Mahlerova věta o kompaktnosti - Mahlers compactness theorem - Wikipedia

v matematika, Mahlerova věta o kompaktnosti, prokázáno Kurt Mahler  (1946 ), je základním výsledkem dne mříže v Euklidovský prostor charakterizující sady svazů, které jsou „ohraničeny“ v určitém definitivním smyslu. Podíváme-li se na jiný způsob, vysvětluje to, jak by mříž mohla degenerovat (jít do nekonečna) v sekvence mřížek. Intuitivně to říká, že je to možné dvěma způsoby: stát se hrubozrnný s základní doména který má stále větší objem; nebo obsahující kratší a kratší vektory. Také se tomu říká jeho věta o výběru, následovat starší konvenci používanou při pojmenování vět o kompaktnosti, protože byly formulovány v termínech sekvenční kompaktnost (možnost výběru konvergentní subsekvence).

Nechat X být prostor

${ displaystyle mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {R}) / mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Z})}$

že parametrizuje mřížky v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, s jeho kvocient topologie. Tady je dobře definované funkce Δ zapnuta X, který je absolutní hodnota z určující matice - to je konstantní na kosety, protože invertibilní celočíselná matice má určující 1 nebo -1.

Mahlerova věta o kompaktnosti uvádí, že podmnožina Y z X je relativně kompaktní kdyby a jen kdyby Δ je ohraničený na Ya existuje sousedstvíN 0 palců ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ tak, že pro všechny Λ in Y, jediný mřížkový bod Λ in N je 0 samo o sobě.

Tvrzení Mahlerovy věty je ekvivalentní kompaktnosti prostoru jednotkových mřížek v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ jehož systola je větší nebo rovno než kterýkoli pevný ${ displaystyle varepsilon> 0}$.

Mahlerova věta o kompaktnosti byla zobecněna na napůl jednoduché Lie skupiny podle David Mumford; vidět Mumfordova věta o kompaktnosti.

Reference

• William Andrew Coppel (2006), Teorie čísel, str. 418.

• Mahler, Kurt (1946), „O mřížových bodech v n-dimenzionální hvězdná těla. I. Existenční věty ", Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy, 187: 151–187, doi:10.1098 / rspa.1946.0072, ISSN  0962-8444, JSTOR  97965, PAN  0017753