \times 1$ vektor proměnných a $A$ a $B$ jsou $n \times n$ matice. Tato rovnice je homogenní, protože na konec rovnice není přidán žádný vektorový konstantní člen. Stejná rovnice může být také napsána jako

{ displaystyle mathbf {x} _ {t + 2} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t + 1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t}}

nebo jako

{ displaystyle mathbf {x} _ {n} = mathbf {A} mathbf {x} _ {n-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {n-2}}

Nejčastěji se vyskytující maticové rozdílové rovnice jsou prvního řádu.

Nehomogenní případ prvního řádu a ustálený stav

Příkladem nehomogenní rovnice rozdílu matic prvního řádu je

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {b}}

s vektorem aditivní konstanty $b$ . Ustálený stav tohoto systému je hodnota $X *$ vektoru $X$ od kterých by se, pokud by bylo dosaženo, nebylo možné odchýlit. $X *$ je nalezen nastavením $X t = X t -1 = X *$ v diferenciální rovnici a řešení pro $X *$ získat

{ displaystyle mathbf {x} ^ {*} = [ mathbf {I} - mathbf {A}] ^ {- 1} mathbf {b}}

kde $Já$ je n × n matice identity, a kde se předpokládá, že $[Já - A]$ je invertibilní. Potom lze nehomogenní rovnici přepsat v homogenní formě, pokud jde o odchylky od ustáleného stavu:

{ displaystyle left [ mathbf {x} _ {t} - mathbf {x} ^ {*} right] = mathbf {A} left [ mathbf {x} _ {t-1} - mathbf {x} ^ {*} vpravo]}

Stabilita případu prvního řádu

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu $[X t - X *] = A [X t -1 - X *]$ je stabilní —To je, $X t$ konverguje asymptoticky do ustáleného stavu $X *$ - pokud a pouze pokud všechny vlastní čísla přechodové matice $A$ (ať už skutečné nebo komplexní) mají absolutní hodnota což je méně než 1.

Řešení případu prvního řádu

Předpokládejme, že rovnice byla uvedena v homogenní formě $y t = Ay t -1$ . Pak můžeme z iterace opakovaně iterovat a dosazovat počáteční stav $y 0$ , což je počáteční hodnota vektoru $y$ a které je třeba znát, aby bylo možné najít řešení:

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {y} _ {1} & = mathbf {A} mathbf {y} _ {0} mathbf {y} _ {2} & = mathbf { A} mathbf {y} _ {1} = mathbf {A} ^ {2} mathbf {y} _ {0} mathbf {y} _ {3} & = mathbf {A} mathbf {y} _ {2} = mathbf {A} ^ {3} mathbf {y} _ {0} end {zarovnáno}}}

a tak dále, takže tím matematická indukce řešení z hlediska $t$ je

{ displaystyle mathbf {y} _ {t} = mathbf {A} ^ {t} mathbf {y} _ {0}}

Dále, pokud $A$ je diagonalizovatelný, můžeme přepsat $A$ pokud jde o jeho vlastní čísla a vlastní vektory, dávat řešení jako

{ displaystyle mathbf {y} _ {t} = mathbf {P} mathbf {D} ^ {t} mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {y} _ {0},}

kde $P$ je $n \times n$ matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory z $A$ (za předpokladu, že jsou všechna vlastní čísla odlišná) a $D$ je $n \times n$ diagonální matice jehož úhlopříčné prvky jsou vlastní čísla $A$ . Toto řešení motivuje výše uvedený výsledek stability: $A t$ zmenší se na nulovou matici v průběhu času právě tehdy, když vlastní čísla A jsou v absolutní hodnotě menší než jednota.

Extrakce dynamiky jedné skalární proměnné z maticového systému prvního řádu

Počínaje $n$ -rozměrný systém $y t = Ay t -1$ , můžeme extrahovat dynamiku jedné ze stavových proměnných, řekněme $y 1$ . Výše uvedená rovnice řešení pro $y t$ ukazuje, že řešení pro $y 1, t$ je z hlediska $n$ vlastní čísla $A$ . Proto rovnice popisující vývoj $y 1$ samo o sobě musí mít řešení zahrnující stejná vlastní čísla. Tento popis intuitivně motivuje evoluční rovnici $y 1$ , který je

{ displaystyle y_ {1, t} = a_ {1} y_ {1, t-1} + a_ {2} y_ {1, t-2} + tečky + a_ {n} y_ {1, t-n}}

kde jsou parametry $A i$ jsou z charakteristická rovnice matice $A$ :

{ displaystyle lambda ^ {n} -a_ {1} lambda ^ {n-1} -a_ {2} lambda ^ {n-2} - dots -a_ {n} lambda ^ {0} = 0.}

Každá jednotlivá skalární proměnná tedy $n$ -dimenzionální lineární systém prvního řádu se vyvíjí podle univariate $n$ rozdílová rovnice th-stupně, která má stejnou vlastnost stability (stabilní nebo nestabilní) jako maticová rozdílová rovnice.

Řešení a stabilita případů vyššího řádu

Maticové rozdílové rovnice vyššího řádu - tj. S časovým zpožděním delším než jedna perioda - lze vyřešit a analyzovat jejich stabilitu tak, že je převedeme do formy prvního řádu pomocí bloková matice (matice matic). Předpokládejme například, že máme rovnici druhého řádu

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t-2}}

s variabilním vektorem $X$ bytost $n \times 1$ a $A$ a $B$ bytost $n \times n$ . To lze ve formuláři skládat

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {x} _ {t} mathbf {x} _ {t-1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} mathbf {A } & mathbf {B} mathbf {I} & mathbf {0} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {x} _ {t-1} mathbf { x} _ {t-2} end {bmatrix}}}

kde $Já$ je $n \times n$ matice identity a $0$ je $n \times n$ nulová matice. Poté označte $2 n \times 1$ skládaný vektor aktuálních a jednou zpožděných proměnných jako $z t$ a $2 n \times 2 n$ bloková matice jako $L$ , máme jako před řešením

{ displaystyle mathbf {z} _ {t} = mathbf {L} ^ {t} mathbf {z} _ {0}}

Stejně jako dříve, i tato skládaná rovnice, a tedy původní rovnice druhého řádu, jsou stabilní právě tehdy, pokud jsou všechny vlastní hodnoty matice $L$ jsou menší než jednota v absolutní hodnotě.

Nelineární maticové rozdílové rovnice: Riccatiho rovnice

v lineárně-kvadraticko-gaussovské řízení, vyvstává nelineární maticová rovnice pro zpětný vývoj nákladů současných a budoucích matice, níže označeno jako $H$ . Tato rovnice se nazývá diskrétní dynamika Riccatiho rovnice, a vzniká, když je proměnný vektor vyvíjející se podle rozdílové rovnice lineární matice řízen manipulací s exogenní vektor za účelem optimalizace a kvadratický nákladová funkce. Tato Riccatiho rovnice předpokládá následující nebo podobnou formu:

{ displaystyle mathbf {H} _ {t-1} = mathbf {K} + mathbf {A} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {A} - mathbf {A}' mathbf {H} _ {t} mathbf {C} left [ mathbf {C} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {C} + mathbf {R} right] ^ {- 1} mathbf {C} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {A}}

kde $H$ , $K.$ , a $A$ jsou $n \times n$ , $C$ je $n \times k$ , $R$ je $k \times k$ , $n$ je počet prvků ve vektoru, který má být řízen, a $k$ je počet prvků v řídicím vektoru. Matice parametrů $A$ a $C$ jsou z lineární rovnice a matice parametrů $K.$ a $R$ pocházejí z funkce kvadratických nákladů. Vidět tady pro detaily.

Obecně nelze tuto rovnici analyticky vyřešit $H t$ ve smyslu $t$ ; spíše posloupnost hodnot pro $H t$ je nalezen iterací Riccatiho rovnice. Ukázalo se to však^[3] že tuto Riccatiho rovnici lze vyřešit analyticky, pokud $R = 0$ a $n = k + 1$ , tím, že redukuje to na skalární racionální diferenční rovnice; navíc pro všechny $k$ a $n$ pokud přechodová matice $A$ je nonsingular, pak Riccatiho rovnice může být řešena analyticky, pokud jde o vlastní hodnoty matice, i když může být nutné je najít numericky.^[4]

Ve většině kontextů vývoj $H$ zpětně v čase je stabilní, což znamená $H$ konverguje k určité pevné matici $H *$ což může být iracionální, i když jsou všechny ostatní matice racionální. Viz také Stochastická kontrola § Diskrétní čas.

Související Riccatiho rovnice^[5] je

{ displaystyle mathbf {X} _ {t + 1} = - left [ mathbf {E} + mathbf {B} mathbf {X} _ {t} right] left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {X} _ {t} right] ^ {- 1}}

ve kterém jsou matice $X$ , $A$ , $B$ , $C$ , a $E$ všichni jsou $n \times n$ . Tuto rovnici lze vyřešit explicitně. Předpokládat $X t = N t D -1 t$ , což rozhodně platí $t = 0$ s $N 0 = X 0$ a s $D 0 = Já$ . Toto pak použijeme v diferenciální rovnici

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {X} _ {t + 1} & = - left [ mathbf {E} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} mathbf {D } _ {t} ^ {- 1} vpravo] mathbf {D} _ {t} mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} right] ^ {- 1} & = - left [ mathbf {E} mathbf {D} _ {t} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} right] left [ left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} mathbf { D} _ {t} ^ {- 1} right] mathbf {D} _ {t} right] ^ {- 1} & = - left [ mathbf {E} mathbf {D} _ {t} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} vpravo] vlevo [ mathbf {C} mathbf {D} _ {t} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} right] ^ {- 1} & = mathbf {N} _ {t + 1} mathbf {D} _ {t + 1} ^ {- 1} end {zarovnáno}}}

tedy indukcí formuláře $X t = N t D -1 t$ platí pro všechny $t$ . Pak vývoj $N$ a $D$ lze psát jako

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t + 1} mathbf {D} _ {t + 1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - mathbf { B} & - mathbf {E} mathbf {A} & mathbf {C} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}} equiv mathbf {J} { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}}}

Tedy indukcí

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}} = mathbf {J} ^ {t} { begin {bmatrix } mathbf {N} _ {0} mathbf {D} _ {0} end {bmatrix}}}

Viz také

Reference

^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Rozdílové rovnice: Od králíků po chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
^ Chiang, Alpha C. (1984). Základní metody matematické ekonomie (3. vyd.). McGraw-Hill. str.608–612.
^ Balvers, Ronald J .; Mitchell, Douglas W. (2007). „Snížení rozměrnosti problémů lineárního kvadratického řízení“ (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 31 (1): 141–159. doi:10.1016 / j.jedc.2005.09.013.
^ Vaughan, D. R. (1970). "Nerekurzivní algebraické řešení pro diskrétní Riccatiho rovnici". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 15 (5): 597–599. doi:10.1109 / TAC.1970.1099549.
^ Martin, C. F .; Ammar, G. (1991). Msgstr "Geometrie matice Riccatiho rovnice a související metoda vlastních čísel". V Bittani; Laub; Willems (eds.). Riccatiho rovnice. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1] Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Rozdílové rovnice: Od králíků po chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Základní metody matematické ekonomie (3. vyd.). McGraw-Hill. str.608–612.

[3] Balvers, Ronald J .; Mitchell, Douglas W. (2007). „Snížení rozměrnosti problémů lineárního kvadratického řízení“ (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 31 (1): 141–159. doi:10.1016 / j.jedc.2005.09.013.

[4] Vaughan, D. R. (1970). "Nerekurzivní algebraické řešení pro diskrétní Riccatiho rovnici". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 15 (5): 597–599. doi:10.1109 / TAC.1970.1099549.

[5] Martin, C. F .; Ammar, G. (1991). Msgstr "Geometrie matice Riccatiho rovnice a související metoda vlastních čísel". V Bittani; Laub; Willems (eds.). Riccatiho rovnice. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]