Lokálně kompaktní kvantová skupina - Locally compact quantum group - Wikipedia

A lokálně kompaktní kvantová skupina je relativně nový C * - algebraické přiblížit se k kvantové skupiny který zobecňuje Kac algebra, kompaktní kvantová skupina a Hopfova algebra přístupy. Dřívější pokusy o sjednocující definici kvantových skupin využívající například multiplikativní unitární jednotky se těšily určitému úspěchu, ale také se setkaly s několika technickými problémy.

Jedním z hlavních rysů odlišujících tento nový přístup od jeho předchůdců je axiomatická existence levých a pravých invariantních vah. To dává nekomutativní analoga levé a pravé Haarova opatření na místně kompaktní skupině Hausdorff.

Definice

Než můžeme dokonce začít správně definovat lokálně kompaktní kvantovou skupinu, musíme nejprve definovat několik předběžných konceptů a také uvést několik vět.

Definice (váha). Nechat ${ displaystyle A}$ být C * -algebra a nechte ${ displaystyle A _ { geq 0}}$ označit množinu pozitivní prvky z ${ displaystyle A}$ . A hmotnost na ${ displaystyle A}$ je funkce ${ displaystyle phi: A _ { geq 0} až [0, infty]}$ takhle

${ displaystyle phi (a_ {1} + a_ {2}) = phi (a_ {1}) + phi (a_ {2})}$ pro všechny ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2} v A _ { geq 0}}$ , a
${ displaystyle phi (r cdot a) = r cdot phi (a)}$ pro všechny ${ displaystyle r in [0, infty)}$ a ${ displaystyle a v A _ { geq 0}}$ .

Nějaká notace pro váhy. Nechat ${ displaystyle phi}$ být váhou na C * -algebře ${ displaystyle A}$ . Používáme následující notaci:

${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}: = {a v A _ { geq 0} mid phi (a) < infty }}$ , kterému se říká množina všech pozitivní ${ displaystyle phi}$ - integrovatelné prvky z ${ displaystyle A}$ .
${ displaystyle { mathcal {N}} _ { phi}: = {a v A mid phi (a ^ {*} a) < infty }}$ , kterému se říká množina všech ${ displaystyle phi}$ - čtvercově integrovatelné prvky z ${ displaystyle A}$ .
${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi}: = { text {Span}} ~ { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+} = { mathcal {N}} _ { phi} ^ {*} { mathcal {N}} _ { phi}}$ , kterému se říká množina všech ${ displaystyle phi}$ -integrable prvky ${ displaystyle A}$ .

Druhy závaží. Nechat ${ displaystyle phi}$ být váhou na C * -algebře ${ displaystyle A}$ .

Říkáme to ${ displaystyle phi}$ je věřící kdyby a jen kdyby ${ displaystyle phi (a) neq 0}$ pro každou nenulovou ${ displaystyle a v A _ { geq 0}}$ .
Říkáme to ${ displaystyle phi}$ je nižší polokontinuální jen a jen v případě, že soubor ${ displaystyle {a v A _ { geq 0} mid phi (a) leq lambda }}$ je uzavřená podmnožina ${ displaystyle A}$ pro každého ${ displaystyle lambda v [0, infty]}$ .
Říkáme to ${ displaystyle phi}$ je hustě definované kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ je hustá podmnožina ${ displaystyle A _ { geq 0}}$ , nebo ekvivalentně, pokud a pouze pokud ${ displaystyle { mathcal {N}} _ { phi}}$ nebo ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi}}$ je hustá podmnožina ${ displaystyle A}$ .
Říkáme to ${ displaystyle phi}$ je správně právě když je nenulová, nižší polokontinuální a hustě definovaná.

Definice (skupina s jedním parametrem). Nechat ${ displaystyle A}$ být C * -algebra. A skupina s jedním parametrem na ${ displaystyle A}$ je rodina ${ displaystyle alpha = ( alpha _ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ * -automorfismů ${ displaystyle A}$ to uspokojuje ${ displaystyle alpha _ {s} circ alpha _ {t} = alpha _ {s + t}}$ pro všechny ${ displaystyle s, t in mathbb {R}}$ . Říkáme to ${ displaystyle alpha}$ je normálně spojité jen a jen pro každého ${ displaystyle a v A}$ , mapování ${ displaystyle mathbb {R} do A}$ definován ${ displaystyle t mapsto { alpha _ {t}} (a)}$ je spojitý.

Definice (analytické rozšíření skupiny s jedním parametrem). Vzhledem k normálně spojité skupině s jedním parametrem ${ displaystyle alpha}$ na algebře C * ${ displaystyle A}$ , budeme definovat analytické rozšíření z ${ displaystyle alpha}$ . Pro každého ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ , nechť

{ displaystyle I (z): = {y in mathbb {C} mid | Im (y) | leq | Im (z) | }}

,

což je vodorovný pás v komplexní rovině. Říkáme funkci ${ displaystyle f: I (z) do A}$ normální - normální pouze tehdy, pokud platí následující podmínky:

Je to analytické na vnitřku ${ displaystyle I (z)}$ , tj. pro každého ${ displaystyle y_ {0}}$ v interiéru ${ displaystyle I (z)}$ , omezení ${ displaystyle displaystyle lim _ {y to y_ {0}} { frac {f (y) -f (y_ {0})} {y-y_ {0}}}}$ existuje s ohledem na topologii norem ${ displaystyle A}$ .
Je to normově vázané ${ displaystyle I (z)}$ .
Je to normálně spojité ${ displaystyle I (z)}$ .

Předpokládejme, že teď ${ displaystyle z in mathbb {C} setminus mathbb {R}}$ a nechte

{ displaystyle D_ {z}: = {a v A mid { text {Existuje norma-regulární}} ~ f: I (z) do A ~ { text {takový, že}} ~ f (t) = { alpha _ {t}} (a) ~ { text {pro všechny}} ~ t v mathbb {R} }.}

Definovat ${ displaystyle alpha _ {z}: D_ {z} do A}$ podle ${ displaystyle { alpha _ {z}} (a): = f (z)}$ . Funkce ${ displaystyle f}$ je jednoznačně určeno (teorií komplexně analytických funkcí), takže ${ displaystyle alpha _ {z}}$ je skutečně dobře definovaná. Rodina ${ displaystyle ( alpha _ {z}) _ {z in mathbb {C}}}$ se pak nazývá analytické rozšíření z ${ displaystyle alpha}$ .

Věta 1. Sada ${ displaystyle cap _ {z in mathbb {C}} D_ {z}}$ , nazvaný soubor analytické prvky z ${ displaystyle A}$ , je hustá podmnožina ${ displaystyle A}$ .

Definice (K.M.S. hmotnost). Nechat ${ displaystyle A}$ být C * -algebra a ${ displaystyle phi: A _ { geq 0} až [0, infty]}$ váha na ${ displaystyle A}$ . Říkáme to ${ displaystyle phi}$ je K.M.S. hmotnost ('K.M.S.' znamená 'Kubo-Martin-Schwinger') on ${ displaystyle A}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle phi}$ je správná hmotnost na ${ displaystyle A}$ a existuje normově spojitá skupina s jedním parametrem ${ displaystyle ( sigma _ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ na ${ displaystyle A}$ takhle

${ displaystyle phi}$ je neměnný pod ${ displaystyle sigma}$ , tj., ${ displaystyle phi circ sigma _ {t} = phi}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {R}}$ , a
pro každého ${ displaystyle a in { text {Dom}} ( sigma _ {i / 2})}$ , my máme ${ displaystyle phi (a ^ {*} a) = phi ( sigma _ {i / 2} (a) [ sigma _ {i / 2} (a)] ^ {*})}$ .

Označujeme ${ displaystyle M (A)}$ multiplikátorová algebra ${ displaystyle A}$ .

Věta 2. Li ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou C * -algebry a ${ displaystyle pi: A až M (B)}$ je nedegenerovaný * -homomorfismus (tj. ${ displaystyle pi [A] B}$ je hustá podmnožina ${ displaystyle B}$ ), pak můžeme jednoznačně rozšířit ${ displaystyle pi}$ k * -homomorfismu ${ displaystyle { overline { pi}}: M (A) až M (B)}$ .

Věta 3. Li ${ displaystyle omega: A to mathbb {C}}$ je stav (tj. kladná lineární funkce normy ${ displaystyle 1}$ ) zapnuto ${ displaystyle A}$ , pak můžeme jednoznačně rozšířit ${ displaystyle omega}$ do stavu ${ displaystyle { overline { omega}}: M (A) to mathbb {C}}$ na ${ displaystyle M (A)}$ .

Definice (lokálně kompaktní kvantová skupina). A (C * -algebraické) lokálně kompaktní kvantová skupina je objednaný pár ${ displaystyle { mathcal {G}} = (A, Delta)}$ , kde ${ displaystyle A}$ je C * -algebra a ${ displaystyle Delta: A až M (A otimes A)}$ je nedegenerovaný * -homomorfismus zvaný společné rozmnožování, který splňuje následující čtyři podmínky:

Ko-multiplikace je ko-asociativní, tj. ${ displaystyle { overline { Delta otimes iota}} circ Delta = { overline { iota otimes Delta}} circ Delta}$ .
Sady ${ displaystyle left {{ overline { omega otimes { text {id}}}} ( Delta (a)) ~ { big |} ~ omega v A ^ {*}, ~ a in A right }}$ a ${ displaystyle left {{ overline {{ text {id}} otimes omega}} ( Delta (a)) ~ { big |} ~ omega v A ^ {*}, ~ a in A right }}$ jsou lineárně husté podmnožiny ${ displaystyle A}$ .
Existuje věrná K.M.S. hmotnost ${ displaystyle phi}$ na ${ displaystyle A}$ to je left-invariant, tj., ${ displaystyle phi ! left ({ overline { omega otimes { text {id}}}} ( Delta (a)) right) = { overline { omega}} (1_ {M (A)}) cdot phi (a)}$ pro všechny ${ displaystyle omega v A ^ {*}}$ a ${ displaystyle a in { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ .
Existuje K.M.S. hmotnost ${ displaystyle psi}$ na ${ displaystyle A}$ to je pravý invariant, tj. ${ displaystyle psi ! left ({ overline {{ text {id}} otimes omega}} ( Delta (a)) right) = { overline { omega}} (1_ {M (A)}) cdot psi (a)}$ pro všechny ${ displaystyle omega v A ^ {*}}$ a ${ displaystyle a in { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ .

Z definice lokálně kompaktní kvantové skupiny lze ukázat, že pravo-invariantní K.M.S. hmotnost ${ displaystyle psi}$ je automaticky věrný. Proto věrnost ${ displaystyle psi}$ je nadbytečný stav a není nutné jej postulovat.

Dualita

Kategorie lokálně kompaktních kvantových skupin umožňuje duální konstrukci, pomocí které lze dokázat, že bi-dual lokálně kompaktní kvantové skupiny je izomorfní s původní. Tento výsledek dává dalekosáhlé zobecnění Pontryaginova dualita pro místně kompaktní skupiny abelianů Hausdorff.

Alternativní formulace

Tato teorie má ekvivalentní formulaci, pokud jde o von Neumannovy algebry.

Viz také

Reference

Johan Kustermans a Stefaan Vaes. "Lokálně kompaktní kvantové skupiny. „Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Vol. 33, No. 6 (2000), str. 837-934.
Thomas Timmermann. „Pozvánka na kvantové skupiny a dualitu - od Hopfovy algebry k multiplikativním unitářům i mimo ně.“ Učebnice EMS v matematice, Evropská matematická společnost (2008).