Lokálně kompaktní pole - Locally compact field - Wikipedia

V algebře, a lokálně kompaktní pole je topologické pole jehož topologie tvoří a místně kompaktní prostor^[1] (zejména se jedná o Hausdorffův prostor). Tyto druhy polí byly původně zavedeny v p-adická analýza od polí ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ jsou lokálně kompaktní topologické prostory konstruované z normy ${ displaystyle | cdot | _ {p}}$ na ${ displaystyle mathbb {Q}}$ . Topologie (a struktura metrického prostoru) je zásadní, protože umožňuje konstrukci analogů algebraické číselné pole v kontextu p-adic.

Struktura

Konečné dimenzionální vektorové prostory

Jednou z užitečných vět o struktuře vektorových prostorů nad lokálně kompaktními poli je to, že konečné prostorové vektorové prostory mají pouze třídu ekvivalence normy: sup norma^[2] ^{str. 58-59}.

Rozšíření konečných polí

Vzhledem k rozšíření konečného pole ${ displaystyle K / F}$ přes lokálně kompaktní pole ${ displaystyle F}$ , existuje maximálně jedna jedinečná polní norma ${ displaystyle | cdot | _ {K}}$ na ${ displaystyle K}$ rozšíření polní normy ${ displaystyle | cdot | _ {F}}$ ; to je

${ displaystyle | f | _ {K} = | f | _ {F}}$

pro všechny ${ displaystyle f v K}$ který je v obraze ${ displaystyle F hookrightarrow K}$ . Všimněte si, že to vyplývá z předchozí věty a následujícího triku: if ${ displaystyle || cdot || _ {1}, || cdot || _ {2}}$ jsou dvě rovnocenné normy a

${ displaystyle || x || _ {1} <|| x || _ {2}}$

pak pro pevnou konstantu ${ displaystyle c_ {1}}$ existuje ${ displaystyle N_ {0} in mathbb {N}}$ takhle

${ displaystyle left ({ frac {|| x || _ {1}} {|| x || _ {2}}} right) ^ {N} <{ frac {1} {c_ {1 }}}}$

pro všechny ${ displaystyle N geq N_ {0}}$ od sekvence generované z pravomocí ${ displaystyle N}$ konvergovat k ${ displaystyle 0}$ .

Konečné rozšíření Galois

Pokud je index rozšíření stupně ${ displaystyle n = [K: F]}$ a ${ displaystyle K / F}$ je rozšíření galois, (takže všechna řešení minimálního polynomu libovolného ${ displaystyle a v K}$ je také obsažen v ${ displaystyle K}$ ) pak jedinečná polní norma ${ displaystyle | cdot | _ {K}}$ lze postavit pomocí polní norma^[2] ^{str. 61}. To je definováno jako

${ displaystyle | a | _ {K} = | N_ {K / F} (a) | ^ {1 / n}}$

Všimněte si, že n-tý kořen je vyžadován, aby měla dobře definovanou normu pole, která přesahuje jeden ${ displaystyle F}$ od té doby jakýkoli ${ displaystyle f v K}$ na obrázek ${ displaystyle F hookrightarrow K}$ jeho norma je

${ displaystyle N_ {K / F} (f) = det m_ {f} = f ^ {n}}$

protože to funguje jako skalární násobení na ${ displaystyle F}$ -vektorový prostor ${ displaystyle K}$ .

Příklady

Konečná pole

Všechna konečná pole jsou lokálně kompaktní, protože mohou být vybavena diskrétní topologií. Zejména jakékoli pole s diskrétní topologií je lokálně kompaktní, protože každý bod je sousedství sebe sama, a také uzavření sousedství, proto je kompaktní.

Místní pole

Hlavními příklady lokálně kompaktních polí jsou p-adické racionály ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ a konečné rozšíření ${ displaystyle K / mathbb {Q} _ {p}}$ . Každý z nich je příkladem místní pole. Všimněte si algebraického uzavření ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}} _ {p}}$ a jeho dokončení ${ displaystyle mathbb {C} _ {p}}$ jsou ne místně kompaktní pole^[2] ^{str. 72} s jejich standardní topologií.

Rozšíření pole Q_p

Rozšíření pole ${ displaystyle K / mathbb {Q} _ {p}}$ lze najít pomocí Henselův lemma. Například, ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} -7 = x ^ {2} - (2 + 1 cdot 5)}$ nemá žádná řešení v ${ displaystyle mathbb {Q} _ {5}}$ od té doby

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (x ^ {2} -5) = 2x}$

pouze se rovná nule mod ${ displaystyle p}$ -li ${ displaystyle x equiv 0 { text {}} (p)}$ , ale ${ displaystyle x ^ {2} -7}$ nemá žádná řešení mod ${ displaystyle 5}$ . Proto ${ displaystyle mathbb {Q} _ {5} ({ sqrt {7}}) / mathbb {Q} _ {5}}$ je rozšíření kvadratického pole.

Viz také

Reference

^ Narici, Lawrence (1971), Teorie funkční analýzy a ocenění, CRC Press, str. 21–22, ISBN 9780824714840.
^ ^A ^b ^C Koblitz, Neil. čísla p-adic, analýza p-adic a funkce Zeta. str. 57–74.

Externí odkazy

Trik nerovnosti https://math.stackexchange.com/a/2252625

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Narici, Lawrence (1971), Teorie funkční analýzy a ocenění, CRC Press, str. 21–22, ISBN 9780824714840.

[:0-2] A ^b ^C Koblitz, Neil. čísla p-adic, analýza p-adic a funkce Zeta. str. 57–74.

[1]

[2]