Matematické popisy neprůhlednosti - Mathematical descriptions of opacity

Když elektromagnetická vlna cestuje médiem, ve kterém se zeslabuje (tomu se říká „neprůhledný „nebo“útlum „střední), prochází exponenciální úpadek jak je popsáno v Pivo – Lambertův zákon. Existuje však mnoho možných způsobů, jak vlnu charakterizovat a jak rychle je oslabena. Tento článek popisuje matematické vztahy mezi:

• koeficient útlumu;
• hloubka průniku a hloubka kůže;
• komplexní úhlové vlnové číslo a konstanta šíření;
• komplexní index lomu;
• komplexní elektrická permitivita;
• AC vodivost (vnímavost ).

Všimněte si, že v mnoha z těchto případů se běžně používá několik protichůdných definic a konvencí. Tento článek nemusí být nutně komplexní nebo univerzální.

Pozadí: neoslabená vlna

Popis

Elektromagnetická vlna šířící se v +z-směr je konvenčně popsán rovnicí:

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = operatorname {Re} ! vlevo [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} vpravo] ! ,}$

kde

E₀ je vektor v X-y rovina, s jednotkami elektrického pole (vektor je obecně a komplexní vektor, umožňující všechny možné polarizace a fáze);

ω je úhlová frekvence vlny;

k je úhlové vlnové číslo vlny;

Re označuje skutečná část;

E je Eulerovo číslo.

The vlnová délka je, podle definice,

${ displaystyle lambda = { frac {2 pi} {k}}.}$

Pro danou frekvenci je vlnová délka elektromagnetické vlny ovlivněna materiálem, ve kterém se šíří. The vakuum vlnová délka (vlnová délka, kterou by vlna této frekvence měla, kdyby se šířila ve vakuu) je

${ displaystyle lambda _ {0} = { frac {2 pi mathrm {c}} { omega}},}$

kde c je rychlost světla ve vakuu.

Při absenci útlumu index lomu (také zvaný index lomu ) je poměr těchto dvou vlnových délek, tj.,

${ displaystyle n = { frac { lambda _ {0}} { lambda}} = { frac { mathrm {c} k} { omega}}.}$

The intenzita vlny je úměrná druhé mocnině amplitudy, časově zprůměrovaná na mnoha oscilacích vlny, což činí:

${ displaystyle I (z) propto left | mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} right | ^ {2} = | mathbf {E} _ {0 } | ^ {2}.}$

Tato intenzita je nezávislá na umístění z, znamení, že tento vlna neoslabuje se vzdáleností. Definujeme Já₀ k vyrovnání této konstantní intenzity:

${ displaystyle I (z) = I_ {0} propto | mathbf {E} _ {0} | ^ {2}.}$

Složitá konjugovaná nejednoznačnost

Protože

${ displaystyle operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} right] = operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} ^ {*} e ^ {- i (kz- omega t)} vpravo] !,}$

oba výrazy lze použít zaměnitelně^[1]. Obecně platí, že fyzici a chemici používají konvenci vlevo (s E^−iωt), zatímco elektrotechnici používají konvenci vpravo (s E^+iωt, například viz elektrická impedance ). Rozdíl je irelevantní pro neoslabenou vlnu, ale v některých případech se stává relevantním níže. Například existují dvě definice komplexní index lomu, jeden s kladnou imaginární částí a druhý se zápornou imaginární částí, odvozený ze dvou různých konvencí.^[2] Tyto dvě definice jsou komplexní konjugáty navzájem.

Útlumový koeficient

Jeden způsob, jak začlenit útlum do matematického popisu vlny, je pomocí koeficient útlumu:^[3]

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = e ^ {- alpha z / 2} operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} vpravo] !,}$

kde α je koeficient útlumu.

Pak intenzita vlny vyhovuje:

${ displaystyle I (z) propto left | e ^ {- alpha z / 2} mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} vpravo | ^ {2} = | mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- alpha z},}$

tj.

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- alfa z}.}$

Koeficient útlumu zase jednoduše souvisí s několika dalšími veličinami:

• absorpční koeficient je v podstatě (ale ne vždy) synonymem pro útlumový koeficient; vidět koeficient útlumu pro detaily;
• molární absorpční koeficient nebo molární extinkční koeficient, také zvaný molární nasákavost, je koeficient útlumu dělený molaritou (a obvykle vynásobený ln (10), tj. dekadický); vidět Beer-Lambertův zákon a molární nasákavost pro detaily;
• koeficient útlumu hmoty, také zvaný hmotnostní extinkční koeficient, je koeficient útlumu dělený hustotou; vidět koeficient útlumu hmoty pro detaily;
• absorpční průřez a rozptyl průřezu oba jsou kvantitativně spojeny s koeficientem útlumu; vidět absorpční průřez a rozptyl průřezu pro detaily;
• Někdy se také nazývá koeficient útlumu neprůhlednost; vidět neprůhlednost (optika).

Hloubka průniku a hloubka kůže

Hloubka průniku

Velmi podobný přístup používá hloubka průniku:^[4]

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / (2 delta _ { mathrm {pen}})} operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} vpravo] !,}$

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- z / delta _ { mathrm {pen}}},}$

kde δ_pero je hloubka průniku.

Hloubka kůže

The hloubka kůže je definována tak, aby vlna splňovala:^[5][6]

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / delta _ { mathrm {skin}}} operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)} vpravo] !,}$

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2z / delta _ { mathrm {skin}}},}$

kde δ_kůže je hloubka kůže.

Fyzicky je hloubka průniku vzdálenost, kterou může vlna urazit před intenzita snižuje o faktor 1 /E${ displaystyle {} přibližně {}}$0,37. Hloubka kůže je vzdálenost, kterou může vlna urazit před amplituda snižuje o stejný faktor.

Koeficient absorpce souvisí s hloubkou penetrace a hloubkou kůže o

${ displaystyle alpha = 1 / delta _ { mathrm {pen}} = 2 / delta _ { mathrm {skin}}.}$

Složité úhlové vlnové číslo a konstanta šíření

Složité úhlové vlnové číslo

Dalším způsobem, jak začlenit útlum, je použít komplexní úhlové vlnové číslo:^[5][7]

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({ underline {k}} z- omega t )}že jo]!,}$

kde k je komplexní úhlové vlnové číslo.

Pak intenzita vlny uspokojí:

${ displaystyle I (z) propto left | mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({ underline {k}} z- omega t)} right | ^ {2} = | mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 operatorname {Im} ({ underline {k}}) z},}$

tj.

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 operatorname {Im} ({ underline {k}}) z}.}$

Proto při srovnání s přístupem absorpčního koeficientu^[3]

${ displaystyle operatorname {Re} ({ podtržení {k}}) = k,}$

${ displaystyle operatorname {Im} ({ podtržení {k}}) = alpha / 2.}$

V souladu s nejednoznačnost uvedená výše, někteří autoři používají komplexní konjugát definice:^[8]

${ displaystyle operatorname {Re} ({ podtržení {k}}) = k,}$

${ displaystyle operatorname {Im} ({ podtržení {k}}) = - alpha / 2.}$

Konstanta šíření

Úzce související přístup, zvláště běžný v teorii přenosové linky, používá konstanta šíření:^[9][10]

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = operatorname {Re} ! vlevo [ mathbf {E} _ {0} e ^ {- gamma z + i omega t} vpravo] !,}$

kde y je konstanta šíření.

Pak intenzita vlny uspokojí:

${ displaystyle I (z) propto left | mathbf {E} _ {0} e ^ {- gamma z + i omega t} right | ^ {2} = | mathbf {E} _ { 0} | ^ {2} e ^ {- 2 operatorname {Re} ( gamma) z},}$

tj.

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 operatorname {Re} ( gamma) z}.}$

Porovnáním těchto dvou rovnic souvisí konstanta šíření a komplexní úhlové vlnové číslo podle:

${ displaystyle gamma = i { podtržení {k}} ^ {*},}$

kde * označuje komplexní konjugaci.

${ displaystyle operatorname {Re} ( gamma) = operatorname {Im} ({ podtržení {k}}) = alfa / 2.}$

Toto množství se také nazývá konstanta útlumu,^[8][11] někdy označován α.

${ displaystyle operatorname {Im} ( gamma) = operatorname {Re} ({ podtržení {k}}) = k.}$

Toto množství se také nazývá fázová konstanta, někdy označován β.^[11]

Bohužel notace není vždy konzistentní. Například, ${ displaystyle { podtržení {k}}}$ se někdy nazývá „konstanta šíření“ místo y, který zamění skutečnou a imaginární část.^[12]

Komplexní index lomu

Připomeňme, že v nelehčujících médiích index lomu a úhlové vlnové číslo souvisí:

${ displaystyle n = { frac { mathrm {c}} {v}} = { frac { mathrm {c} k} { omega}},}$

kde

• n je index lomu média;
• c je rychlost světla ve vakuu;
• proti je rychlost světla v médiu.

A komplexní index lomu lze proto definovat z hlediska komplexního úhlového vlnového čísla definovaného výše:

${ displaystyle { underline {n}} = { frac { mathrm {c} { underline {k}}} { omega}}.}$

kde n je index lomu média.

Jinými slovy, vlna je nutná k uspokojení

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = operatorname {Re} ! vlevo [ mathbf {E} _ {0} e ^ {i omega ({ podtržení {n}} z / mathrm {c} -t)} vpravo] !.}$

Pak intenzita vlny vyhovuje:

${ displaystyle I (z) propto left | mathbf {E} _ {0} e ^ {i omega ({ underline {n}} z / mathrm {c} -t)} vpravo | ^ {2} = | mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 omega operatorname {Im} ({ underline {n}}) z / mathrm {c}},}$

tj.

${ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 omega operatorname {Im} ({ underline {n}}) z / mathrm {c}}.}$

Ve srovnání s předchozí částí máme

${ displaystyle operatorname {Re} ({ underline {n}}) = { frac { mathrm {c} k} { omega}}.}$

Toto množství se často (nejednoznačně) nazývá jednoduše index lomu.

${ displaystyle operatorname {Im} ({ podtržení {n}}) = { frac { mathrm {c} alpha} {2 omega}} = { frac { lambda _ {0} alpha} {4 pi}}.}$

Toto množství se nazývá koeficient zániku a označil κ.

V souladu s nejednoznačnost uvedená výše, někteří autoři používají definici komplexního konjugátu, kde je (stále pozitivní) extinkční koeficient mínus imaginární část ${ displaystyle { podtržení {n}}}$.^[2][13]

Složitá elektrická permitivita

V neztenčujících médiích elektrická permitivita a index lomu souvisí:

${ displaystyle n = mathrm {c} { sqrt { mu varepsilon}} quad { text {(SI)}}, qquad n = { sqrt { mu varepsilon}} quad { text {(cgs)}},}$

kde

• μ je magnetická permeabilita média;
• ε je elektrická permitivita média.
• „SI“ označuje SI soustava jednotek, zatímco „cgs“ odkazuje na Gaussian-cgs jednotky.

V útlumových médiích se používá stejný vztah, ale permitivitou je povoleno být komplexní číslo, tzv komplexní elektrická permitivita:^[3]

${ displaystyle { underline {n}} = mathrm {c} { sqrt { mu { underline { varepsilon}}}} quad { text {(SI)}}, qquad { underline { n}} = { sqrt { mu { podtržení { varepsilon}}}} quad { text {(cgs)}},}$

kde ε je komplexní elektrická permitivita média.

Srovnání obou stran a použití výsledků předchozí části dává:^[7]

${ displaystyle operatorname {Re} ({ underline { varepsilon}}) = { frac { mathrm {c} ^ {2} varepsilon _ {0}} { omega ^ {2} mu / mu _ {0}}} ! left (k ^ {2} - { frac { alpha ^ {2}} {4}} right) quad { text {(SI)}}, qquad operatorname {Re} ({ underline { varepsilon}}) = { frac { mathrm {c} ^ {2}} { omega ^ {2} mu}} ! left (k ^ {2 } - { frac { alpha ^ {2}} {4}} vpravo) quad { text {(cgs)}},}$

${ displaystyle operatorname {Im} ({ underline { varepsilon}}) = { frac { mathrm {c} ^ {2} varepsilon _ {0}} { omega ^ {2} mu / mu _ {0}}} k alpha quad { text {(SI)}}, qquad operatorname {Im} ({ underline { varepsilon}}) = { frac { mathrm {c} ^ {2}} { omega ^ {2} mu}} k alpha quad { text {(cgs)}}.}$

AC vodivost

Dalším způsobem, jak začlenit útlum, je elektrická vodivost, a to následovně.^[14]

Jednou z rovnic, které řídí šíření elektromagnetických vln, je Maxwell-Ampérův zákon:

${ displaystyle nabla times mathbf {H} = mathbf {J} + { frac { mathrm {d} mathbf {D}} { mathrm {d} t}} quad { text {( SI)}}, qquad nabla times mathbf {H} = { frac {4 pi} { mathrm {c}}} mathbf {J} + { frac {1} { mathrm {c }}} { frac { mathrm {d} mathbf {D}} { mathrm {d} t}} quad { text {(cgs)}},}$

kde D je pole posunutí.

Připojování Ohmův zákon a definice (skutečné) permitivita

${ displaystyle nabla times mathbf {H} = sigma mathbf {E} + varepsilon { frac { mathrm {d} mathbf {E}} { mathrm {d} t}} quad { text {(SI)}}, qquad nabla times mathbf {H} = { frac {4 pi sigma} { mathrm {c}}} mathbf {E} + { frac { varepsilon} { mathrm {c}}} { frac { mathrm {d} mathbf {E}} { mathrm {d} t}} quad { text {(cgs)}},}$

kde σ je (skutečná, ale na frekvenci závislá) elektrická vodivost, tzv AC vodivost.

Se sinusovou časovou závislostí na všech veličinách, tj.

${ displaystyle mathbf {H} = operatorname {Re} ! vlevo [ mathbf {H} _ {0} e ^ {- i omega t} vpravo] !,}$

${ displaystyle mathbf {E} = operatorname {Re} ! left [ mathbf {E} _ {0} e ^ {- i omega t} right] !,}$

výsledek je

${ displaystyle nabla times mathbf {H} _ {0} = - i omega mathbf {E} _ {0} ! left ( varepsilon + i { frac { sigma} { omega} } right) quad { text {(SI)}}, qquad nabla times mathbf {H} _ {0} = { frac {-i omega} { mathrm {c}}} mathbf {E} _ {0} ! left ( varepsilon + i { frac {4 pi sigma} { omega}} right) quad { text {(cgs)}}.}$

Pokud je aktuální J nebyl zahrnut výslovně (prostřednictvím Ohmova zákona), ale pouze implicitně (prostřednictvím komplexní permitivity), množství v závorkách by bylo jednoduše komplexní elektrická permitivita. Proto,

${ displaystyle { underline { varepsilon}} = varepsilon + i { frac { sigma} { omega}} quad { text {(SI)}}, qquad { podtržení { varepsilon}} = varepsilon + i { frac {4 pi sigma} { omega}} quad { text {(cgs)}}.}$

Ve srovnání s předchozí částí vyhovuje AC vodivost

${ displaystyle sigma = { frac {k alpha} { omega mu}} quad { text {(SI)}}, qquad sigma = { frac {k alpha mathrm {c} ^ {2}} {4 pi omega mu}} quad { text {(cgs)}}.}$

Poznámky

Reference

• Jackson, John David (1999). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). New York: Wiley. ISBN  0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Úvod do elektrodynamiky (3. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-805326-X.
• J. I. Pankove (1971). Optické procesy v polovodičích. New York: Dover Publications Inc.